河南省周口市第十四中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

河南省周口市第十四中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等差數(shù)列{an}中，若a1+a5+a9=，則tan（a4+a6）=(

)A． B． C．1 D．﹣1參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；兩角和與差的正切函數(shù)．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，知道a5是a1與a9的等差中項(xiàng)，得到第五項(xiàng)的值，根據(jù)a5是a4與a6的等差中項(xiàng)，得到這兩項(xiàng)的值，求出角的正切值．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，a1+a5+a9=，∴3a5=，∴a4+a6=，∴tan（a4+a6）=tan，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差中項(xiàng)的應(yīng)用，考查特殊角的三角函數(shù)值，本題是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的綜合題目．2.若函數(shù)y=ksin（kx+φ）（）與函數(shù)y=kx﹣k2+6的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）=sin（kx﹣φ）+cos（kx﹣φ）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程可以為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】H6：正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性．【分析】由函數(shù)的最大值求出A，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性求得f（x）的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程．【解答】解：若函數(shù)y=ksin（kx+φ）（）與函數(shù)y=kx﹣k2+6的部分圖象如圖所示，根據(jù)函數(shù)y=ksin（kπ+φ）（k＞0，|φ|＜）的最大值為k，∴﹣k2+6=k，∴k=2．把點(diǎn)（，0）代入y=2sin（2x+φ）可得sin（+φ）=0，∴φ=﹣，∴入y=2sin（2x﹣）．則函數(shù)f（x）=sin（kx﹣φ）+cos（kx﹣φ）=2sin（2x+）+2cos（2x+）=sin（2x++）=sin（2x+）．令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故f（x）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸的方程為得x=+，k∈Z當(dāng)k=1時(shí)，可得函數(shù)f（x）=sin（kx﹣φ）+cos（kx﹣φ）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程可以為，故選：B．3.設(shè)集合U=R，集合M={x|x>0},N={x|x2≥x}，則下列關(guān)系中正確的是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D4.已知實(shí)數(shù)a=cos224°﹣sin224°，b=1﹣2sin225°，c=，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．c＞b＞a參考答案：B【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】由題意利用余弦函數(shù)的值域和單調(diào)性，可得a，b，c的大小關(guān)系．【解答】解：實(shí)數(shù)a=cos224°﹣sin224°=cos48°，b=1﹣2sin225°=cos50°，c==tan46°＞1，再根據(jù)余弦函數(shù)y=cosx在（0°，90°）上單調(diào)遞減，且它的值域?yàn)椋?，1），可得c＞a＞b，故選：B．5.已知、是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率的倒數(shù)之和的最大值為(

)A． B． C．3 D．2參考答案：A試題分析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸為，半焦距為，

由橢圓和雙曲線(xiàn)的定義可知，

設(shè)，橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率分別為

由余弦定理可得，①

在橢圓中，①化簡(jiǎn)為即即在雙曲線(xiàn)中，①化簡(jiǎn)為即即③

聯(lián)立②③得，由柯西不等式得即（

即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選A考點(diǎn)：橢圓，雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，余弦定理6.已知M={（x,y）|x+y≤6,x≥0,y≥0},N={（x,y）|x≤4,y≥0,x-2y≥0}，若向區(qū)域M隨機(jī)投一點(diǎn)P，則P落入?yún)^(qū)域N的概率為

A．

B．

C．

D．參考答案：D7.設(shè)全集則右圖中陰影部分表示的集合為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A8.若變量滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.設(shè)是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C或異面；位置關(guān)系不定；；位置關(guān)系不定；所以選C.

10.設(shè)z1、z2∈C,則“z+z=0”是“z1=z2=0”的

(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線(xiàn)上，其中則的最小值為

參考答案：212.設(shè)f(sina+cosa)=sina?cosa,則f(sin)的值為_(kāi)_____。參考答案：13.過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率e=

．參考答案：14.在等差數(shù)列{an}中，，則___________.參考答案：1【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得答案．【詳解】根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，＝2，則（）＝1；故答案為115.已知的一個(gè)內(nèi)角為，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則的面積為_(kāi)________．參考答案：16.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤，問(wèn)本持金幾何”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金，第2關(guān)收稅金為剩余金的，第3關(guān)收稅金為剩余金的，第4關(guān)收稅金為剩余金的，第5關(guān)收稅金為剩余金的，5關(guān)所收稅金之和，恰好重1斤，問(wèn)原來(lái)持金多少？”若將題中“5關(guān)所收稅金之和，恰好重1斤，問(wèn)原來(lái)持金多少？”改成假設(shè)這個(gè)原來(lái)持金為x，按此規(guī)律通過(guò)第8關(guān)，則第8關(guān)需收稅金為x．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【分析】第1關(guān)收稅金：x；第2關(guān)收稅金：（1﹣）x=x；第3關(guān)收稅金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8關(guān)收稅金．【解答】解：第1關(guān)收稅金：x；第2關(guān)收稅金：（1﹣）x=x；第3關(guān)收稅金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8關(guān)收稅金：x，即x．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．17.設(shè)函數(shù)，則=

．參考答案：0根據(jù)分段函數(shù)的解析式得到：2>1,故f(2)代第二段解析式,.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(14分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)F(1,0)，直線(xiàn):，點(diǎn)P在直線(xiàn)上移動(dòng),R是線(xiàn)段PF與y軸的交點(diǎn),.(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程；(2)記Q的軌跡的方程為E，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的曲線(xiàn)E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M,N．求證：直線(xiàn)MN必過(guò)定點(diǎn)R(3,0)．參考答案：解：(1)依題意知，直線(xiàn)的方程為：．點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，且⊥，∴是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．∴是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．∵點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，∴．…4分故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，其方程為：．…7分(2)設(shè)，，直線(xiàn)AB的方程為…8則（1）-（2）得，即，………9分代入方程，解得．所以點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)為．……10分同理可得：的坐標(biāo)為．直線(xiàn)的斜率為，方程為，整理得，……12分顯然，不論為何值，均滿(mǎn)足方程，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．……14分19.排成一排的名學(xué)生生日的月份均不相同，有名教師，依次挑選這些學(xué)生參加個(gè)興趣小組，每個(gè)學(xué)生恰被一名教師挑選，且保持學(xué)生的排序不變，每名教師挑出的學(xué)生必須滿(mǎn)足生日的月份是逐漸增加或逐漸減少的（挑選一名或兩名學(xué)生也認(rèn)為是逐漸增加或逐漸減少的），每名教師盡可能多選學(xué)生，對(duì)于學(xué)生所有可能的排序，求的最小值。參考答案：的最小值為。若，不妨假設(shè)這名學(xué)生生日的月份分別為，當(dāng)學(xué)生按生日排序?yàn)闀r(shí)，存在一名教師至少要挑選前四名學(xué)生中的兩名，由于這兩名學(xué)生生日的月份是逐漸減少的，且后六名學(xué)生生日的月份均大于前四名學(xué)生生日的月份，因此這名教師不可能再挑選后六名學(xué)生；在余下的不超過(guò)兩名教師中，一定存在一名教師至少要挑選第五名至第七名學(xué)生中的兩名，同理，這名教師不可能再挑選后三名學(xué)生；余下的不超過(guò)一名教師也不可能挑選后三名學(xué)生，矛盾。下面先證明：對(duì)于互不相同的有序?qū)崝?shù)列，當(dāng)時(shí)，一定存在三個(gè)數(shù)滿(mǎn)足或。設(shè)最大數(shù)和最小數(shù)分別為，不妨假設(shè)。若，則滿(mǎn)足；，因?yàn)椋砸丛诘那懊妫丛诘暮竺嬷辽儆袃蓚€(gè)數(shù)，不妨假設(shè)在的后面有兩個(gè)數(shù)，從而與中一定有一個(gè)成立。引用上面的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，第一名教師至少可以挑選三名學(xué)生；若余下的學(xué)生大于等于名，則第二名教師也至少可以挑選三名學(xué)生；這時(shí)剩下的學(xué)生的數(shù)目不超過(guò)名，可以被兩名教師全部挑選，因此，的最小值為。20.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若（1）求角A；（2）若4（b+c）=3bc，，求△ABC的面積S．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得：，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得，結(jié)合A為內(nèi)角，即可求A的值．（2）由余弦定理及已知可解得：b+c=6，從而可求bc=8，根據(jù)三角形面積公式即可得解．【解答】（本題滿(mǎn)分為12分）解：（1）由正弦定理得：…又∵sinB=sin（A+C）∴即…又∵sinC≠0∴又∵A是內(nèi)角∴A=60°…（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc…∴（b+c）2﹣4（b+c）=12得：b+c=6∴bc=8…∴S=…21.已知數(shù)列{an}是以公比為q的等比數(shù)列，Sn（n∈N*）是其前n項(xiàng)和，且S3，S9，S6成等差數(shù)列．（1）求證：a2，a8，a5也成等差數(shù)列；（2）判斷以a2，a8，a5為前三項(xiàng)的等差數(shù)列的第四項(xiàng)是否也是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？若是，求出這一項(xiàng)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【分析】首先將給出的項(xiàng)、和都用等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比表示出來(lái)，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用等差數(shù)列的定義構(gòu)造等量關(guān)系和證明要證的結(jié)論；第二問(wèn)是一個(gè)探究性問(wèn)題，一般先假設(shè)結(jié)論成立，然后以此為條件結(jié)合已知條件進(jìn)行推導(dǎo)，若推導(dǎo)出結(jié)果成立則結(jié)論成立，若推出矛盾，則結(jié)論不成立．【解答】解：（Ⅰ）證明：當(dāng)q=1時(shí)，S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，而a1≠0，∴S3，S9，S6不可能是等差數(shù)列，故q≠1．當(dāng)q≠1時(shí)，∵S3，S9，S6成等差數(shù)列，∴2S9=S3+S6，又，∴，化簡(jiǎn)得2q7=q+q4，所以，∴2a8=a2+a5，故a2、a8、a5成等差數(shù)列．（Ⅱ）由2q6=1+q3得q3=1（舍）或q3=﹣，要使以a2，a8，a5為前三項(xiàng)的等差數(shù)列的第四項(xiàng)是數(shù)列{an}中的項(xiàng)且為第k項(xiàng)，則必有ak﹣a5=a5﹣a8，即2a5=a8+ak，兩邊同除以a2，得2q3=qk﹣2+q6，將q3=﹣代入，解得qk﹣2=﹣，又∵（q3）k﹣2=（﹣）k﹣2，即（qk﹣2）3=（﹣）k﹣2，∴，由于k是正整數(shù)，所以不可能成立，∴以a2，a8，a5為前三項(xiàng)的等差數(shù)列的第四項(xiàng)不可能是數(shù)列{an}中的項(xiàng)．22.設(shè)函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）．（1）求f（x）的周期和最大值；（2）已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（π﹣A）＝，b+c＝2，求a的最小值．參考答案：（1）周期為π，最大值為2.（2）【分析】（1）利用倍角公式降冪，展開(kāi)兩角差的余弦，將函數(shù)的關(guān)系式化簡(jiǎn)余弦型函數(shù)，可求出函數(shù)的周期及最值；（2）由f（π﹣A），求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值．【詳解】（1）函數(shù)f（x）