2021年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市市元寶山區(qū)平煤高中高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

2021年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市市元寶山區(qū)平煤高中高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若實數(shù)x，y滿足不等式組，若、為整數(shù)，則

的最小值（

）A．13

B．16

C．17

D．19參考答案：B2.已知，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是A、4

B、2

C、1

D、0參考答案：A3.在△ABC中，，則等于（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A4.某人在打靶中,連續(xù)射擊2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

(

)

A.至多有一次中靶

B.兩次都中靶C.兩次都不中靶

D.只有一次中靶參考答案：C略5.若定義在正整數(shù)有序?qū)仙系亩瘮?shù)滿足：①，②

③，則的值是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過點

（

）A.(2,2)

B.(1,2)

C.(1.5,0)

D(1.5,4)參考答案：D略7.設(shè)正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且，則數(shù)列{an}的公比為(

)

A.4 B.2 C.1 D.參考答案：B8.(

）A．2－2i

B．2+2i

C．－2

D．2參考答案：D9.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為（）A．﹣=1

B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：A【考點】KB：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】先求出焦點坐標(biāo)，利用雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，可得=2，結(jié)合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出雙曲線的方程．【解答】解：∵雙曲線的一個焦點在直線l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦點坐標(biāo)為（﹣5，0），∴c=5，∵雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴雙曲線的方程為﹣=1．故選：A．10.已知f（x）定義域為（0，+∞），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f（x）＜﹣xf′（x），則不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，2） D．（2，+∞）參考答案：D【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），再由導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），構(gòu)造為g（x+1）＞g（x2﹣1），問題得以解決．【解答】解：設(shè)g（x）=xf（x），則g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，∵f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），x∈（0，+∞），∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x﹣1）f（x2﹣1），∴（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），∴g（x+1）＞g（x2﹣1），∴x+1＜x2﹣1，解得x＞2．故選：D．【點評】本題考查了由條件構(gòu)造函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系對不等式進(jìn)行判斷．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓非曲直的離心率為，連接橢圓的四個頂點所得到的四邊形的面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__

___．參考答案：

略12.△ABC的三邊長分別為3、4、5，P為面ABC外一點，它到△ABC三邊的距離都等于2，則P到面ABC的距離是________．參考答案：13.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為____；參考答案：【分析】由函數(shù)恰由3個零點，即方程有3個不同的解，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解?！驹斀狻坑深}意，函數(shù)恰由3個零點，即方程有3個不同的解，設(shè)，，則，可得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，則函數(shù)的圖象，如圖所示，方程有3個不同的解等價于函數(shù)的圖象與直線由3個的交點，結(jié)合圖象可得，實數(shù)的取值范圍?！军c睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中把方程的解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，準(zhǔn)確利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題。14.袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X，則P(X≤6)＝________.參考答案：根據(jù)題意可知取出的4只球中紅球個數(shù)可能為4，3，2，1個，黑球相應(yīng)個數(shù)為0，1，2，3個，其分值X相應(yīng)為4，6，8，10．∴.15.數(shù)列的通項公式是，若前n項的和為10，則項數(shù)n=

.參考答案：12016.《中國詩詞大會》（第二季)亮點頗多，十場比賽每場都有一首特別設(shè)計的開場詩詞，在聲光舞美的配合下，百人團(tuán)齊聲朗誦，別有韻味.若《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩詞排在后六場，且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有（

）A.144種 B.288種 C.360種 D.720種參考答案：A《將進(jìn)酒》、《望岳》和另確定的兩首詩詞排列全排列共有種排法，滿足《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面的排法共有，再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在個空里（最后一個空不排），有種排法，《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有種，故選A.17.將撲克牌中的A,2,3,4，……,J,Q,K分別看做數(shù)字1,2,3，……,11,12,13，現(xiàn)將一副撲克牌中的黑桃,紅桃各13張放到一起,從中隨機(jī)取出兩張牌,其花色不同且兩個數(shù)的積是完全平方數(shù)的概率為

_.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點M（1，0），P（x，y）為平面上一動點，P到直線x=2的距離為d，=．（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；（Ⅱ）不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，線段AB的中點為D，直線OD與直線x=2交點的縱坐標(biāo)為1，求△OAB面積的最大值及此時直線l的方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程．【分析】（Ⅰ）利用兩點間距離公式、點到直線的距離公式，根據(jù)=，列出方程，由此能求出點P的軌跡C的方程．（Ⅱ）直線OD的方程為y=，由點差數(shù)求出直線l的斜率，進(jìn)而其方程設(shè)為y=﹣x+m，m≠0，聯(lián)立，得：3x2﹣4mx+2m2﹣2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、點到直線距離公式，結(jié)合已知條件，能求出△OAB面積的最大值及此時直線l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵在平面直角坐標(biāo)系中，已知點M（1，0），P（x，y）為平面上一動點，∴|PM|=，∵P到直線x=2的距離為d，∴d=|x﹣2|，∵=，∴==．整理，得：=1．∴點P的軌跡C的方程為=1．（Ⅱ）∵不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，線段AB的中點為D，直線OD與直線x=2交點的縱坐標(biāo)為1，∴直線OD的方程為y=，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），其中，∵A（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓=1上，∴，∴=﹣=﹣=﹣1，∴直線l的方程為y=﹣x+m，m≠0，聯(lián)立，整理，得：3x2﹣4mx+2m2﹣2=0，∵直線l與橢圓有兩個不同的交點且不過原點，∴△=16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，解得﹣，且m≠0（*）由韋達(dá)定理，得，，∴|AB|=|x1﹣x2|===．∵點O（0，0）到直線l的距離為：h=，∴S△OAB===，當(dāng)且僅當(dāng)m2=，即m=時，等號成立，滿足（*）式，∴△OAB面積的最大值為，此時直線l的方程為y=﹣x．19.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAC=30°，∠CAB=45°，CD=﹣．（Ⅰ）求AD的長；（Ⅱ）若BC=，求△ABC的面積．參考答案：【考點】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DCA=∠CAB=45°，進(jìn)而利用正弦定理可求AD的值．（Ⅱ）利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sin∠ADC，利用正弦定理可求AC，由余弦定理可求AB，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計算得解．【解答】（本題滿分為12分）解：（Ⅰ）因為AB∥CD，所以∠DCA=∠CAB=45°，…因為，…所以AD==2﹣2．…（Ⅱ）∠ADC=180°﹣（30°+45°）=105°，所以，sin∠ADC=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=，…因為=，所以AC=2，…設(shè)AB=x，因為，BC2=AC2+AB2﹣2AC?ABcos∠CAB，可得：x2﹣2x﹣6=0，所以，AB=3，…．所以，S△ABC=AC?ABsin∠CAB=3．…20.某單位從一所學(xué)校招收某類特殊人才．對20位已經(jīng)選撥入圍的學(xué)生進(jìn)行運動協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測試，其測試結(jié)果如下表：

邏輯思維能力運動協(xié)調(diào)能力一般良好優(yōu)秀一般221良好4b1優(yōu)秀13a

例如，表中運動協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生有4人．由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這20位參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為．（1）求，的值．（2）從參加測試的20位學(xué)生中任意抽取2位，求其中至少有一位運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率．（3）從參加測試的20位學(xué)生中任意抽取2位，設(shè)運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列．參考答案：（1）；（2）；（3）見解析試題分析：（1）求，的值，由題意，從這位參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為，而由表中數(shù)據(jù)可知，運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有人，可由，解出的值，從而得的值；（2）由題意，從人中任意抽取人的方法數(shù)為，而至少有一位運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的對立事件是，沒有取到運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生，而沒有取到運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的方法數(shù)為，由古典概型，可求出沒有運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率，從而得所求的概率；（3）由題意得的可能取值為，由古典概型，分別求出它們的概率，得隨機(jī)變量的分布列，從而得數(shù)學(xué)期望．試題解析：（1）設(shè)事件：從位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生．由題意可知，運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有人．則．解得．所以．4分（2）設(shè)事件：從人中任意抽取人，至少有一位運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生．由題意可知，至少有一項能力測試優(yōu)秀的學(xué)生共有人．則．7分（3）的可能取值為，，．位學(xué)生中運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為人．所以，，．所以的分布列為

0

1

2

所以，．13分考點：古典概型，分布列，數(shù)學(xué)期望．21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：（a＞b＞0）的左焦點為F1（﹣1，0），且點P（0，1）在C1上．（1）求橢圓C1的方程；（2）設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）因為橢圓C1的左焦點為F1（﹣1，0），所以c=1，點P（0，1）代入橢圓，得b=1，由此能求出橢圓C1的方程．（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因為直線l與橢圓C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0．由此能求出直線l的方程．【解答】解：（1）因為橢圓C1的左焦點為F1（﹣1，0），所以c=1，點P（0，1）代入橢圓，得，即b=1，所以a2=b2+c2=2所以橢圓C1的方程為．（2）直線l的斜率顯然存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，因為直線l與橢圓C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0整理得2k2﹣m2+1=0①由，消去y并整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0因為直線l與拋物線C2相切，所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0整理得km=1②綜合①②，解得或所以直線l的方程為或．22.正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2=an+1．（1）試求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn=，{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn＜．參考答案：【考點】數(shù)列的求和．【分析】（Ⅰ）根據(jù)求得a1，進(jìn)而根據(jù)4Sn=（an+1）2和4Sn﹣1=（an﹣1+1）2（n≥2）兩式相減整理得（an+an﹣1）