自動(dòng)化學(xué)院學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)第二講

§5 設(shè)Gzxiy存在法則fz?Gwuiv與之對應(yīng),wz的函數(shù)（簡稱復(fù)變函數(shù)）wfz).若zfi一個(gè)w值，稱f(z)是單值函數(shù);zfi多個(gè)w值，稱f(z)是多值函數(shù).(zG*{wwfzz?Gz=x+iy?(x,y);w=u+iv?(u,v\w=f(z)=f(x+iy=u(x,y)+iv(x,y故u=u(x, v=v(x,ww=f(z)=u+ivu=u(x,v=v(x, w=z 令z=x+ w=u+wuivxiy)2x2y22\w=z2?u=x2-y2,v=2例2若已知f(z)

+ + - x2+y2 x2+y2 將f(z)表示成z的函數(shù)設(shè)zxiy則x1(zzy1(zz f(z)=z+1zwf(zz?G(z平面 w=fzfi w?G*(w平面)的映射.稱w為z的象點(diǎn)(映象)，而z稱為w的原象 Gz

w=w=

w u，vx，y 研究w=z所構(gòu)成的映射 設(shè)z=r(cosq+isinq)=re\z=re-

研究w=eiaz(a為實(shí)常數(shù))所構(gòu)成的映射解設(shè)z

\w=eiaz=eia —旋轉(zhuǎn)變換(映射)見圖

ouyooyoox

研究w=z2所構(gòu)成的映射

w=z

w=z2pw=z2 oo oow=z2設(shè)zw2則稱wnz為zw2zwz

=z

(k0,1)∴為多值函數(shù),2支定義wf(z的定義集合為G函數(shù)值集合為z? j

則稱zj(w)為wf(z)的反函數(shù)(逆映射顯然有w=f "z?G(一般z?j[f(z)])(映射w=fz()zjw都是單值的(映射)w=fz),GG*是一一對應(yīng)的.3w1,判斷zx2y21zw平面上怎樣的曲線 0定義wf(z),z?U(zr),若存在數(shù)A，e0$,當(dāng)0

z-

d時(shí),

f(z)-

則稱為f(z)當(dāng)zfiz0時(shí)的極限，記作 f(z)=zfi當(dāng)動(dòng)點(diǎn) 鄰域內(nèi)時(shí),f(z)當(dāng)動(dòng)點(diǎn) 鄰域內(nèi)時(shí),f(z)就落入Ayyvw=f(z)dAoxo定義中zfi z0的方式是任意的,A是復(fù)數(shù).若f(z)在

處有極限其極限是唯一的. z=x+iyz0=x0+ u(x,y)=limf(z)=A

(x,y)fi(x0,y0zfi

v(x,y)=(x,y)fi(x0,y0 f(z)= limg(z)=B,zfiz zfizlimf(z)–g(z)]= f(z)–limg(z)=A–zfiz0 zfiz zfiz f(z)g(z)= f(z)limg(z)=zfiz0 zfiz zfizzfiz

f(zg(z)

f(zzfiz0limg(zzfiz0

(limg(z)?0)=zfiz 例 求f(z)=z+z當(dāng)zfi0時(shí)的極限 f(z)

2(x2-y2當(dāng)x,yfi(0,0)x2+f(zzz當(dāng)zfi0時(shí)的極限不存在 例 證明f(z)=Re(z)當(dāng)zfi0時(shí)的極限不存在|z定義若 f(z)=f(z0)，則稱f(z)在z0處連續(xù)zfi若在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù),則稱fz)在D內(nèi)連續(xù)若z、z0?C,且 f(z)=f(z0)，則稱f(zzfi在曲線C上點(diǎn)z0處連續(xù)f(z)uxyivx,y)z0=x0iy0 u(x,y)=u(x0,y0(x,y)fi(x0,y0(x,y)fi(x0,y0

v(x,y)=v(x0,y0 證明f(z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)證明(1)f(z)argzf(z)在原點(diǎn)不連續(xù)(2)在負(fù)實(shí)軸上"P(x,0)(x<limargz=yfilimargz=-yfi

z zargz在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù) P(z)a0a1zanznR(zP(z)在復(fù)平面內(nèi)除分母為零的點(diǎn)外處處連續(xù)Q(z)設(shè)曲線C為閉曲線或端點(diǎn)包括在內(nèi)的曲線段,若f在C上連續(xù),則存在M0,f(z)￡M §1 §2 §1 定義設(shè)函數(shù)w=f z∈D,且z0、z0limfDzfi

記作fz

f(

+Dz)-f(z0

Dzfi Dz如果wf(z在區(qū)域Df(z在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo) =f(z+Dz)-例1證明:fz)Rez)在平面上的任何點(diǎn)都不可導(dǎo)證明: =Re(z+Dz)-Re(z =x+Dx-x= Dx+iDy Dx+iDy當(dāng)Dz取實(shí)數(shù)趨于0時(shí), Dzfi limDf不存在當(dāng)Dz取純虛數(shù)趨于0時(shí), Dzfi

Dzfi0 (c)=(a+ib)=0.(zn)=nzn- 證明對于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z0 zn-zn

lim zfi

zfi

z-(z-z)(zn-1+zn-2z++zn-10lim =nzn-10zfi

z-③f(z),g(z[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，(z)g(z)f(z)

(z)g(z)(z)g(z)g(z)

g2

,(g(z)?P(za0a1zanznR(zP(z)在復(fù)平面內(nèi)()處處可導(dǎo)Q(z)f[g(z)])=f(w)g(z),其中

f(z)=j(w)

其中wf(z)j(w)0.實(shí)變函數(shù)中,fx)=|x|2在-￥+￥內(nèi)可導(dǎo);復(fù)變函數(shù)中,fz)|z|2的可導(dǎo)性如何? 已知f(z)=(z2+5z)2

z-

，求fz f(z)=2(z2+5z)(2z+5)

(z- 函數(shù)f(z)=x+2yi是否可導(dǎo) f(z+Dz)-f(zDzfi =limx+Dx+2(y+Dy)i-(x+2yiDzfi=limDx+2Dyi=

Dx+當(dāng)Dy0,Dxfi0時(shí)不存在Dzfi

Dx 當(dāng)Dx0,Dyfi0f(z)x2yi處處不可導(dǎo) 證明f(z)=zRe(z)僅在z=0處可導(dǎo)limzDzRe(zDz)zRe(Dzfi =limDzRe(z+Dz)+zRe(Dz)Dzfi limDzRe(Dz)=

z0時(shí)Dzfi lim(Re(z+Dz)+z )不存在 z?0時(shí)

Dzfi

Dx+= 當(dāng)Dy0Dxfi0時(shí)=

不存在！Dzfi0Dx+

當(dāng)Dx0Dyfi0時(shí)(1) 多，這是因?yàn)棣→0是在平面區(qū)域上(2)在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù) 若wf(zz0處可導(dǎo)wf(zz0處連續(xù)?f(z0+Dz)-f(z0證明若f(z0+Dz)-f(z0

d時(shí)

(z0

令r(Dz)f

+Dz)-f(z0

f(z則limr(Dz)

Dzfi由此可得f(z0Dzf(z0f(z0Dzr(Dz)Dz,limf(z0Dzf(z0所以f(z)在z0連續(xù)Dzfi如果函數(shù)wf(z在z0及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z在z0解析；w=f(z)在D內(nèi)解 f(z)z0z0解析 定理1f(z)及g(z)是區(qū)域D內(nèi)的