工程法滑移線上限法

工程法滑移線上限法第一頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§7.1工程法及其要點(diǎn)求解原理

——工作應(yīng)力，一般它在工作面上是不均勻的，常用單位壓力表示S——工作面積，按“工作面投影代替力的投影”法則求解

第二頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日求解要點(diǎn)工程法是一種近似解析法，通過(guò)對(duì)物體應(yīng)力狀態(tài)作一些簡(jiǎn)化假設(shè)，建立以主應(yīng)力表示的簡(jiǎn)化平衡微分方程和塑性條件。這些簡(jiǎn)化和假設(shè)如下：

1．把實(shí)際變形過(guò)程視具體情況的不同看作是平面應(yīng)變問(wèn)題和軸對(duì)稱問(wèn)題。如平板壓縮、寬板軋制、圓柱體鐓粗、棒材擠壓和拉拔等。

2．假設(shè)變形體內(nèi)的應(yīng)力分布僅是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。這樣就可獲得近似的應(yīng)力平衡微分方程，或直接在變形區(qū)內(nèi)截取單元體，截面上的正應(yīng)力假定為主應(yīng)力且均勻分布，由此建立該單元體的應(yīng)力平衡微分方程為常微分方程。第三頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.采用近似的塑性條件。工程法把接觸面上的正應(yīng)力假定為主應(yīng)力，于是對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，塑性條件

可簡(jiǎn)化為或?qū)τ谳S對(duì)稱問(wèn)題，塑性條件可簡(jiǎn)化為第四頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日4．簡(jiǎn)化接觸面上的摩擦。采用以下二種近似關(guān)系庫(kù)侖摩擦定律：（滑動(dòng)摩擦）常摩擦定律：（粘著摩擦）式中：

——摩擦應(yīng)力k——屈服切應(yīng)力（）

——正應(yīng)力f——摩擦系數(shù)5．其它。如不考慮工模具彈性變形的影響，材料變形為均質(zhì)和各向同性等。第五頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例題一1.滑動(dòng)摩擦條件下的矩形塊平錘壓縮變形（直角坐標(biāo)平面應(yīng)變問(wèn)題）高為h，寬為W，長(zhǎng)為l

的矩形塊，置于平錘下壓縮。如果l

比W大得多，則l方向幾乎沒(méi)有延伸，僅在x方向和y方向有塑性流動(dòng)，即為平面應(yīng)變問(wèn)題，適用于直角坐標(biāo)分析。

矩形工件的平錘壓縮§7.2直角坐標(biāo)平面應(yīng)變問(wèn)題解析

第六頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日（以圖示應(yīng)力方向推證。）單元體x方向的力平衡方程為：整理后得：由近似塑性條件或，得：將滑動(dòng)摩擦?xí)r的庫(kù)侖摩擦定律代入上式得：上式積分得：σy－σx=Kf

第七頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日在接觸邊緣處，即時(shí)，，由近似塑性條件得于是因此接觸面上正應(yīng)力分布規(guī)律最后求得板坯單位長(zhǎng)度（Z向單位長(zhǎng)度）上的變形力P可求得為：第八頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

下面討論混合摩擦條件下，平錘均勻鐓粗圓柱體時(shí)變形力計(jì)算。圓柱體鐓粗時(shí)，如果鍛件的性能和接觸表面狀態(tài)沒(méi)有方向性，則內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)對(duì)稱于圓柱體軸線（z軸），即在同一水平截面上，各點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，僅與r坐標(biāo)有關(guān)。因此是一個(gè)典型的圓柱體坐標(biāo)軸對(duì)稱問(wèn)題。

§7.3圓柱坐標(biāo)軸對(duì)稱問(wèn)題

第九頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)A柱坐標(biāo)軸對(duì)稱問(wèn)題工件的受力情況如右圖所示。仍以圖示受力方向推證。分析它的一個(gè)分離單元體的靜力平衡條件，得：第十頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日由于很小d，，忽略高階微分，整理得：對(duì)于均勻變形，，上式即為：將近似的塑性條件代入上式得：第十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日接觸面上正應(yīng)力的分布規(guī)律1．滑動(dòng)區(qū)上式積分得：當(dāng)r=R時(shí)，，將近似塑性條件代入上式，得積分常數(shù)C1因此：第十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2．粘著區(qū)將代入平衡方程得：上式積分得：設(shè)滑動(dòng)區(qū)與粘著區(qū)分界點(diǎn)為rb。由，得此處利用這一邊界條件，得積分常數(shù)因此得：第十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3．停滯區(qū)一般粘著區(qū)與停滯區(qū)的分界面可近似取，于是得：積分得：當(dāng)時(shí)，，代入上式得：于是式中第十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

4．滑動(dòng)區(qū)與粘著區(qū)的分界位置rb

滑動(dòng)區(qū)與粘著區(qū)的分界位置可由滑動(dòng)區(qū)在此點(diǎn)的與粘著區(qū)在此點(diǎn)的相等這一條件確定，因此在rb點(diǎn)上有：

因此得：第十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日5．平均單位壓力圓柱體平錘壓縮時(shí)的平均單位壓力

式中視接觸面上的分區(qū)狀況而異。第十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§7.4極坐標(biāo)平面應(yīng)變問(wèn)題解析

不變薄拉深（極坐標(biāo)平面應(yīng)變問(wèn)題）。不變薄拉深時(shí)，由于板厚不變化，變形區(qū)主要是在凸緣部分，發(fā)生周向的壓縮及徑向延伸的變形，因而凸緣部分的變形是一種適用于極坐標(biāo)描述的平面應(yīng)變問(wèn)題。由于變形的對(duì)稱性，、均為主應(yīng)力。第十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日因此平衡微分方程為：將塑性條件代入上式得然后利用邊界條件進(jìn)行拉深力的求解。第十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日積分常數(shù)C根據(jù)凸緣處的與邊壓力Q引起摩擦阻力相平衡條件確定，即式中－板坯厚度

Q－壓邊力因此第十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日根據(jù)以上邊界條件，得積分常數(shù)于是當(dāng)（凸模半徑）時(shí)，得凸緣部分得拉深力為r=r1

第二十頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日單孔模正擠壓圓棒

（球坐標(biāo)軸對(duì)稱問(wèn)題）分四個(gè)區(qū)進(jìn)行求解:

1.定徑區(qū)

2.錐形塑性變形區(qū)

3.后端彈性區(qū)

4.多余功和多余應(yīng)變(仍然以圖示受力方向推證。）§7.5球坐標(biāo)軸對(duì)稱問(wèn)題的解析

第二十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.定徑區(qū)

坯料進(jìn)入該區(qū)后，塑性變形剛好終結(jié)。坯料在該區(qū)內(nèi)只是發(fā)生彈性回復(fù)，力圖徑向漲大。因而受到定徑帶給予的正壓力與摩擦力的作用，此外還受到來(lái)自錐形塑性變形區(qū)的徑向壓力的作用，金屬在該區(qū)內(nèi)處于三向壓應(yīng)力狀態(tài)。第二十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日根據(jù)定徑區(qū)的力平衡條件，得式中d－擠壓后圓棒直徑；－定徑帶長(zhǎng)度。摩擦應(yīng)力取最大值，，為定徑帶上的摩擦系數(shù)。因此可得第二十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.錐形塑性變形區(qū)

在該區(qū)內(nèi)，坯料受到來(lái)自I區(qū)和III區(qū)的壓力以及IV區(qū)的壓應(yīng)力和摩擦力的作用，處于三向壓應(yīng)力狀態(tài)，產(chǎn)生兩向壓縮一向拉伸的變形，當(dāng)按照球坐標(biāo)軸對(duì)稱問(wèn)題處理時(shí)，認(rèn)為塑性變形區(qū)與I區(qū)和III區(qū)的分界面為同心球面，與IV區(qū)的分界面為錐角為的錐面。第二十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日在球坐標(biāo)中所截取的單元體，其力平衡條件式中忽略高階微分項(xiàng)，上式整理得（a）式中，m為錐面上得摩擦因子，通常取1。第二十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日將近似塑性條件代入（a）式得將上式積分得（b）當(dāng)時(shí)

第二十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日將此邊界條件代入（b）式得積分常數(shù)C：于是塑性區(qū)內(nèi)在塑性變形得入口界面上，即時(shí)其徑向應(yīng)力式中，D為擠壓筒直徑。第二十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.后端彈性區(qū)

坯料在該區(qū)內(nèi)受到接近等值的、強(qiáng)烈的三向壓應(yīng)力作用，一般不會(huì)發(fā)生塑性變形，只是在墊片的推動(dòng)下不斷向塑性變形區(qū)內(nèi)補(bǔ)充金屬。由于坯料與擠壓筒間的壓力很高，所以其接觸摩擦力也很大，通常取第二十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日根據(jù)力平衡條件，得擠壓墊片的平均單位擠壓力為：式中－坯料第三區(qū)的長(zhǎng)度，其最大值近似為坯料填充擠壓后的長(zhǎng)度，

－坯料的原始直徑和長(zhǎng)度。第二十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.多余功和多余應(yīng)變擠壓模錐面或“死區(qū)”錐面的約束，使坯料在塑性變形區(qū)的入口和出口處受到兩次不同方向的剪切變形，而這種剪切變形對(duì)工件的外形變化并沒(méi)有直接貢獻(xiàn)。故通常把這種變形叫做多余應(yīng)變。消耗于多余應(yīng)變上的能量叫多余功。第三十頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日下面說(shuō)明多余應(yīng)變及多余功對(duì)擠壓力的影響。如圖7－8所示，在塑性變形區(qū)入口處取一離軸心線半徑為r的微小圓球體，長(zhǎng)為，厚度為。第三十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

此圓環(huán)的剪切變形為角，假設(shè)角是隨半徑r呈線性變化的，即則消耗于微圓環(huán)剪切變形所需的能量為因此，在變形區(qū)入口處出現(xiàn)多余應(yīng)變所需的總能量為第三十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日另一方面，當(dāng)使這一多余應(yīng)變發(fā)生，擠壓軸額外提供的多余應(yīng)力作的功為由得同理，可確定在塑性變形區(qū)出口處的多余應(yīng)力因此，總的多余應(yīng)力為第三十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日小結(jié)

本章主要介紹了計(jì)算塑性加工變形力的一種解法——工程法的概念及其要點(diǎn)。舉例解析了直角坐標(biāo)平面應(yīng)變問(wèn)題，極坐標(biāo)平面應(yīng)變問(wèn)題，圓柱坐標(biāo)軸對(duì)稱問(wèn)題以及球坐標(biāo)軸對(duì)稱問(wèn)題。這里重點(diǎn)要掌握的是工程法的要點(diǎn)，直角坐標(biāo)平面應(yīng)變問(wèn)題、極坐標(biāo)平面應(yīng)變問(wèn)題、圓柱坐標(biāo)軸對(duì)稱問(wèn)題以及球坐標(biāo)軸對(duì)稱問(wèn)題的解析，且能夠運(yùn)用工程法簡(jiǎn)單分析變形力。第三十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第8章滑移線理論及應(yīng)用§8.1概述§8.2平面應(yīng)變問(wèn)題和滑移線場(chǎng)§8.3漢蓋（Hencky）應(yīng)力方程——滑移線的沿線力學(xué)方程§8.4滑移線的幾何性質(zhì)§8.5應(yīng)力邊界條件和滑移線場(chǎng)的繪制§8.6三角形均勻場(chǎng)與簡(jiǎn)單扇形場(chǎng)組合問(wèn)題及實(shí)例第三十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日滑移線理論是根據(jù)平面應(yīng)變的變形力學(xué)特點(diǎn)，通過(guò)聯(lián)解精確平衡微分方程與精確塑性條件，求得理想剛塑性體平面應(yīng)變問(wèn)題變形力以及變形區(qū)內(nèi)應(yīng)力分布的一種圖解與數(shù)值計(jì)算相結(jié)合的方法?！?.1概述第三十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日滑移線理論是二十世紀(jì)二十年代初，基于以下實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象而發(fā)展起來(lái)的：當(dāng)金屬進(jìn)入塑性變形的初期，人們可以從光滑的金屬試樣表面觀察到一些規(guī)則取向的條紋，即所謂的“滑移帶”現(xiàn)象。第三十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日實(shí)驗(yàn)表明，條紋上各點(diǎn)的切線方向正好是該點(diǎn)的最大切應(yīng)力方向。同時(shí)，金屬塑性變形的微觀機(jī)理研究表明，這些條紋也恰好是金屬晶體滑移變形的實(shí)際滑移面與金屬試樣表面的交線，滑移線的名稱即由此而來(lái)。據(jù)此，塑性力學(xué)上把塑性流動(dòng)平面內(nèi)，最大切應(yīng)力等于屈服切應(yīng)力的軌跡線稱為滑移線。由于各點(diǎn)的最大切應(yīng)力平面是成對(duì)正交的，因此滑移線在塑性流動(dòng)平面內(nèi)為兩族正交的曲線。第三十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日實(shí)驗(yàn)表明，條紋上各點(diǎn)的切線方向正好是該點(diǎn)的最大切應(yīng)力方向。同時(shí)，金屬塑性變形的微觀機(jī)理研究表明，這些條紋也恰好是金屬晶體滑移變形的實(shí)際滑移面與金屬試樣表面的交線，滑移線的名稱即由此而來(lái)。據(jù)此，塑性力學(xué)上把塑性流動(dòng)平面內(nèi)，最大切應(yīng)力等于屈服切應(yīng)力的軌跡線稱為滑移線。由于各點(diǎn)的最大切應(yīng)力平面是成對(duì)正交的，因此滑移線在塑性流動(dòng)平面內(nèi)為兩族正交的曲線。第三十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

由于金屬塑性變形的基本機(jī)制是晶體在切應(yīng)力作用下沿著特定的晶面和晶向而產(chǎn)生滑移，滑移結(jié)果在試樣表面顯露出滑移臺(tái)階，因此，滑移線是金屬塑性變形時(shí)，發(fā)生晶體滑移的可能地帶。只有特定的晶面和晶向的切應(yīng)力達(dá)到金屬的臨界屈服切應(yīng)力時(shí)才會(huì)使晶體產(chǎn)生滑移變形。第四十頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日現(xiàn)在，滑移線理論成為了求解理想剛塑性體平面應(yīng)變問(wèn)題的重要方法之一，廣泛應(yīng)用于長(zhǎng)寬比較大的矩形工件的平錘壓縮、寬板平輥軋制和板條平面擠壓、拉拔等變形力和應(yīng)力分布的計(jì)算上。近二十多年來(lái)，又推廣到了主應(yīng)力互為異號(hào)的平面應(yīng)力問(wèn)題和軸對(duì)稱問(wèn)題等等方面。第四十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§8.2平面應(yīng)變問(wèn)題和滑移線場(chǎng)對(duì)于平面塑性流動(dòng)問(wèn)題，由于某一方向上的位移分量為零（設(shè)duZ=0），故只有三個(gè)應(yīng)變分量（、、），也稱平面應(yīng)變問(wèn)題。平面應(yīng)變問(wèn)題的最大切應(yīng)力為：

這是一個(gè)以τmax為半徑的圓方程，這個(gè)圓便稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的莫爾圓。第四十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

圖8-1平面應(yīng)變問(wèn)題應(yīng)力狀態(tài)的幾何表示（a）塑性流動(dòng)平面（物理平面），（b）α-β正交曲線坐標(biāo)系的應(yīng)力特點(diǎn)，（c）應(yīng)力莫爾圓abc第四十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日根據(jù)平面流動(dòng)的塑性條件，τmax=k（對(duì)Tresca塑性條件k=σT/2；對(duì)Mises塑性條件由圖8-1(C)的幾何關(guān)系可知，有

式中靜水壓力Ф——定義為最大切應(yīng)力τmax(=k)方向與坐標(biāo)軸Ox的夾角第四十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第四十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)D8-2x-y坐標(biāo)系與α-β滑移經(jīng)網(wǎng)絡(luò)α線β線微分方程：滑移線場(chǎng)定義第四十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§8.3漢蓋（Hencky）應(yīng)力方程由平面應(yīng)變問(wèn)題的微分平衡方程

得第四十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一式乘以cosФ，第二式乘以sinФ，然后兩相加，經(jīng)整理變換后得沿α線的微分方程

或類似變換可得沿β線的微分方程

或第四十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日沿某一α線積分，得到

常數(shù)或得關(guān)系式同理常數(shù)或得關(guān)系式第四十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日漢蓋應(yīng)力方程對(duì)對(duì)α線取“+”號(hào)，對(duì)β線取“-”號(hào)第五十頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§8.4滑移線的幾何性質(zhì)一、漢蓋第一定理

同族的兩條滑移線（如α1和α2線）與另一族任意一條滑移線（如β1或β2

）相交兩點(diǎn)的傾角差和靜水壓力變化量均保持不變。圖8-3證明Hencky第一定理的兩對(duì)滑移線第五十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明：沿α1線從點(diǎn)A→點(diǎn)B沿β2線從點(diǎn)B→點(diǎn)C于是，得沿路徑A→B→C和靜水壓力差

同理由上兩式可得同理第五十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、漢蓋第二定理

一動(dòng)點(diǎn)沿某族任意一條滑移線移動(dòng)時(shí)，過(guò)該動(dòng)點(diǎn)起、始位置的另一族兩條滑移線的曲率變化量（如dRβ）等于該點(diǎn)所移動(dòng)的路程（如dSα）。1第五十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明：設(shè)α、β線上任一點(diǎn)的曲率半徑分別為Rα、Rβ，由曲率半徑的定義知：和ΔSβ沿弧S

α的變化率為：

根據(jù)漢蓋第一定理有，

當(dāng)曲線四邊形單元趨近無(wú)限小時(shí)

比較上兩式，可得

同理第五十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日滑移線為最大切應(yīng)力等于材料屈服切應(yīng)力為k的跡線，與主應(yīng)力跡線相交成π/4角；滑移線場(chǎng)由兩族彼此正交的滑移線構(gòu)成，布滿整個(gè)塑性變形區(qū)；滑移線上任意一點(diǎn)的傾角Ф值與坐標(biāo)的選擇相關(guān)，而靜水壓力p的大小與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)；沿一滑移線上的相鄰兩點(diǎn)間靜水壓力差（Δpab）與相應(yīng)的傾角差（ΔФab）成正比；同族的兩條滑稱線（如α1和α2線）與另族任意一條滑稱線（如β1或β2線）相交兩點(diǎn)的傾角差ΔФ，和靜水壓力變化量Δp均保持不變；一點(diǎn)沿某族任意一條滑移線移動(dòng)時(shí)，過(guò)該動(dòng)點(diǎn)起、始位置的另一族兩條滑移線的曲率變化量（如dRβ）等于該點(diǎn)所移動(dòng)的路程（如dSα）；同族滑移線必然有個(gè)相同的曲率方向?；凭€的基本性質(zhì)：第五十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§8.5應(yīng)力邊界條件和滑移線場(chǎng)的繪制一、應(yīng)力邊界條件

（8.11）第五十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第六十頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、滑移線場(chǎng)繪制的數(shù)值計(jì)算方法滑移線數(shù)值計(jì)算方法的實(shí)質(zhì)是：利用差分方程近似代替滑移線的微分方程，計(jì)算出各結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)位置，建立滑移線場(chǎng)，然后利用漢蓋應(yīng)力方程計(jì)算各結(jié)點(diǎn)的平均應(yīng)力p和角。根據(jù)滑移線場(chǎng)塊的鄰接情況，滑移線場(chǎng)的邊值有三類。第六十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1）特征線問(wèn)題這是給定兩條相交的滑移線為初始線，求作整個(gè)滑移線網(wǎng)的邊值問(wèn)題，即所謂黎曼（Riemann）問(wèn)題。

第六十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日對(duì)于任意網(wǎng)點(diǎn)（m,n）的坐標(biāo)（x,y），可將滑移線的微分方程，寫(xiě)成差分形式

α線β線則有式中則得據(jù)此，可依次逐漸求得場(chǎng)內(nèi)全部結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，依編碼連線，從而繪制出等傾角差為ΔФ的滑移線網(wǎng)。第六十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2）特征值問(wèn)題這是已知一條不為滑移線的邊界AB上任一點(diǎn)的應(yīng)力分量（σx、σy、τxy）的初始值，求作滑移線場(chǎng)的問(wèn)題，即所謂柯西（Cauchy）問(wèn)題。第六十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日如圖8-8所示，將邊界線AB分成若干等分，等分點(diǎn)的編碼為（1，1）、（2，2）、……（m,m）。由莫爾圓的關(guān)系式，計(jì)算出該邊界上等分點(diǎn)的參數(shù)p(m,m)和Φ(m,n)。利用漢蓋第一定理，計(jì)算結(jié)點(diǎn)(m,m+1)的p(m,m+1)和Φ(m,n)。第六十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3）混合問(wèn)題這是給定一條α線OA，和與之相交的另一條不是滑移線的某曲線OB（可能是接觸邊界線或變形區(qū)中的對(duì)稱軸線）上傾角值Ф1（見(jiàn)圖8-9）。如對(duì)稱軸線上，其Ф1等于π/4。

第六十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第六十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例題：張角為的雙心扇形場(chǎng)的結(jié)點(diǎn)計(jì)算。第六十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§8.6三角形均勻場(chǎng)與簡(jiǎn)單扇形場(chǎng)組合問(wèn)題及實(shí)例金屬塑性加工中，許多平面應(yīng)變問(wèn)題的滑移線場(chǎng)是由三角均勻場(chǎng)和簡(jiǎn)單扇形場(chǎng)組合而成的，稱為簡(jiǎn)單滑移線場(chǎng)問(wèn)題，如平?jīng)_頭壓入半無(wú)限體、平?jīng)_頭壓入、某些特定擠壓比下的擠壓、剪切乃至切削加工。第六十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第七十頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第七十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第七十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日小結(jié)本章主要介紹了計(jì)算塑性加工變形力的一種解法——滑移線法的概念及其要點(diǎn)。舉例解析了三角形均勻場(chǎng)與簡(jiǎn)單扇形場(chǎng)和雙心扇形場(chǎng)問(wèn)題。這里重點(diǎn)要掌握的是滑移線法的概念及要點(diǎn)，了解滑移線法分析變形的方法。第七十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第9章功平衡法和上限法及其應(yīng)用

§9.1功平衡法§9.2極值原理及上限法§9.3速度間斷面及其速度特性§9.4Johnson上限模式及應(yīng)用§9.5Aviztur上限模式及應(yīng)用第七十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日采用近似解法求解金屬塑性加工變形力學(xué)問(wèn)題，據(jù)原理有兩類：一類是根據(jù)力平衡條件求近似解，如工程法；另一類是根據(jù)能量原理求近似解，如功平衡法和上限法等。功平衡法是利用塑性變形過(guò)程的功平衡原理來(lái)求解變形力的近似解；極值原理是根據(jù)虛功原理和最大塑性功耗原理，確定物體總位能接近于最低狀態(tài)下，即物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)下變形力的近似解。第七十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§9.1

功平衡法

功平衡法是利用塑性變形過(guò)程中的功平衡原理來(lái)計(jì)算變形力的一種近似方法，又稱變形功法。

功平衡原理是指：塑性變形過(guò)程外力沿其位移方向上所作的外部功（WP）等于物體塑性變形所消耗的應(yīng)變功（Wd）和接觸摩擦功（Wf）之和，即：對(duì)于變形過(guò)程的某一瞬時(shí)，上式可寫(xiě)成功增量形式：WP=Wd+WfdWP=dWd+dWf第七十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

dWP為外力所作功的增量

dWd為塑性變形功增量

dWf為接觸摩擦所消耗功的增量單元體積的塑性變形功增量為

若接觸面S上摩擦切應(yīng)力及其方向的位移增量為duf，則外力P沿其作用方向產(chǎn)生的位移增量為duP，則第七十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日于是由功平衡方程，得到了總的變形力P為由于塑性變形總是不均勻的，計(jì)算是比較困難的，通?？砂淳鶆蜃冃渭僭O(shè)確定，故變形功法又稱為均勻變形功法。第七十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§9.2極值原理及上限法

極值原理包括上限定理和下限定理，都是根據(jù)虛功原理和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)不同。

上限定理是按運(yùn)動(dòng)學(xué)許可速度場(chǎng)（主要滿足速度邊界條件和體積不變條件）來(lái)確定變形載荷的近似解，這一變形載荷它總是大于（理想情況下才等于）真實(shí)載荷，即高估的近似值，故稱上限解；

下限定理僅按靜力學(xué)許可應(yīng)力場(chǎng)（主要滿足力的邊界條件和靜力平衡條件）來(lái)確定變形載荷的近似解，它總是小于（理想情況下才等于）真實(shí)載荷，即低估的近似解，故稱下限解。第七十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第八十頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

虛功原理：穩(wěn)定平穩(wěn)狀態(tài)的變形體中，當(dāng)給予變形體一幾何約束所許可的微小位移（因?yàn)樵撐灰浦皇菐缀渭s束所許可，實(shí)際上并未發(fā)生，故稱虛位移）時(shí)，則外力在此虛位移上所作的功（稱虛功），必然等于變形體內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛應(yīng)變功，其表達(dá)式為：

第八十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

最大塑性功消耗原理：在一切許可的塑性應(yīng)變?cè)隽浚☉?yīng)變速度）或許可的應(yīng)力狀態(tài)中，以符合增量理論關(guān)系的應(yīng)力狀態(tài)或塑性應(yīng)變?cè)隽浚☉?yīng)變速度）所耗塑性應(yīng)變功耗（或功率消耗）最大。第八十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

上限定理是根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)許可速度場(chǎng)來(lái)分析變形載荷的，設(shè)所擬運(yùn)動(dòng)學(xué)許可速度場(chǎng)為，由幾何關(guān)系確定的應(yīng)變速度場(chǎng)，再由該應(yīng)變速度場(chǎng)按幾何方程與增量理論確定的應(yīng)力場(chǎng)為。而變形體中實(shí)際的應(yīng)力場(chǎng)為，于是根據(jù)虛功原理和塑性功耗原理可以導(dǎo)出在一般情況下塑性加工中常用的上限定理的功率表達(dá)形式為：式中，為真實(shí)載荷。第八十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

用上限法計(jì)算塑性加工過(guò)程的極限載荷的關(guān)鍵在于擬設(shè)塑性變形區(qū)內(nèi)的虛擬運(yùn)動(dòng)學(xué)許可速度場(chǎng)，這種速度場(chǎng)應(yīng)滿足以下三個(gè)條件：（1）速度邊界條件；（2）體積不變條件；(3)保持變形區(qū)內(nèi)物質(zhì)的連續(xù)性。而與此速度場(chǎng)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力場(chǎng)則不一定要求滿足力平衡條件和力的邊界條件。第八十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日上限法中虛擬的運(yùn)動(dòng)學(xué)許可速度場(chǎng)模式有三種：（1）Johnson模式，通常稱為簡(jiǎn)化滑移線場(chǎng)的剛性三角形上限模式，主要適用于平面應(yīng)變問(wèn)題。（2）Avitzur模式，通常稱為連續(xù)速度場(chǎng)的上限模式，它既可適用平面應(yīng)變問(wèn)題、軸對(duì)稱問(wèn)題，也可用于某些三維問(wèn)題，用途比較廣泛。（3）上限單元技術(shù)（UBET）,目前比較實(shí)用的是圓柱坐標(biāo)系的圓環(huán)單元技術(shù)。它可用于解軸對(duì)稱問(wèn)題，以及某些非對(duì)稱軸的三維問(wèn)題。第八十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§9.3速度間斷面及其速度特性速度間斷面

第八十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日速端圖及速度間斷量的計(jì)算

速端圖是以代表剛性區(qū)內(nèi)一不動(dòng)點(diǎn)O為所有速度矢量的起始點(diǎn)（也稱為基點(diǎn)或極點(diǎn)），所作變形區(qū)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)速度矢量端