新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)全冊(cè)教案

6.1平面向量的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

課題6.1平面向量的概念單元第六單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一

教材本節(jié)內(nèi)容是平面向量的概念，由物理中的路程和位移情境導(dǎo)入，學(xué)習(xí)平面向量的概念、

分析表示以及平面向量之間的關(guān)系這些知識(shí)點(diǎn)，為平面向量的運(yùn)算做鋪墊。

1.數(shù)學(xué)抽象：利用位移和路程的相關(guān)情境將平面向量具體化；

2.邏輯推理：通過(guò)課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

教學(xué)3.數(shù)學(xué)建模：掌握平面向量的相關(guān)知識(shí)，為空間向量的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)的同時(shí)，也能學(xué)習(xí)利用

目標(biāo)向量解決實(shí)際問(wèn)題。

與核4.直觀想象：通過(guò)有向線段直觀判斷平面向量之間的關(guān)系；

心素5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確判斷平面向量之間的關(guān)系；

養(yǎng)

6.數(shù)據(jù)分析:通過(guò)經(jīng)歷提出問(wèn)題一推導(dǎo)過(guò)程一得出結(jié)論一例題講解一練習(xí)鞏固的過(guò)程，讓學(xué)

生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。

重點(diǎn)平面向量的概念；平面向量的表示；平面向量之間的關(guān)系。

難點(diǎn)平面向量的表示；平面向量之間的關(guān)系。

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課情境導(dǎo)入：學(xué)生思考問(wèn)設(shè)置問(wèn)題情境，

情境一：小船由A地航行15nmile到達(dá)B地。試題，引出本節(jié)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興

問(wèn)小船能到達(dá)B地嗎？

新課內(nèi)容。

情境二：小船由A地向東南方向航行15nmile到趣，并引出本節(jié)

達(dá)B地。試問(wèn)小船能到達(dá)B地嗎？新課。

問(wèn):位移和距離這兩個(gè)量有什么不同？

情境三：物體受到的重力是豎直向下的，物體的質(zhì)

量越大，它受到的重力越大。

情境四：物體在液體中受到的浮力是豎直向上的，

物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大。

問(wèn):你能通過(guò)這些物理量得出向量的概念嗎？

講授新課知識(shí)探究（一）：向量的概念學(xué)生根據(jù)兩個(gè)利用兩個(gè)情境探

定義：既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量。把只有

大小沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量，如年齡、身高、長(zhǎng)度、情境，探究平究得出平面向量

面積、體積、質(zhì)量等。面向量的概的概念，培養(yǎng)學(xué)

注：1.向量?jī)梢兀捍笮?，方?/p>

2.向量與數(shù)量的區(qū)別：念。生探索的精神.

①數(shù)量只有大小，可以比較大小。

②向量有方向，大小雙重屬性，而方向是不能比較

大小的，因此向量不能比較大小。

知識(shí)鏈接：物理學(xué)中常稱向量為矢量，數(shù)量為標(biāo)量。

你還能舉出物理學(xué)中的一些向量和數(shù)量嗎？

練習(xí)一：在質(zhì)量、重力、速度、加速度、身高、面

積、體積這些量中，是數(shù)量

_______________是向量.

練習(xí)二：

1.身高是一個(gè)向量（）

2.溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量

（）

3.坐標(biāo)平面上的x軸和y軸都是向量式）

知識(shí)探究（二）：向量的表示思考：對(duì)于一個(gè)實(shí)數(shù),

可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，而且不同的點(diǎn)表示不同的

數(shù)量。那么，該如何表示向量呢？通過(guò)思考，培養(yǎng)

思考：根據(jù)情景二，你發(fā)現(xiàn)位移是怎樣表示的？向

量怎樣表示？學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)學(xué)生探索新知的

幾何表示法：相扣的思考精神和能力.

用有向線段表示向量，長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭

所指的方向表示向量的方向。題，探究平面

有向線段三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度。向量的表示。

間：有向線段是向量，向量就是有向線段。這種說(shuō)

法對(duì)嗎？

思考：你能用表示線段的方法表示向量嗎？向量的

大小和方向怎樣表示？

字母表示法：大寫(xiě)字母和小寫(xiě)字母。

箭頭表示向量的方向，線段的長(zhǎng)度表示大小。

知識(shí)探究（三）：向量的模和兩類特殊向量

-->

思考：AB有什么含義？

-->

向量的模：向量AR的大小稱為向量的長(zhǎng)度（或

-->

稱為模），記作IABI.

兩類特殊向量：零向量和單位向量。

思考：1.6與o有區(qū)別嗎？為什么？

2.零向量和單位向量的方向呢？

3.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點(diǎn)在原點(diǎn)的單位向

量，它們的終點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

判斷

1.向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)。（）

2.若，則a>b。（）

注:向量不能比較大小

例1.如圖，分別用向量表示A

地至B、C兩地的位移，并根據(jù)圖A.

中的比例尺，求出A地至B,C兩晨

地的實(shí)際距離（精確到1km）

知識(shí)探究（四）：向量之間的關(guān)系

思考：觀察圖象，探究發(fā)現(xiàn)平行向量。學(xué)生根據(jù)動(dòng)態(tài)利用數(shù)形結(jié)合的

平行向量：方向相同或相反的

叫做平行向量.記作ZUb.變化圖，觀察思想，化抽象為

共線向量：平行向量又稱為共線向量.探究的出向量具體，提高學(xué)生

思考：就是相同的向量嗎？之間的關(guān)系。的抽象能力和邏

由此得出相等向量和相反向量的定義。輯思維能力。

1,若非零向量AB//CD,那么AB//CD嗎？

2.若a//b，則a與b的方向一定相同或相反嗎？

3.相等向量一定是平行向量嗎？

平行向量一定是相等向量嗎？

例2已知0為正六邊形ABCDEF的中心,在圖中

所標(biāo)出的向量中：

(1)寫(xiě)出圖中的共線向量；

⑵分別寫(xiě)出圖中與相等的向量；

「、A

利用例題引導(dǎo)例題的3問(wèn)三種

DE學(xué)生掌握本節(jié)類型，加深學(xué)生

提升訓(xùn)練課知識(shí)，并能對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)理

1、回答下列問(wèn)題：

(1)平行向量是否一定方向相同？夠靈活運(yùn)用.解，并能夠靈活

(2)不相等的向量是否一定不平行？運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解

(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？

決具體問(wèn)題。

(4)與任意向量都平行的向量是什么向量？

(5)若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)

向量一定是什么向量？(平行向量)

(6)兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？

(7)共線向量一定在同一直線上嗎？

2、在圖中的4X5方格紙中有一個(gè)向量A8,分別

以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量而，其中與

而相等的向量有多少個(gè)？與而長(zhǎng)度相等的共線

學(xué)生和教師共通過(guò)這3個(gè)題，

向量有多少個(gè)(而除外)？

同探究完成3鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，

3、D、E、F依次是等邊AABC的邊AB、BC、CA個(gè)練習(xí)題。發(fā)散學(xué)生思維，

的中點(diǎn)，在以A、B、C、D、E、F為起點(diǎn)或終點(diǎn)

的向量中，培養(yǎng)學(xué)生思維的

(1)找出與向量DE相等的向量；嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)數(shù)學(xué)

(2)找出與向量DF共線的向量.

的探索精神。

課堂小結(jié)1.向量的概念學(xué)生回顧本節(jié)讓學(xué)生掌握本節(jié)

2.向量的表示

3.向量之間的關(guān)系課知識(shí)點(diǎn)，教課知識(shí)點(diǎn)，并能

師補(bǔ)充。夠靈活運(yùn)用。

板書(shū)§6.1平面向量的概念

一、情境導(dǎo)入2.向量的表示三、課堂小結(jié)

二、探索新知3.向量之間的關(guān)系四、作業(yè)布置

1.向量概念例1、2、

教學(xué)反思

人教版本數(shù)學(xué)科目高一年級(jí)教學(xué)設(shè)計(jì)

課題6.2.1平面向量的加法運(yùn)算單元第六單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一

教材本節(jié)內(nèi)容是平面向量的加法，由物理中的位移和力的合成導(dǎo)入，學(xué)習(xí)平面向量的加法法

分析則以及加法的運(yùn)算律這些知識(shí)點(diǎn)，為平面向量的減法做鋪墊。

1.數(shù)學(xué)抽象：利用位移和力的合成將平面向量具體化；

2.邏輯推理：通過(guò)課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

教學(xué)

.數(shù)學(xué)建模：掌握平面向量加法法則，利用向量的運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題。

目標(biāo)3

直觀想象：通過(guò)有向線段直觀判斷平面向量的加法運(yùn)算：

與核4.

數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確計(jì)算和判斷向量的加法運(yùn)算；

心素5.

養(yǎng)6.數(shù)據(jù)分析:通過(guò)經(jīng)歷提出問(wèn)題一推導(dǎo)過(guò)程一得出結(jié)論一例題講解一練習(xí)鞏固的過(guò)程，讓學(xué)

生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。

重點(diǎn)平面向量的三角形法則、平行四邊形法則、運(yùn)算律。

難點(diǎn)平面向量的三角形法則、平行四邊形法則、運(yùn)算律。

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課情境導(dǎo)入：學(xué)生思考問(wèn)設(shè)置問(wèn)題情境，

情景一：如圖，某人從A點(diǎn)走到B.然后從B點(diǎn)走題，引出本節(jié)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興

到C.這個(gè)人所走過(guò)的位移是多少？

向量的加法的定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量新課內(nèi)容。趣，并引出本節(jié)

的加法新課。

情景二：如圖，在光滑的平面上，一個(gè)物體同時(shí)受

到兩個(gè)外力片與尸2的作用，你能作出這個(gè)物體

所受的合力F嗎？

講授新課知識(shí)探究（一）：向量加法的三角形法則學(xué)生根據(jù)兩個(gè)利用兩個(gè)情境探

向量加法的三角形法則

（“作平移,首尾連，由起點(diǎn)指終點(diǎn)”）情境，探究平究得出平面向量

位移的合成可以看作向量加法的三角形法則的物面向量的加法的加法法則，培

理模型。

向量加法的平行四邊形法則法則。養(yǎng)學(xué)生探索的精

（“作平移，共起點(diǎn),四邊形，對(duì)角線”）神.

力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的

物理模型。

知識(shí)探究（二）：三角形法則與平行四邊形法則的

異同

思考1:向量加法的平行四邊形法則和三角形法則一

致嗎？為什么？

不一致。三角形法則通過(guò)平移首尾相接，平行四邊

形法則通過(guò)平移起點(diǎn)相同。

知識(shí)探究（二）：非零共線向量的和的計(jì)算

思考2：對(duì)于兩個(gè)非零共線向量，能否求出他們的

和向量？它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？

兩個(gè)非零共線向量的和向量只需首尾相接

兩個(gè)非零共線向量的加法和數(shù)的加法運(yùn)算法則是

一致的。

知識(shí)探究（二）：零向量與任一非零向量的和向量

計(jì)算

思考3：零向量與任一非零向量，能否求出他們的

和向量？

因?yàn)榱阆蛄康哪?,方向任意，根據(jù)合位移的計(jì)

算方法可得，零向量與任一非零向量的和等于該非

零向量。

知識(shí)探究（三）：n個(gè)向量加法的三角形法則

思考4：A8+6C+CE>=?n個(gè)向量的和向

量怎樣計(jì)算？

n個(gè)向量連加是將向量加法的三角形法則推廣為n

個(gè)向量相加的多邊形法則:由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指

向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向

量的和.（注意:首尾相接）

例題講解（一）學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)通過(guò)思考，培養(yǎng)

例1：如圖，已知向量a、b,求作向量a+b.

相扣的思考學(xué)生探索新知的

V,題，探究平面精神和能力.

向量的運(yùn)算

￡\律。

作法1：三角形法則

一

0B=a+b

作法2：平行四邊形法則

八A

0c

BC

0C=a*+b>

知識(shí)探究（四）：向量和與向量的模的關(guān)系

思考：當(dāng)向量石不共線時(shí)，和向量的長(zhǎng)度

a學(xué)生例題，鞏利用數(shù)形結(jié)合的

1。+刈與向量。石的長(zhǎng)度和1刈+⑻之間固向量的加法思想，化抽象為

的大小關(guān)系如何？法則以及運(yùn)算具體，提高學(xué)生

律，并能夠靈的抽象能力和邏

活運(yùn)用.輯思維能力。

\a+b\<\a\-v\b\

知識(shí)探究（五）：平面向量加法的運(yùn)算律

思考1：數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，向量的加

法是否也滿足交換律和結(jié)合律？

—?—>—?—

向量的加法交換律a+b=b+a

向量的加法結(jié)合律（"+B）+c=a+（B+c）

例題講解：平面向量的加法運(yùn)算

例2長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，常常通過(guò)進(jìn)

行輪渡運(yùn)輸。如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸A地出通過(guò)這3個(gè)題，

發(fā)，垂直于對(duì)岸航行，航行速度的大小為15千米

每小時(shí)，同時(shí)江水的速度為向東6千米每小時(shí)。學(xué)生和教師共鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，

（1）用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行同探究完成3發(fā)散學(xué)生思維，

的速度；

（2）求船實(shí)際航行的速度的大?。ńY(jié)果保留小數(shù)個(gè)練習(xí)題。培養(yǎng)學(xué)生思維的

點(diǎn)后一位）與方向（用與江水速度間的夾角表示，嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)數(shù)學(xué)

精確到1度）。

的探索精神。

D1

A

AA口

解a）如右圖所示z裱示船速施表示江水速度

以AD,為鄰邊作平行四邊形ABCD

則就表示船實(shí)際航行的速度

（2建也AA5c中JAfil=6,BC=15

于用阿=，|向~+|西~=462+152=7261*16.2

BC|5

因?yàn)閠anNC48==r=2

AB2

所以利用計(jì)算工具可彩C48*6&

因此，船實(shí)際航行速度大小約為6.2/根/爪

方向與江水速度間的蝴約為68

提升訓(xùn)練

1、求下列向量的和

(l)AB+BC+CD=_______AD

(2)AB+CD+BC+DE=_______AE

(3)AB+BC+DE+EF+CD=_______而

3、如圖,。為正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心，

求出下列向量的和：

⑴西+砥=o出

⑵西+值…

⑶你+MA4

(4)A+AA+AA-16

⑸A3+44+34+44+4久

=_

(6)AA?+d2A3+A3A4+A4A+A,A=

—?

0

課堂小結(jié)4.向量的三角形法則學(xué)生回顧本節(jié)讓學(xué)生掌握本節(jié)

5.向量的平行四邊形法則

課知識(shí)點(diǎn)，教課知識(shí)點(diǎn)，并能

6.向量加法的運(yùn)算律

師補(bǔ)充。夠靈活運(yùn)用。

板書(shū)§6.2.1平面向量的加法運(yùn)算

一、情境導(dǎo)入2.平行四邊形法則三、課堂小結(jié)

二、探索新知3.向量加法運(yùn)算律四、作業(yè)布置

1.三角形法則例1、2、

教學(xué)反思

6.2.2向量的減法教學(xué)設(shè)計(jì)

課題6.2.2向量的減法單元第六單兀學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一

教材本節(jié)內(nèi)容是平面向量的減法，由數(shù)的減法運(yùn)算導(dǎo)入，學(xué)習(xí)平面向量的減法法則以及減法

分析的幾何意義這些知識(shí)點(diǎn)，將數(shù)量與向量結(jié)合起來(lái)。

教學(xué)1.數(shù)學(xué)抽象：利用數(shù)量的減法運(yùn)算抽象到平面向量的減法運(yùn)算;

目標(biāo)2.邏輯推理：通過(guò)課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

與核3.數(shù)學(xué)建模：掌握平面向量減法法則，利用向量的運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題。

心素4.直觀想象：通過(guò)有向線段直觀判斷平面向量的減法運(yùn)算；

養(yǎng)5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確計(jì)算和判斷向量的減法運(yùn)算；

6.數(shù)據(jù)分析:通過(guò)經(jīng)歷提出問(wèn)題一推導(dǎo)過(guò)程一得出結(jié)論一例題講解一練習(xí)鞏固的過(guò)程，讓學(xué)

生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。

重點(diǎn)相反向量，平面向量的減法及幾何意義

難點(diǎn)平面向量的減法及幾何意義

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課舊知導(dǎo)入：學(xué)生思考問(wèn)設(shè)置問(wèn)題情境，

問(wèn)題一：你還能回想起實(shí)數(shù)的相反數(shù)是怎樣定義的題，引出本節(jié)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興

嗎？

實(shí)數(shù)a的相反數(shù)記作-a。新課內(nèi)容。趣，并引出本節(jié)

問(wèn)題二：什么是相反向量？新課。

把大小相等方向相反的兩個(gè)向量叫做相反向量。

6的相反向量仍是6。

問(wèn)題三：兩個(gè)實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算可以看成加法運(yùn)算

如設(shè)％,%+(-y)

講授新課新知探究：向量的減法運(yùn)算定義學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)利用問(wèn)題探究得

問(wèn)題四：你能根據(jù)實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算定義向量的減法

運(yùn)算嗎？相扣的問(wèn)題進(jìn)出平面向量的減

由兩個(gè)向量和的定義已知行思考，探究法定義和法則，

a+-<)=-4)+6/—0

平面向量的減培養(yǎng)學(xué)生探索的

即任意向量與其相反向量的和是零向量。法定義和法精神.

這樣，如藏與5互為相反向量，

則。

那么a=-b,b=—a,a+b=0

浙五的相反向量，叫版垃的差即Z4=a+^b

求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法。我們看

至1J,向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來(lái)進(jìn)行：減

去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量。

即

a加上花勺相反向量，

叫做a與用差.即。-b=a+y-bj

新知探究(二)：向量減法的作圖方法

問(wèn)題五：已知向量&與E,試作出a-b

B

力D4c

作法

（DigOA-a,OB=b,OD=-b

（2）連接AB,由向量減法的定義知

a-5=a+（-@=OA+OD=OC

（3兩為平行四邊形OCAB

所以麗=云=々-5

由此,我們得到a-b的作圖方法。

知識(shí)探究（三）：向量減法的幾何意義

問(wèn)題六：根據(jù)問(wèn)題五，思考一下向量減法的幾何意

義是什么？

/0A

~?0二

aa

由圖得:麗=1-3.

即Z-族可以表示為從謝終點(diǎn)指向海勺終點(diǎn)的向量

這就是向量減法的幾何意義。

a

二一a

a由圖得洲終點(diǎn)為A,版終點(diǎn)為B,

則加］終點(diǎn)到題終點(diǎn)的向量為而學(xué)生根據(jù)例利用數(shù)形結(jié)合的

由問(wèn)題六可知J3A=a—

又因?yàn)辂?一瓦則成=一而-丹=屋￡題，鞏固向量思想，化抽象為

注意：（1）起點(diǎn)必須相同。（2）指向被減向量的終點(diǎn)。

的減法法則，具體，提高學(xué)生

問(wèn)題七：非零共線向量怎樣做減法運(yùn)算？

并能夠靈活運(yùn)的抽象能力和邏

1.共線同向2.共線反向

?」—/;用.輯思維能力。

b----->

,力

ACBBAC

問(wèn)題八：非零共線向量怎樣做減法運(yùn)算？

1.共線同向

%

9b

a-b

ACB

2.共線反向

——b

%4

BAC

小試牛刀

判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量。(J)

⑵向量的減法實(shí)質(zhì)上是向量的加法的逆運(yùn)算.

(V)

(3)向量a與向量b的差與向量b與向量a的差互為

相反向量。(J)

(4)相反向量是共線向量。(V)

例題講解

例1、己知向量2員工，Z,求作向量c-da

作法：

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作正從，而乩沅=&而=2

則BA=a—bDC=c—d

注意：起點(diǎn)相同，連接終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)。

?—?'*—

例2、已知平行四邊形ABCD，AB=a,AD=b,

用分別表示向量記而>

D

AB

解：連接AC,￡>8,由求向量和

的平行四邊形法則，

^AC=AB+AD=a+h

依減法定義得麗=荏-茄=萬(wàn)_3

例3、如圖，O為AABC的外心，H為垂心.求證：

OH=OA+OB+OC

3

證明：作直徑BD,連接DA,DC,

則有°B--OD

又因?yàn)镈AJ_AB,DC1BC,AH1BC,CH±AB,

所以CH//DA,AH//DC.

所以四邊形AHCD是平行四邊形，

r____>

所以AH=DC

,,.,,

又DC=OC—OD—OC+OB所以

...

OH^OA+AH

>.

=OA+DC學(xué)生和教師共通過(guò)這3個(gè)題，

^OA+OB+OC同探究完成3鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，

提升訓(xùn)練

個(gè)練習(xí)題。發(fā)散學(xué)生思維，

1、求下列向量的差

(1)AB-AD=(2)BA-BC=培養(yǎng)學(xué)生思維的

(3)BC-BA^(4)OD-OA^嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)數(shù)學(xué)

(5)OA-OB=(6)AO-BO=

的探索精神。

(1)DB(2)CA⑶AC

(4)4。(5)A8(6)BA

2、根據(jù)右圖，回答下列問(wèn)題：

A-B

a

—?—?

(i)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，6與"b

垂直？1。1=151

———f-

Aa+b=a-h

(2)當(dāng)n如“滿足什么條件時(shí)，？

?和I互相垂直

—?—?—?—?

(3)6與"一方可能是相等向量嗎？

不可能.因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膬蓷l對(duì)角線方向不同.

練習(xí)、如圖，已知向量福=萬(wàn)，而=5,ZDAB=120",

且團(tuán)=|二|=3,求|1+5|和|1-5|

C

解：以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,

由于5H通1=3,故此四邊形為菱形

由向量的加減法知

AC=a+b,DB=a-b

故|京|=]9+61,|麗|=|五一61

因?yàn)镹ZMB=120",所以NOAC=600

所以AAOC是正三角形，則|公|=3

由于菱形對(duì)角線互相垂直平分,所以AAOD是直角三角形，

|而|=|砌sin60"=3x3=空

22

課堂小結(jié)7.相反向量學(xué)生回顧本節(jié)讓學(xué)生掌握本節(jié)

8.向量的減法定義

課知識(shí)點(diǎn)，教課知識(shí)點(diǎn)，并能

9.向量減法的幾何意義

師補(bǔ)充。夠靈活運(yùn)用。

板書(shū)§6.2.2平面向量的減法運(yùn)算

一、情境導(dǎo)入2.減法作圖三、課堂小結(jié)

二、探索新知3.減法幾何意義四、作業(yè)布置

1.減法定義例1、2、3

教學(xué)反思

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)

課題6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算單元第六單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一

教材本節(jié)內(nèi)容是平面向量的數(shù)乘運(yùn)算，由向量加法導(dǎo)入，學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)乘運(yùn)算以及運(yùn)算

分析律這些知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)根據(jù)數(shù)乘運(yùn)算探究得到平面向量共線基本定理。

1.數(shù)學(xué)抽象：利用有向線段將平面向量的數(shù)乘運(yùn)算具體化；

教學(xué)

2.邏輯推理：通過(guò)課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

目標(biāo)

3.數(shù)學(xué)建模：掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算，利用向量的運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題。

與核

4.直觀想象：通過(guò)有向線段直觀判斷平面向量的數(shù)乘運(yùn)算；

心素

5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確計(jì)算和判斷向量的數(shù)乘運(yùn)算；

養(yǎng)

6.數(shù)據(jù)分析:通過(guò)經(jīng)歷提出問(wèn)題一推導(dǎo)過(guò)程一得出結(jié)論一例題講解一練習(xí)鞏固的過(guò)程，讓學(xué)

生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。

重點(diǎn)平面向量數(shù)乘運(yùn)算、運(yùn)算律以及平面向量共線基本定理。

難點(diǎn)平面向量數(shù)乘運(yùn)算、運(yùn)算律以及平面向量共線基本定理。

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課舊知導(dǎo)入：學(xué)生思考問(wèn)設(shè)置問(wèn)題情境，

思考1：如圖，已知向量a、b,求作向量a+b.題，引出本節(jié)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興

新課內(nèi)容。趣，并引出本節(jié)

r\新課。

思考2：

已知非零1可量。，作出:a+a+。和(―a)+(―a)+(—a).

思考3：

a+a+a和(一〃)+(-a)+(-a)與a有什么關(guān)系？

講授新課知識(shí)探究（-）:數(shù)乘運(yùn)算的定義學(xué)生根據(jù)一連利用兩個(gè)情境探

規(guī)定：實(shí)數(shù)X與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫

串的思考題，究得出平面向量

做向量的數(shù)乘運(yùn)算.記作而

探究平面向量的數(shù)乘運(yùn)算，培

它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：

的數(shù)乘運(yùn)算。養(yǎng)學(xué)生探索的精

（中4=1眼

神.

⑵當(dāng)寸，4曲方向場(chǎng)的方向相同；

當(dāng);1<0時(shí)，幾通方向與通方向相反。

當(dāng);1=0時(shí)-，AZ=6,方向任意。

知識(shí)探究（二）：數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義

思考4：你能說(shuō)明加的幾何意義嗎？

數(shù)乘向量的幾何意義就是把向量。沿3的方向或反方

向放大或蹣.

若2R6,當(dāng)八時(shí)，沿“的方向放大了A倍.當(dāng)。。（1時(shí)，

沿2的方向縮短了力倍.,,

當(dāng)小時(shí)，沿a的反方向放大了風(fēng)倍.當(dāng)-K4甌

沿a的反方向縮短了囚倍.

由其幾何意義可以看出用數(shù)乘向量能解決幾何中的相似問(wèn)

題.

學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)通過(guò)思考，培養(yǎng)

知識(shí)探究（三）：數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律

相扣的思考學(xué)生探索新知的

思考5：如果把非零向量。的長(zhǎng)度伸長(zhǎng)到原來(lái)的

題，探究平面精神和能力.

3.5倍，方向不變得到向量人，向量人該如何表向量的數(shù)乘運(yùn)

示？向量a,Z之間的關(guān)系怎樣？算運(yùn)算律。

由已知得了=3.5々器曲方向相同，岡=3.5口

思考6：如果把思考4中h的長(zhǎng)度再伸長(zhǎng)到原來(lái)的

2倍，方向不變得到向量C,向量°該如何表示？

向量a,C之間的關(guān)系怎樣？

由已知得:c—2/?,又因?yàn)锽=3.5a,可得c=7a

根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算的定義可得：

Z的方向與血方向相同,F=7p

數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律

=（即）aQX%+]LL）a=Xa+fia

+b^=Aa+Ab

特別地：

(―X)a=ajA.{ci—hj=Aa—A.b

思考7：向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算有什么共同

點(diǎn)？

向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是向量。

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。

例題講解

(1)(—3)xAct(2獨(dú)卜+Z?)—2b-Z?)—ci

學(xué)生例題，鞏利用數(shù)形結(jié)合的

(3)(2々+3b-c)-(3l-2b+c]

固向量的數(shù)乘思想，化抽象為

運(yùn)算以及運(yùn)算具體，提高學(xué)生

解：(1)原式=(-3X4M——12a

—?律，并能夠靈的抽象能力和邏

⑵原式=3Z+3^-2Z+公-Z=5b

活運(yùn)用.輯思維能力。

(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c

=-a+5b-2c

例2：如圖

平行四邊形485勺兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)W,且耗="

而二元用[B表示荻MB,證和通

D,C

一

A3B

解：在平行四邊形A3C0中，

AC=AB+AD^a+h

DB=AB—AD=a-b

由平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，得

*1—?1/-*1-?

MA=——AC=——\a+b]=——a——b

22V722

.1.](——?\11]-*

MB=——DB=-\a-b]=-a——b

22V722

,1?1-1-

MC=-AC=-a+-b

222

—■1—*1-*1~

MD=——DB=——a+-b

222

小試牛刀

,用5表示下列各題中的反

1、

⑴a=3e,b=6e;b=2a

(f—f-7—

(2)a=Se,b=-14e;b=~4a

-*2■*7]_

(3)。=——e,b——e\b=——a

332

/八一3一彳2-_8-*

(4)。=--二e,b=—二e;b=-a

439

2、如圖，四邊形/及力是一個(gè)梯形，AB//CD^\AB\

—?-?

=2\CD\,M,N分別是〃C,的中點(diǎn)，已知

~?-?

49=食，試用6i,。表示下列向量.⑴40=

―?

;⑵協(xié)三.

(1)因?yàn)榇?〃切，|/8|=2|切|,所以4B=2OC,DC=

1

2-力AC—AD+DC—e>

⑵相N=MD+DA+AN=~^DC~ADA-^AB^一；@一a

+|e,=|el-ei.

方法總結(jié)

用已知向量表示其他向量的兩種方法

(1)直接法

(2)方程法

當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法

則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向

量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程.

知識(shí)探究(四)：平面向量共線基本定理

思考：通過(guò)練習(xí)，你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與向量的積與原向

量之間的位置關(guān)系嗎？

實(shí)數(shù)與向量的積與原向量共線

平面向量共線基本定理：

向量赤㈤與旗線的充要條件是：

存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)1,使

備注：根據(jù)這一定理，設(shè)非零向量蘇立于直線/上，那么對(duì)于直

線/上的任意一個(gè)向戴都存在唯一的一個(gè)媛入，使3=

也就是說(shuō)，位于同一跳上的向量可以由位于這條直線上

的一個(gè)非零向量表示。

例題講解

例3、如圖，已知任意兩個(gè)非零向量a,b,試作

OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b

你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎?并證明

你的猜想。

z\；%

AB=OB-OAAC^OC-OA

—a+2b—(a+A>)==a+3b—(a+b)=2b

不忑=2入月所以,A、B、C三點(diǎn)共線

例4：

—*-*___——?—*1—?R-?

己知a,碇兩個(gè)不共線的向量，向量力-/a,—〃——b

22

共線，求實(shí)黝的值。

解：由Z際共縹易知自等為非零向量血.流

旗線，可知存在實(shí)數(shù)N,使得入神嗚”利

即(，+；布=管+1)%際共線，必有畤=5=0

由3杯共線，必有f+L=L=o否則，不妨助十^4?！?/p>

222

_04+1_

貝！h=2~j—b

2

由兩個(gè)向量共線的充鰥件知2旗線，與已知矛盾

/+彳2=。［因此，當(dāng)向第一，。24一33

由2，解得22

33I

-A+l=()共線時(shí)，/

小試牛刀

判斷(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)實(shí)數(shù)人與向量a的積還是向量.(J)

(2)3a與a的方向相同，-3a與a的方向相反.(J)

(3)若ma=mb,則a=b.(X)

(4)向量共線定理中，條件aWO可以去掉.(義)

提升訓(xùn)練

1、化簡(jiǎn)學(xué)生和教師共通過(guò)這2個(gè)題，

(1)5(3a-26)+4(25-3a);同探究完成2鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，

(2)個(gè)練習(xí)題。發(fā)散學(xué)生思維，

(3)(x+y)a-(x-y)a培養(yǎng)學(xué)生思維的

111嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)數(shù)學(xué)

=a+h

(1)3a-2Z)(2)~~n3⑶=2ya

的探索精神。

2、設(shè)el,e2是兩個(gè)不共線向量，己知AB=2el+

ke2,CB=el+3e2,CD=2el-e2,若A,B,D

三點(diǎn)共線，求k的值.

解:：BD-=el-4e2,而A,B,D三點(diǎn)共線，

向量AB與向量BD共線，故存在實(shí)數(shù)入，使得向

量AB=XBD即2el+ke2=X(el-4e2),

得2=入，k=—4入，得k=—8為所求.

方法總結(jié)

向量共線定理的應(yīng)用

若辦=)且離〃所在的直線無(wú)公共點(diǎn)，

(1)Aa(a^6

則這兩條直線平行。

(2鹿=4赤㈤且西加f在的直線有公共點(diǎn),

則這兩條直線重合。

例如:凝=2元，則4五與通共線，又行與冠有

公共點(diǎn)A,從而A,8,C三點(diǎn)共線。這是證明三點(diǎn)

共線的重要方法。

課堂小結(jié)10.數(shù)乘運(yùn)算的定義學(xué)生回顧本節(jié)讓學(xué)生掌握本節(jié)

11.數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律

12.平面向量共線基本定理課知識(shí)點(diǎn)，教課知識(shí)點(diǎn)，并能

師補(bǔ)充。夠靈活運(yùn)用。

向量*6片旗線的充要條件是：

存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)1,使B=

13.定理的應(yīng)用

(1)向量共線(2)三點(diǎn)共線

(3)兩直線平行

板書(shū)§6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算

一、舊知導(dǎo)入2.運(yùn)算律三