2024屆大連育明中學數(shù)學高二上期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆大連育明中學數(shù)學高二上期末綜合測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，數(shù)列，，，與，，，，都是等差數(shù)列，則的值是（）A. B.C. D.2．已知隨機變量，且，，則為（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.27183．如果在一實驗中，測得的四組數(shù)值分別是，則y與x之間的回歸直線方程是（）A. B.C. D.4．已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓C相交P，Q兩點，若，且，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.5．已知橢圓上一點到左焦點的距離為，是的中點，則（）A.1 B.2C.3 D.46．設(shè)，為雙曲線的上，下兩個焦點，過的直線l交該雙曲線的下支于A，B兩點，且滿足，，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列滿足，且，則的值為（）A.3 B.C. D.8．傾斜角為120°，在x軸上截距為－1的直線方程是（）A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝09．“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知圓的方程為，圓的方程為，其中．那么這兩個圓的位置關(guān)系不可能為（）A.外離 B.外切C.內(nèi)含 D.內(nèi)切11．在等比數(shù)列中，，，則（）A.2 B.4C.6 D.812．某地區(qū)高中分三類，A類學校共有學生2000人，B類學校共有學生3000人，C類學校共有學生4000人，若采取分層抽樣的方法抽取900人，則A類學校中的學生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓，過點作圓O的切線，則切線方程為___________.14．已知橢圓的離心率為.（1）證明：；（2）若點在橢圓的內(nèi)部，過點的直線交橢圓于、兩點，為線段的中點，且.①求直線的方程；②求橢圓的標準方程.15．已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是________16．如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數(shù)學家（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點，過作圓錐的母線，分別與兩個球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點的橢圓.如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源，則球在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，P為圓上一動點，點A坐標為，線段AP的垂直平分線交直線BP于點Q（1）求點Q的軌跡E的方程；（2）過點A的直線l交E于C，D兩點，若△BCD內(nèi)切圓的半徑為，求直線l的方程.18．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由賈玲導演的電影《你好，李煥英》上映，截至到2月21日22點8分，票房攀升至40.25億，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎來了2021春節(jié)檔最具戲劇性的一幕．正是因為影片中母女間的這份簡單、純粹、誠摯的情感觸碰了人們內(nèi)心柔軟的地方，打動了萬千觀眾，才贏得了良好的口碑，不少觀眾都流下了感動的淚水．影片結(jié)束后，某電影院工作人員當日隨機抽查了100名觀看《你好，煥英》的觀眾，詢問他們在觀看影片的過程中是否“流淚”，得到以下表格：男性觀眾女性觀眾合計流淚20沒有流淚520合計（1）完成表格中的數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)？（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，然后從這5人中再隨機抽取2人，求這2人都流淚的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，19．（12分）年世界人工智能大會已于年月在上海徐匯西岸舉行，某高校的志愿者服務小組受大會展示項目的啟發(fā)，會后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如圖所示，、兩個信號源相距米，是的中點，過點的直線與直線的夾角為，機器貓在直線上運動，機器鼠的運動軌跡始終滿足：接收到點的信號比接收到點的信號晚秒（注：信號每秒傳播米）.在時刻時，測得機器鼠距離點為米.（1）以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系（如圖），求時刻時機器鼠所在位置的坐標；（2）游戲設(shè)定：機器鼠在距離直線不超過米的區(qū)域運動時，有“被抓”的風險.如果機器鼠保持目前的運動軌跡不變，是否有“被抓”風險？20．（12分）已知直線和的交點為P，求：（1）過點P且與直線垂直的直線l的方程；（2）以點P為圓心，且與直線相交所得弦長為12的圓的方程；（3）從下面①②兩個問題中選一個作答，①若直線l過點，且與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形面積為，求直線l的方程②求圓心在直線上，與x軸相切，被直線截得的弦長的圓的方程注：如果選擇兩個問題分別作答，按第一個計分21．（12分）在①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并對其求解.問題：已知為數(shù)列的前項和，，且___________.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.22．（10分）函數(shù)（1）求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，分別表示出，，整理即可得答案.【題目詳解】數(shù)列，，，和，，，，各自都成等差數(shù)列，，，，故選:A2、C【解題分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可求概率.【題目詳解】由題設(shè)可得，，故選：C.3、B【解題分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求樣本中心點，由樣本中心點在回歸直線上，將其代入各選項的回歸方程驗證即可.【題目詳解】由題設(shè)，，因為回歸直線方程過樣本點中心，A：，排除；B：，滿足；C：，排除；D：，排除.故選：B4、B【解題分析】設(shè)，由橢圓的定義及，結(jié)合勾股定理求參數(shù)m，進而由勾股定理構(gòu)造橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.【題目詳解】設(shè)，橢圓的焦距為，則，由，有，解得，所以，故得：故選：B.5、A【解題分析】由橢圓的定義得，進而根據(jù)中位線定理得.【題目詳解】解：由橢圓方程得，即，因為由橢圓的定義得，，所以，因為是的中點，是的中點，所以.故選：A6、A【解題分析】設(shè)，表示出，由勾股定理列式計算得，然后在，再由勾股定理列式，計算離心率.【題目詳解】由題意得，，且，如圖所示，設(shè)，由雙曲線的定義可得，，因為，所以，得，所以，在中，，即.故選：A【題目點撥】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)7、B【解題分析】根據(jù)題意，依次求出，觀察規(guī)律，進而求出數(shù)列的周期，然后通過周期性求得答案.【題目詳解】因為數(shù)列滿足，，所以，所以，，，可知數(shù)列具有周期性，周期為3，，所以.故選：B8、D【解題分析】由傾斜角求出斜率，寫出斜截式方程，再化為一般式【題目詳解】由于傾斜角為120°，故斜率k＝－.又直線過點(－1，0)，所以方程為y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.故選：D.【題目點撥】本題考查直線方程的斜截式，屬于基礎(chǔ)題9、B【解題分析】根據(jù)方程表示橢圓，且2，再判斷必要不充分條件即可.【題目詳解】解：方程表示橢圓滿足，解得，且2所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B10、C【解題分析】求出圓心距的取值范圍，然后利用圓心距與半徑的和差關(guān)系判斷.【題目詳解】由兩圓的標準方程可得，，，；則，所以兩圓不可能內(nèi)含.故選：C.11、D【解題分析】由等比中項轉(zhuǎn)化得，可得，求解基本量，由等比數(shù)列通項公式即得解【題目詳解】設(shè)公比為，則由，得，即故，解得故選：D12、D【解題分析】利用抽樣的性質(zhì)求解【題目詳解】所有學生數(shù)為，所以所求概率為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】首先判斷點圓位置關(guān)系，再設(shè)切線方程并聯(lián)立圓的方程，根據(jù)所得方程求參數(shù)k，即可寫出切線方程.【題目詳解】由題設(shè)，，故在圓外，根據(jù)圓及，知：過作圓O的切線斜率一定存在，∴可設(shè)切線為，聯(lián)立圓的方程，整理得，∴，解得或.∴切線方程為或.故答案為：或.14、（1）證明見解析；（2）①；②.【解題分析】（1）由可證得結(jié)論成立；（2）①設(shè)點、，利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程；②將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可得出關(guān)于的等式，可求出的值，即可得出橢圓的方程.【題目詳解】（1），，因此，；（2）①由（1）知，橢圓的方程為，即，當在橢圓的內(nèi)部時，，可得.設(shè)點、，則，所以，，由已知可得，兩式作差得，所以，所以，直線方程為，即.所以，直線的方程為；②聯(lián)立，消去可得.，由韋達定理可得，，又，而，，，解得合乎題意，故，因此，橢圓的方程為.15、m≥6【解題分析】分別求出p，q成立的等價條件，利用p是q的充分條件，轉(zhuǎn)為當0＜x≤1時，m大于等于的最大值，求出最值即可確定m的取值范圍【題目詳解】由，得0＜x≤1，即p：0＜x≤1由4x+2x﹣m≤0得4x+2x≤m因為，要使p是q的充分條件，則當0＜x≤1時，m大于等于的最大值，令，則在上單調(diào)遞增，故當時取到最大值6，所以m≥6故答案為：m≥6【題目點撥】本題主要考查充分條件和必要條件的應用,考查函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題16、##0.5【解題分析】利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來源來理解切點為橢圓的一個焦點，求出，得出離心率.【題目詳解】設(shè)球切于，切于E，，球半徑為2，所以，，∴，又中，，，故橢圓長軸長為,,根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點為橢圓的焦點知：球O與相切的切點為橢圓的一個焦點，且，，橢圓的離心率為.故答案：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）連接，由，利用橢圓的定義求解；（2）設(shè)點，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，利用等面積法求解.【小問1詳解】解：連接，由題意知：，，即的軌跡為橢圓，其中，，，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】設(shè)點，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，消去整理得，顯然成立，故，，由橢圓定義得的周長為，則的面積，又由，得，從而得，即，整理得，解得，故，故直線的方程為.18、（1）填表見解析；有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)；（2）【解題分析】（1）由已知數(shù)據(jù)可完善列聯(lián)表，然后計算可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣定義求出5人中流淚與沒有流淚的觀眾人數(shù)并編號，用列舉法寫出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流淚的基本事件，計數(shù)后可計算概率【題目詳解】解：（1）男性觀眾女性觀眾合計流淚206080沒有流淚15520合計3565100所以有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，則流淚的觀眾抽到人，記為，，，，沒有流淚的觀眾抽到人，記為從這5人中抽2人有10種情況，分別是，，，，，，，，，其中這2人都流淚有6種情況，分別是，，，，，所以所求概率19、（1）；（2）沒有.【解題分析】（1）設(shè)機器鼠位置為點，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點的雙曲線的右支，分析取值，即得解雙曲線的方程，由可得P點坐標.（2）轉(zhuǎn)化機器鼠與直線最近的距離為與直線平行的直線與雙曲線相切時，平行線間的距離，設(shè)的方程為，與雙曲線聯(lián)立，求出的值，再利用平行線間的距離公式，即得解【題目詳解】（1）設(shè)機器鼠位置為點，、，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點的雙曲線的右支，設(shè)其方程為：（，），則、、，則的軌跡方程為：（），時刻時，，即，可得機器鼠所在位置的坐標為；（2）由題意，直線，設(shè)直線的平行線的方程為，聯(lián)立，可得：，，解得，又，∴，∴，即：與雙曲線的右支相切，切點即為雙曲線右支上距離最近的點，此時與的距離為，即機器鼠距離最小的距離為，則機器鼠保持目前運動軌跡不變，沒有“被抓”的風險.20、（1）（2）（3）答案見解析【解題分析】（1）聯(lián)立方程組求得交點的坐標，結(jié)合直線與直線垂直，求得直線的斜率為，利用直線的點斜式，即可求解；（2）先求得點到直線的距離為，由圓的的垂徑定理列出方程求得圓的半徑，即可求解；（3）若選①：設(shè)直線l的的斜率為，得到，結(jié)合題意列出方程，求得的值，即可求解；若選②，設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，得到，利用圓的垂徑定理列出方程求得的值，即可求解.【小問1詳解】解：由直線和的交點為P，聯(lián)立方程組，解得，即，因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為，所以過點且與直線垂直的直線方程為，即.【小問2詳解】解：因為點到直線的距離為，設(shè)所求圓的半徑為，由圓的的垂徑定理得，弦長，解得，所以所求圓的方程為.【小問3詳解】解：若選①：