2024學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣一中高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣一中高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且圓心是兩直線與的交點(diǎn)的圓的方程為（）A. B.C. D.2．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是（）A. B.C. D.3．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（位移單位：m，時(shí)間單位：s），則該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A.4 B.12C.15 D.214．命題“”的否定是（）A. B.C. D.5．如果一個(gè)矩形長(zhǎng)與寬的比值為，那么稱該矩形為黃金矩形.如圖，已知是黃金矩形，，分別在邊，上，且也是黃金矩形.若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為（）A. B.C. D.6．一動(dòng)圓與圓外切，而與圓內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心的軌跡是（）A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.雙曲線的一支7．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.8．一組“城市平安建設(shè)”的滿意度測(cè)評(píng)結(jié)果，，…，的平均數(shù)為116分，則，，…，，116的（）A.平均數(shù)變小 B.平均數(shù)不變C.標(biāo)準(zhǔn)差不變 D.標(biāo)準(zhǔn)差變大9．已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓E上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于E的兩個(gè)焦點(diǎn)處，則E的離心率為（）A. B.C. D.10．設(shè)，命題“若，則或”的否命題是（）A.若，則或B.若，則或C.若，則且D.若，則且11．已知點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于G、H兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.12．集合，則集合A的子集個(gè)數(shù)為（）A.2個(gè) B.4個(gè)C.8個(gè) D.16個(gè)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．當(dāng)為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，則以點(diǎn)C為圓心，半徑為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程______14．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為_(kāi)__________.15．已知點(diǎn)在圓C：（）內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M的直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為8，則______16．點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，四棱錐的底面為矩形，，，過(guò)底面對(duì)角線作與平行的平面交于點(diǎn)（1）求二面角的余弦值；（2）求與所成角的余弦值；（3）求與平面所成角的正弦值18．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若公差，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）如圖，△ABC中，，，在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)C，M，與BC交于點(diǎn)N），將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體（1）求該幾何體中間一個(gè)空心球表面積的大小；（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積20．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）若，證明:21．（12分）已知函數(shù)，其中（1）討論的單調(diào)性；（2）若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值22．（10分）已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）的右頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】求出圓心坐標(biāo)和半徑后，直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【題目詳解】由得，即所求圓的圓心坐標(biāo)為.由該圓過(guò)點(diǎn)，得其半徑為1，故圓的方程為.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】根據(jù)“凹函數(shù)”的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可解出【題目詳解】對(duì)A，，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，，在上恒成立，所以B正確；對(duì)C，，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤故選：B3、B【解題分析】由瞬時(shí)變化率的定義，代入公式求解計(jì)算.【題目詳解】由題意，該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為.故選：B4、C【解題分析】特稱命題的否定，先把存在量詞改為全稱量詞，再把結(jié)論進(jìn)行否定即可.【題目詳解】命題“”的否定是“”.故選：C5、B【解題分析】由幾何概型的面積型，只需求小矩形的面積和大矩形面積之比.【題目詳解】由題意，不妨設(shè)，則，又也是黃金矩形，則，又，解得，于是大矩形面積為：，小矩形的面積為，由幾何概型的面積型，概率為若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為：.故選：B.6、A【解題分析】依據(jù)定義法去求動(dòng)圓的圓心的軌跡即可解決.【題目詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,又圓半徑為1，圓半徑為8，則，，可得，又則動(dòng)圓的圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為9的橢圓.故選：A7、C【解題分析】由，且，可得，再結(jié)合，可得，進(jìn)而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【題目詳解】由題意，可得，因?yàn)椋?，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因?yàn)?，所?故選：C.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關(guān)系，利用求解；（2）根據(jù)條件列出的齊次方程，利用轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解方程即可，注意根據(jù)對(duì)所得解進(jìn)行取舍.8、B【解題分析】利用平均數(shù)、方差的定義和性質(zhì)直接求出，，…，，116的平均數(shù)、方差從而可得答案.【題目詳解】，，…，的平均數(shù)為116分，則，，…，，116的平均數(shù)為設(shè)，，…，的方差為則所以則，，…，，116的方差為所以，，…，，116的平均數(shù)不變，方差變小.標(biāo)準(zhǔn)差變小.故選：B9、B【解題分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率.【題目詳解】依題意可知，所以.故選：B10、C【解題分析】根據(jù)否命題的定義直接可得.【題目詳解】根據(jù)否命題的定義可得命題“若，則或”的否命題是若，則且，故選：C.11、B【解題分析】根據(jù)是等腰三角形且為銳角三角形，得到，即，解得離心率范圍.【題目詳解】，當(dāng)時(shí)，，，不妨取，，是等腰三角形且為銳角三角形，則，即，，即，，解得，故.故選：B.12、C【解題分析】取，再根據(jù)的周期為4，可得，即可得解.【題目詳解】因?yàn)椋?時(shí),，時(shí),，時(shí),，時(shí),，所以集合，所以的子集的個(gè)數(shù)為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】先求得直線過(guò)的定點(diǎn)C，再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【題目詳解】直線可化為，則，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，所以以點(diǎn)C為圓心，半徑為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，故答案為：14、【解題分析】將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得出、，由此可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【題目詳解】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，則，，，所以，，解得.故答案為：.15、【解題分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可求得r的取值范圍，再利用過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得到關(guān)于r的方程，求解即可.【題目詳解】由點(diǎn)在圓C：內(nèi)，且所以，又，解得過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，應(yīng)垂直于該定點(diǎn)與圓心的連線，即圓心到直線的距離為又，所以，解得故答案為：16、【解題分析】設(shè)與平行的直線與相切，求解出此時(shí)的方程，則點(diǎn)到直線距離的最大值可根據(jù)平行直線間的距離公式求解出.【題目詳解】設(shè)與平行的直線，當(dāng)與橢圓相切時(shí)有：，所以，所以，所以，由題意取時(shí)，到直線的距離較小此時(shí)與（即）的距離為，所以點(diǎn)到直線距離的最小值為，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解題分析】（1）設(shè)，連接、，證明出平面，推導(dǎo)出為的中點(diǎn)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值；（2）利用空間向量法可求得與所成角的余弦值；（3）利用空間向量法可求得與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，則為、的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，同理可證，，平面，，，則，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，.由圖可知，二面角的平面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.【小問(wèn)2詳解】解：，，，因此，與所成角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】解：，，因此，與平面所成角的正弦值為.18、（1）；（2）.【解題分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)列方程可得數(shù)列首項(xiàng)與公差，即可得解；（2）由，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可得解.【題目詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列，所以，所以，即，又因?yàn)椋?，所以；?）因?yàn)?，所?【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用及裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解題分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的軸截面圖，根據(jù)已知條件求球的半徑與長(zhǎng)，再利用球體、圓錐的面積、體積公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】連接，則，設(shè)，在中，，；【小問(wèn)2詳解】，∴圓錐球.20、（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）見(jiàn)詳解【解題分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論；（2）構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可證出.【題目詳解】（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，.令，，則.，令，.恒成立，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，所以存在唯一的，使得，?①當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增.所以，，②方法一：把①代入②得，.設(shè)，.則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)椋?，即，所以，所以時(shí)，.方法二：設(shè)，.則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，所以時(shí)，.【題目點(diǎn)撥】不等式證明問(wèn)題是近年高考命題的熱點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法主要有兩個(gè)：（1）不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)最值即可；（2）觀察不等式的特點(diǎn)，結(jié)合已解答問(wèn)題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，再化簡(jiǎn)或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.21、（1）答案見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分和討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由題意得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可【小問(wèn)1詳解】由，得當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，令，得，得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【小問(wèn)2詳解】依題意得對(duì)一切恒成立，即令，則令，則在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴∴，即k的最大值為22、（1）；（2）【解