2021年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市土左旗第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2021年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市土左旗第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，其中在第二象限，則．

．

．

．參考答案：，在第二象限，，故2.△ABC外接圓的半徑為，圓心為，且，，則的值是

（

）A.2

B.3

C.1

D.0參考答案：B

3.函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象左移π個(gè)單位后所得函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=﹣對(duì)稱，則a=(

) A．1 B． C．﹣1 D．﹣參考答案：C考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：先將函數(shù)y=sin2x+acos2x利用輔角公式化簡(jiǎn)，然后求出平移后的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)在對(duì)稱軸上取最值可得答案．解答： 解：由題意知y=sin2x+acos2x=sin（2x+φ），tanφ=a，函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象左移π個(gè)單位后所得函數(shù)y=sin（2x+2π+φ）=sin（2x+φ），的圖象，函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=﹣對(duì)稱，∴φ=k，k∈Z，φ=kπ+，k∈Z，∵tanφ=a，∴a=tan（kπ+）=﹣1．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的輔角公式，三角函數(shù)的圖象的平移變換，考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性問題．屬基礎(chǔ)題．4.設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，則|a－tb|(t∈R)的最小值為(

)

A.2 B. C.1 D.參考答案：D略5.設(shè)全集,集合，則集合 (

)A．

B． C．

D．參考答案：B略6.過橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為

A．

B．

C．

D．參考答案：B7.已知集合,，則＝

A．﹛x|x＜－5或x＞－3﹜

B．﹛x|－5＜x＜5﹜C．﹛x|－3＜x＜5﹜

D．﹛x|x＜－3或x＞5﹜參考答案：A8.若變量x，y滿足條件，則xy的取值范圍是（

）A.[0,5] B. C. D.[0,9]參考答案：D變量x,y滿足條件的可行域如圖：xy的幾何意義是，如圖虛線矩形框的面積，顯然矩形一個(gè)頂點(diǎn)在C求出xy的最小值，頂點(diǎn)在AB線段時(shí)求出最大值，由,可得C(1,0)，所以xy的最小值為：0，xy=x(6?x)=6x?x2，當(dāng)x=3時(shí).xy取得最大值：9.則xy的取值范圍是：[0,9].故選：D.點(diǎn)睛：本題考查的是線性規(guī)劃問題，解決線性規(guī)劃問題的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域;二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò);三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.9.已知實(shí)數(shù)a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，M＝2a＋2b，則M的整數(shù)部分是()A．1

B．2C．3

D．4參考答案：B10.已知正數(shù)x,y滿足，則的最小值為(

)

(A)1

(B)

(C)

(D)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之間的均勻隨機(jī)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為________.參考答案：0.512.三角形ABC的角A．B．C的對(duì)邊分別為a．b．c．已知10acosB=3bcosA，，則C=．參考答案：【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【分析】，A∈（0，π），可得sinA=．由10acosB=3bcosA，利用正弦定理可得：10sinAcosB=3sinBcosA，可得2cosB=3sinB，與sin2B+cos2B=1聯(lián)立解得：cosB（＞0），sinB．再利用cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB即可得出．【解答】解：∵，A∈（0，π），∴sinA==．∵10acosB=3bcosA，∴10sinAcosB=3sinBcosA，∴10×cosB=3sinB×，∴2cosB=3sinB，又sin2B+cos2B=1．聯(lián)立解得：cosB=±，sinB=．取cosB=，則cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB=×﹣×=．C∈（0，π）．∴C=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理余弦定理的應(yīng)用、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13.已知關(guān)于的二項(xiàng)式的展開式的二項(xiàng)系數(shù)和為32，常數(shù)項(xiàng)為80，則a的值為_____.參考答案：214.已知A（3，2）、B（1，0），P（x，y）滿足=x1+x2（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），若x1+x2=1，則P點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程是

．參考答案：x﹣y﹣1=0【考點(diǎn)】直線的兩點(diǎn)式方程；向量在幾何中的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)=x1+x2得出（x，y）=（3x1+x2，2x1），得到x﹣y=x1+x2=1．【解答】解：∵=x1+x2∴（x，y）=（3x1，2x1）+（x2，0）=（3x1+x2，2x1），∴x=3x1+x2，y=2x1，∴x﹣y=x1+x2=1，故P點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程是x﹣y﹣1=0，故答案為：x﹣y﹣1=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算．15.由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)，其平均數(shù)和中位數(shù)都是，且標(biāo)準(zhǔn)差等于，則這組數(shù)據(jù)為

.（從小到大排列）參考答案：不妨設(shè)，，依題意得，，即，所以則只能，，則這組數(shù)據(jù)為。16.設(shè),則當(dāng)______時(shí),取得最小值.參考答案：考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求極值；2.構(gòu)造函數(shù).【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題，通過分析參數(shù)的值可發(fā)現(xiàn)恒大于，因此可得到，因此可構(gòu)造出，進(jìn)而可利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再通過比較極值可到的最值，進(jìn)而得到結(jié)果，對(duì)于此類問題想辦法去掉絕對(duì)值，通過函數(shù)的單調(diào)性求出最值是解決問題的關(guān)鍵.17.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，若曲線的極坐標(biāo)方程為．直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，則_________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分l4分）已知函數(shù)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)為，且前n項(xiàng)和滿足．(I)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式：(II)若數(shù)列前n項(xiàng)和為，問使的最小正整數(shù)n是多少？參考答案：19.已知a＞0，f（x）=ax2﹣2x+1+ln（x+1），l是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）若切線l與曲線y=f（x）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的值；（Ⅲ）證明對(duì)任意的a=n（n∈N*），函數(shù)y=f（x）總有單調(diào)遞減區(qū)間，并求出f（x）單調(diào)遞減區(qū)間的長度的取值范圍．（區(qū)間[x1，x2]的長度=x2﹣x1）參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)P（0，f（0））為切點(diǎn)，求出f（0）=1，則P（0，1），再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率k=f′（0），利用點(diǎn)斜式求出切線方程，化簡(jiǎn)即可得到答案；（Ⅱ）將切線l與曲線y=f（x）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），研究h（x）=0的解的個(gè)數(shù)問題，求出h′（x）=0的根，對(duì)a進(jìn)行分類討論，當(dāng)a=時(shí)，h（x）=0只有一個(gè)解，符合題意，當(dāng)0＜a＜時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性和極值，確定方程h（x）=0有兩個(gè)根，不符合題意，當(dāng)a＞時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性和極值，確定方程h（x）=0有兩個(gè)根，不符合題意，綜合上述，確定a的值；（Ⅲ）求出，令k（x）=2ax2+（2a﹣2）x﹣1，根據(jù)x+1＞0，則將f′（x）＜0等價(jià)于k（x）=2ax2+（2a﹣2）x﹣1＜0，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可知方程k（x）=0有兩個(gè)不同的根x1，x2，其中﹣1＜x1＜x2，確定f（x）的減區(qū)間為[x1，x2]，所以化簡(jiǎn)區(qū)間長度為x2﹣x1=，根據(jù)a=n代入即可得x2﹣x1=，利用單調(diào)性確定x2﹣x1的取值范圍，從而得到f（x）單調(diào)遞減區(qū)間的長度的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2﹣2x+1+ln（x+1），且點(diǎn)P（0，f（0））為切點(diǎn)，∴f（0）=1，又，∴切線的斜率k=f′（0）=﹣1，又切點(diǎn)P（0，1），∴由點(diǎn)斜式可得，y﹣1=﹣1×（x﹣0），即x+y﹣1=0，∴切線l的方程為x+y﹣1=0；（Ⅱ）切線l與曲線y=f（x）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），則h（x）=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，∵h(yuǎn)（0）=0，∴h（x）=0有一個(gè)解為x=0，又，①在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，∴x=0是方程h（x）=0的唯一解，∴符合題意；②，，列表如下：x（﹣1，0）0h′（x）+0﹣0+h（x）↗極大值0↘極小值↗∴，∴方程h（x）=0在上還有一解，∴方程h（x）=0的解不唯一；∴0＜a＜不符合題意；③當(dāng)，，x2=0，列表如下：x

0（0，+∞）h′（x）+0﹣0+h（x）↗極大值↘極小值0↗∴，又當(dāng)x＞﹣1且x趨向﹣1時(shí)，ax2﹣x＜a+1，∴l(xiāng)n（x+1）趨向﹣∞，∴h（x）趨向﹣∞．∴方程h（x）=0在上還有一解，∴方程h（x）=0的解不唯一；∴a＞不符合題意．綜合①②③，當(dāng)l與曲線y=f（x）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，；（Ⅲ）證明：∵f（x）=ax2﹣2x+1+ln（x+1），∴，令k（x）=2ax2+（2a﹣2）x﹣1，∵x＞﹣1，∴f′（x）＜0等價(jià)于k（x）=2ax2+（2a﹣2）x﹣1＜0，

∵△=（2a﹣2）2+8a=4（a2+1）＞0，對(duì)稱軸，k（﹣1）=2a﹣（2a﹣2）﹣1=1＞0，∴k（x）=0有兩個(gè)不同的解設(shè)為x1，x2，其中﹣1＜x1＜x2，且，，∴當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f′（x）＜0，∴y=f（x）的減區(qū)間為[x1，x2]，∴，∴當(dāng)a=n（n∈N*）時(shí)，區(qū)間長度，∴減區(qū)間長度x2﹣x1的取值范圍為]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時(shí)要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，求函數(shù)極值的步驟是：先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的根，確定函數(shù)在方程的根左右的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義，確定極值點(diǎn)和極值．過程中要注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，一般導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．根據(jù)極值和單調(diào)性確定函數(shù)的簡(jiǎn)圖，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法求解交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．屬于中檔題．20.設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，（Ⅰ）求、的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和。參考答案：21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，其中的函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸．（Ⅰ）確定與的關(guān)系；（II）若，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)（）證明：．參考答案：增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分（3）依題意得，證，即證因，即證令（），即證（）令（）則∴在（1，+）上單調(diào)遞增，∴=0，即（）。。①令u(x)=lnt–t+1∵uˊ(x)=1/t-1=(1-t)/t又∵t>1∴u(t)在（1，+∞）單調(diào)遞減∴u（t）﹤u(1)=0∴l(xiāng)nt﹤t-1。。②綜①②