2023學(xué)年完整公開(kāi)課版事件的概率

第一章隨機(jī)事件與概率第一節(jié)隨機(jī)事件第二節(jié)概率第三節(jié)條件概率與全概率公式第四節(jié)事件的獨(dú)立性第二節(jié)概率一、概率的定義二、概率的基本性質(zhì)三、古典概型四、幾何概型一、概率的定義一個(gè)隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能為了描述隨機(jī)事件A試驗(yàn)中用一個(gè)數(shù)值衡量它,這就是事件A

的概率.概率的意義

就是在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小的描述.性有多大呢？發(fā)生的可能性的大小,記：P(A)規(guī)定：P(A)這個(gè)數(shù)值在0~1之間表達(dá)，即0≤≤11.

頻率一個(gè)隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小是有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的.如：投一枚硬幣10次正6次，反4次.投一枚骰子100次1個(gè)點(diǎn)，20次.試驗(yàn)的次數(shù)與隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)進(jìn)行比較即為頻率.事件A在

N次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)

m

次,則,稱為事件

A在

N次重復(fù)試驗(yàn)中出比值現(xiàn)的頻率.記為

fN(A)

.即頻率的性質(zhì)①②③若A1,A2,…An兩兩互不相容，④⑤若,則當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)N

越來(lái)越大時(shí)，事件A的頻率越來(lái)越穩(wěn)定地接近一個(gè)常數(shù)

p.則擲硬幣試驗(yàn)

前人擲硬幣試驗(yàn)的一些結(jié)果列于下表

由表看出出現(xiàn)正面的頻率接近0.5拋擲次數(shù)越多頻率越接近0.5

并且p是事件本身客觀存在的固有屬性.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)事件A的頻率具有一種穩(wěn)定性它的數(shù)值徘徊在某個(gè)確定的常數(shù)p附近

而且一般說(shuō)來(lái)試驗(yàn)次數(shù)越多事件A的頻率就越接近這個(gè)確定的常數(shù)p即：隨機(jī)事件A的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.率這一概念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)這種在多次重復(fù)的可能性大小就是這個(gè)“頻率的穩(wěn)定值”

試驗(yàn)中事件頻率穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律便是概而所謂某事件發(fā)生2.概率的統(tǒng)計(jì)定義注意：(1)概率p不是頻率當(dāng)N增大時(shí)的極限；(2)近似計(jì)算概率的公式為：p

為事件A的概率,定義:

在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大,事件A

出現(xiàn)的頻率在[0,1]上的某個(gè)數(shù)

p

附近擺動(dòng)，則稱記作P(A)=p.Ω二、概率的基本性質(zhì)①②若A1,A2,…An

兩兩互不相容，

則③互斥④=∪BA∵∴≤若A、B互斥,則=0例1

某產(chǎn)品有一等品、二等品及廢品三種，若一、二等品率分別為0.63及0.35，求產(chǎn)品的合格品率與廢品率.解：設(shè)A為合格品,A1、A2表示一、二等品,∵A1、A2互斥，且A=A1+

A2∴P(A)=P(A1+A2)=0.98而廢品率：P(A)=1-P(A)=1-0.98=0.02.=0.63+0.35=P(A1)+P(A2)三、古典概型概率的統(tǒng)計(jì)定義實(shí)際給出了一個(gè)近似計(jì)算隨機(jī)事件概率的方法，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),一般情況下，直接估計(jì)某一事件的概率是非常困難的，甚至不可能的.但對(duì)某一類有一定條件的隨機(jī)試驗(yàn)，可以直接計(jì)算出有關(guān)事件的概率.稱為古典概型.⑴

試驗(yàn)的全部可能結(jié)果只有有限個(gè).試驗(yàn)特點(diǎn):(基本機(jī)事件的個(gè)數(shù)是有限個(gè))⑵試驗(yàn)中每一個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的.(每個(gè)基本機(jī)事件發(fā)生的可能性一樣大)這類隨機(jī)現(xiàn)象是概率論發(fā)展初期的主要研究對(duì)象，故把這類隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型這種試驗(yàn)也稱為古典概型試驗(yàn).如：射擊兩次⑴基本事件有限個(gè)：(0,0)(1,0)(0,1)(1,1)⑵基本事件出現(xiàn)等可能.如：射擊兩次A={恰有一次擊中目標(biāo)}42對(duì)古典概型的概率：事件A出現(xiàn)的次數(shù)比上基本事件總數(shù).P({均沒(méi)擊中})的概率：A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m若試驗(yàn)結(jié)果一共有n個(gè)基本事件所有的基本事件總數(shù)n則事件A發(fā)生=組成,而事件A由其中某m個(gè)基本事件構(gòu)成,=A所發(fā)生的次數(shù)m(包含的樣本點(diǎn)數(shù))樣本空間的樣本數(shù)n=或例2一批產(chǎn)品共200個(gè)，有6個(gè)廢品.①這批產(chǎn)品的廢品率.②任取3個(gè)恰有一個(gè)是廢品的概率.③任取3個(gè)全是非廢品的概率.求：解：①設(shè)A={任取1個(gè)是廢品}P(A)=②設(shè)B={任取3個(gè)恰有一個(gè)是廢品}P(B)==0.0855③

設(shè)C={任取3個(gè)全非是廢品}P(C)=又：任取3個(gè)恰有2個(gè)是廢品P(B)=≈0.9122又：任取3個(gè)全是廢品P(C1)=加：④任取3個(gè)有廢品的概率解④設(shè)D={任取3個(gè)有廢品}A1

={有1個(gè)廢品}A2

={有2個(gè)廢品}A3

={有3個(gè)有廢品}則D=A1∪A2∪A3

且A1,A2,A3兩兩互斥由概率的古典定義得,,有性質(zhì)3，得或由③∴例3一個(gè)電路上裝有甲乙兩根保險(xiǎn)絲,當(dāng)電流強(qiáng)度超過(guò)一定強(qiáng)度時(shí),甲燒斷的概率為0.82,乙燒斷的概率為0.74,兩根保險(xiǎn)絲同時(shí)燒斷的概率為0.63,問(wèn)至少燒斷一根保險(xiǎn)絲的概率是多少？解：用A、B分別表示保險(xiǎn)絲甲、乙燒斷的事件.問(wèn)題歸結(jié)為求A∪B事件的概率.不是互斥的.但A、B并∴所求的概率為0.82+0.74-0.63=0.93.練習(xí)1.兩封信隨機(jī)的向四個(gè)郵筒投寄，求⑴第二個(gè)郵筒恰好被投入一封信的概率;⑵前兩個(gè)郵筒中各投入一封信的概率.解：兩封信隨機(jī)的向四個(gè)郵筒投寄的方法有42種.⑴設(shè)A={第二個(gè)郵筒恰好被投入一封信}則⑵設(shè)前兩個(gè)郵筒中各投入一封信的事件為B.則3.設(shè)有50張考簽,分別予以編號(hào)1,2,…,50.⑴任抽其中一張進(jìn)行考試,10號(hào)考簽”的概率.求事件“抽到前前10號(hào)”的概率.⑵任抽其中兩張,求事件“抽到的兩張都是都是前10號(hào)”的概率.⑶無(wú)放回的抽取兩張,每次1張,求“抽到的兩張的是雙號(hào)的概率.⑷無(wú)放回的抽取10次,每次1張,求最后一次抽到4.從一批9件正品3件次品組成的產(chǎn)品中,任取5件,⑴其中至少有1件次品的概率;求:⑵至少有2件次品的概率.解:⑴

設(shè)A={任取5件,至少有一件次品}={任取5件,無(wú)次品}則B=