考研數(shù)學(xué)二真題2011年

2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中。只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．(1)已知當(dāng)x→0時(shí)f(x)=3sinx-sin3x與cxk是等價(jià)無(wú)窮小，則()．(A)k=1，c=4(B)k=1，c=-4(C)k=3，c=4(D)k=3，c=-4(2)已知f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0．則=()．(A)-2f'(0)(B)-f'(0)(C)f'(0)(D)0(3)函數(shù)f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-3)|的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為()．(A)0(B)1(C)2(D)3(4)微分方程y"-λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式為()．(A)a(eλx+e-λx)(B)ax(eλx+e-λx)(C)x(aeλx+be-λx)(D)x2(aeλx+be-λx)(5)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿(mǎn)足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g'(0)=0．則函數(shù)Z=f(x)g(y)在點(diǎn)(0，0)處取得極小值的一個(gè)充分條件是()．(A)f"(0)＜0，g"(0)＞0(B)f"(0)＜0，g"(0)＜0(C)f"(0)＞0，g"(0)＞0(D)f"(0)＞0，g"(0)＜0(6)設(shè)．則I，J，K的大小關(guān)系是()．(A)I＜J＜K(B)I＜K＜J(C)J＜I＜K(D)K＜J＜I(7)設(shè)A為三階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣B．再交換B的第2行與第3行得單位矩陣，記，則A=()．(A)P1P2(B)(C)P2P1(D)(8)設(shè)A=(α1，α2，α3，α4)是四階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若(1，0，1，0)是方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則A*x=0的基礎(chǔ)解系可為()．(A)α1，α3(B)α1，α2(C)α1，α2，α3(D)α2，α3，α4二、填空題(9)=______．(10)微分方程y'+y=e-xcosx滿(mǎn)足條件y(0)=0的解為y=______．(11)曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)s=______．(12)設(shè)函數(shù)則=______．(13)設(shè)平面區(qū)域D由直線(xiàn)y=x，圓x2+y2=2y及y軸所組成，則二重積分=______．(14)二次型f(x1，x2，x3)=，則f的正慣性指數(shù)為_(kāi)_____．三、解答題解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．(15)已知函數(shù)．設(shè)，試求α的取值范圍．(16)設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，求y=y(x)的極值和曲線(xiàn)y=y(x)，的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)．(17)設(shè)函數(shù)Z=f(xy，yg(x))，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)且在x=1處取得極值g(1)=1，求(18)設(shè)函數(shù)y(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線(xiàn)l：y=y(x)與直線(xiàn)y=x相切于原點(diǎn)，記α為曲線(xiàn)l在點(diǎn)(x，y)外切線(xiàn)的傾角，若．求y(x)的表達(dá)式．(19)①證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有成立．②設(shè)(n=1，2，…)，證明數(shù)列{an)收斂．(20)一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中曲線(xiàn)y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線(xiàn)由x2+y2=2y(y≥)與x2+y2=1(y≤)連接而成．(Ⅰ)求容器的容積；(Ⅱ)若將容器內(nèi)盛滿(mǎn)的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功?(長(zhǎng)度單位：m．重力加速度為gm/s2，水的密度為103kg/m(9)[考點(diǎn)]極限的計(jì)算[答案解析](10)e-xsinx[考點(diǎn)]一階微分方程求解[答案解析](C+sinx)，由于y(0)=0，則C=0，故y=e-xsinx．(11)[考點(diǎn)]曲線(xiàn)積分的計(jì)算[答案解析](12)[考點(diǎn)]反常積分計(jì)算[答案解析](13)[考點(diǎn)]二重積分的計(jì)算[答案解析](14)2[考點(diǎn)]二次型[答案解析]特征值λ1=0，λ2=1，λ3=4，f慣性指數(shù)為2．三、解答題(15)[考點(diǎn)]極限的逆問(wèn)題[答案解析]當(dāng)a=0時(shí)，因?yàn)?，所以結(jié)論不正確；當(dāng)a＜0時(shí)，因?yàn)?，所以結(jié)論也不正確；當(dāng)a＞0時(shí)，所以a＜3，于是1＜a＜3．(16)[考點(diǎn)]利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)[答案解析]當(dāng)t=1時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)t=-1即x=-1時(shí)，函數(shù)取極大值y=1．當(dāng)t=1時(shí)，因?yàn)椋援?dāng)t=1即時(shí)，函數(shù)取極小值．令得t=0，當(dāng)t＜0時(shí)，，當(dāng)t＞0時(shí)當(dāng)t＜0時(shí)即時(shí)，函數(shù)為凸函數(shù)，當(dāng)t＞0即時(shí)，函數(shù)為凹函數(shù)．(17)[考點(diǎn)]二元函數(shù)求偏導(dǎo)[答案解析]由g(x)可導(dǎo)且在x=1處取極值g(1)=1，所以g'(1)=0．(18)[考點(diǎn)]利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)[答案解析]，兩邊對(duì)x得，即(1+y'2)y'=y"，于是有令y'=P，則，于是有，變量分離得，兩邊積分得由P(0)=1得，代入得解出由y(0)=0．面積分得：(19)[考點(diǎn)]數(shù)列與積分中值定理綜合題[答案解析]證明：①f(x)=ln(1+x)在應(yīng)用中值定理其中②其中易知an+1-an＜0，則an+1＜an即{an}單調(diào)遞減又所以{an}單調(diào)遞減有界，故{an}收斂．(20)[考點(diǎn)]積分的應(yīng)用[答案解析](Ⅰ)(Ⅱ)(21)[考點(diǎn)]二重積分的計(jì)算[答案解析]于是(22)[考點(diǎn)]向量的線(xiàn)性相關(guān)性[答案解析](Ⅰ)因?yàn)椋詒(α1，α2，α3)=3又因?yàn)棣?，α2，α3不能由β1，β2，β3線(xiàn)性表示，所以r(β1，β2，β3)＜3，于是|β1，β2，β3|=0，解得a=5．(Ⅱ)于是(23)[考點(diǎn)]矩陣的特征值、特征向量[答案解析](Ⅰ)易知特征值-1對(duì)應(yīng)的特征向量為特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量為，由r(A)=2知A的另一個(gè)特征