理論力學非慣性參考系

理論力學非慣性參考系第一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一動坐標系：A=Ax

i

+

Ayj

+Az

k

固定坐標：dA/dt=dAx/dt

i

+

dAy/dt

j

+dAz/dt

k

+

Axdi/dt

+Aydj

/dt

+Azdk

/dt討論(1)僅有轉(zhuǎn)動(角速度ω相對固定坐標系）∵dr/dt=ω×

r

∴di

/dt

=ω×

i

,

dj

/dt

=ω×

j

,

dk

/dt

=ω×

k

.記δA/dt=dAx/dt

i

+

dAy/dt

j

+dAz/dt

k則有:

dA/dt=δA

/δt+ω×A

轉(zhuǎn)動參考系算符變換：d/dt=δ/δt+ω×

第二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一例:質(zhì)點的位置矢量r

，求v

，a

。解：v=dr/dt=δr/δt+ω×r=v相+v牽

a=d2r/dt2=d(δr/δt+ω×r)/dt=δ(δr/δt+ω×r)/δt+ω×(δr/δt+ω×r)

=δ2r/δt2+δ(ω×r)/δt+ω×(δr/δt)+

ω×(ω×r

)=δ2r/δt2+(δω/δt)×r+ω×(ω×r

)

+

2ω×(δr/δt)=a相+a牽+a科

a相=δ2r/δt2a牽=(δω/δt)×r+ω×(ω×r

)a科=2ω×(δr/δt)第三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一dA/dt=δA/δt+ω×A

運算公式：A×B×C=B(A·C)–(A·B)

Cω×(ω×r

)=

ω(ω·r

)-ω2

r

=ω2

(OB-OP)=-ω2

R對于角速度ω，角加速度為β

β

=dω/dt=δω/δt+ω×ω

=δω/δt說明角加速度與坐標系無關(guān)。RrωBPO第四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一例：一等腰直角三角形OAB在其自身平面內(nèi)以勻角速ω繞O轉(zhuǎn)動。P點以勻相對速度沿AB邊運動，當三角形轉(zhuǎn)一周時，P點走過AB，如AB=b，試求P點在A時的絕對速度與絕對加速度。PAByzxOω第五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一第六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一(2)平動+轉(zhuǎn)動固定坐標系中位矢rI

與動坐標系r

之間關(guān)系:

rI

=

R

+

rd2rI/dt2=d2R/dt2+

d2r/dt2=d2R/dt2+

δ2r/δt2+(δω/δt)×r

+ω×(ω×r

)+2ω×(δr/δt)或a=a平

+a相+β×r-ω2

R+2ω×v相若等角加速度轉(zhuǎn)動β=0，無平動加速度a平

=0，則：a=a’-ω2

R+2ω×v’第七頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一§5.2非慣性系中的動力學方程慣性力慣性系中：md2rI

/dt2=F非慣性系：m2r/t2=F

-m[d2R/dt2+βr+ω(ωr)+2ωv’]=Feff

1、平移力

-md2R/dt2←動系平動加速2、方位力

-mβ

r←動系轉(zhuǎn)動加速3、慣性離心力

-m[ω

(ω

r

)←動系相對固定系轉(zhuǎn)動4、科里奧利力

-2mω

v’

←質(zhì)點相對動系運動第八頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一例：在光滑水平直管中有一質(zhì)量為m的小球。此管以勻角速ω繞通過其一端的豎直軸轉(zhuǎn)動。開始時，球距轉(zhuǎn)動軸的距離為a,球相對管的速率為零，而的總長為2a。oxyzmgNzNyFcmω2xvvzvxω求：(1)球剛離開管口時的相對速度與絕對速度；

(2)球從開始運動到離開管口時所需時間。第九頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一(1)球剛離開管口時的相對速度與絕對速度；第十頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一

(2)球從開始運動到離開管口時所需時間第十一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一可證明，引入非慣性力

，質(zhì)點動量定理、角動量定理和動能定理的形式都保持不變。例：角動量定理：

L’/t=(r’

mv’)

/t=(r’)/tmv’+r’

mv’/t=r’

(F+F慣性)動能定理:∵mv’/t=

F+F慣性→

mv’

·

r/t=(F+F慣性)·

r→mv’

·v’=(F+F慣性)·

r→(mv’2/2)=(F+F慣性)·

r即:

T=(F+F慣性)·

r第十二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一拉格朗日方程導出慣性力第十三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一第十四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一§5.3拉格朗日函數(shù)的不確定性

非慣性系中的拉格朗日函數(shù)1、若兩個拉格朗日函數(shù)L1和L2只相差一函數(shù)f(q,t)的全微商df/dt，則L1和L2是等價的。證明：設(shè)L2=L1+df(q,t)/dt，只要證明由L1和L2所得出的運動方程相同即可?？紤]體系只有一個廣義坐標。第十五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一2、非慣性系中的拉格朗日函數(shù)設(shè)有三個參考系：S為慣性系，S1為相對S以vo(t)作平動，S’與S1有共同原點，但相對