高中數(shù)學(xué)五第三章4基本不等式（1）教案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課題：3.4基本不等式第課時總序第個教案課型:新授課編寫時時間：年月日執(zhí)行時間：年月日教學(xué)目標(biāo)：1．知識與技能：學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等;2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；3．情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣批注教學(xué)重點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；教學(xué)難點：基本不等式等號成立條件教學(xué)用具：投影儀教學(xué)方法：通過實例探究抽象基本不等式教學(xué)過程：1。課題導(dǎo)入基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。2。講授新課1．探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a，b那么正方形的邊長為.這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有。2．得到結(jié)論：一般的，如果3．思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因為當(dāng)所以,,即4．1）從幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識基本不等式特別的,如果a〉0,b>0，我們用分別代替a、b，可得，通常我們把上式寫作：2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式用分析法證明：要證（1)只要證a+b(2）要證（2），只要證a+b-0（3）要證（3），只要證（—)(4）顯然,(4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,(4）中的等號成立.3）理解基本不等式的幾何意義探究:課本第110頁的“探究"在右圖中,AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD.你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？易證Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝。這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合,即a＝b時,等號成立。因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”評述：1.如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項，看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為:兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項。2。在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù),稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。［補充例題]例1已知x、y都是正數(shù),求證:(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2)（x3＋y3）≥８x3y3。分析:在運用定理：時,注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件），進(jìn)行變形.解：∵x，y都是正數(shù)∴＞0,＞0，x2＞0，y2＞0,x3＞0，y3＞0(1）＝2即≥2.（2）x＋y≥2＞0x2＋y2≥2＞0x3＋y3≥2＞0∴（x＋y）（x2＋y2)(x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即（x＋y）(x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.3.隨堂練習(xí)1。已知a、b、c都是正數(shù)，求證（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc分析：對于此類題目，選擇定理:（a＞0，b＞0）靈活變形，可求得結(jié)果。解:∵a，b，c都是正數(shù)∴a＋b≥2＞0b＋c≥2＞0c＋a≥2＞0∴（a＋b）（b＋c）(c＋a）≥2·2·2＝８abc即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.4.課時小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)(）及它們的關(guān)系（≥）.它們成立的條件不同,前者只要求a、b都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們