新人教版高中數學必修第二冊全冊教案

6.1平面向量的概念教學設計

課題6.1平面向量的概念單元第六單元學科數學年級高一

教材本節(jié)內容是平面向量的概念，由物理中的路程和位移情境導入，學習平面向量的概念、

分析表示以及平面向量之間的關系這些知識點，為平面向量的運算做鋪墊。

1.數學抽象：利用位移和路程的相關情境將平面向量具體化；

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.

教學3.數學建模：掌握平面向量的相關知識，為空間向量的學習打好基礎的同時，也能學習利用

目標向量解決實際問題。

與核4.直觀想象：通過有向線段直觀判斷平面向量之間的關系；

心素5.數學運算:能夠正確判斷平面向量之間的關系；

養(yǎng)

6.數據分析:通過經歷提出問題一推導過程一得出結論一例題講解一練習鞏固的過程，讓學

生認識到數學知識的邏輯性和嚴密性。

重點平面向量的概念；平面向量的表示；平面向量之間的關系。

難點平面向量的表示；平面向量之間的關系。

教學過程

教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖

導入新課情境導入：學生思考問設置問題情境，

情境一：小船由A地航行15nmile到達B地。試題，引出本節(jié)激發(fā)學生學習興

問小船能到達B地嗎？

新課內容。

情境二：小船由A地向東南方向航行15nmile到趣，并引出本節(jié)

達B地。試問小船能到達B地嗎？新課。

問:位移和距離這兩個量有什么不同？

情境三：物體受到的重力是豎直向下的，物體的質

量越大，它受到的重力越大。

情境四：物體在液體中受到的浮力是豎直向上的，

物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大。

問:你能通過這些物理量得出向量的概念嗎？

講授新課知識探究（一）：向量的概念學生根據兩個利用兩個情境探

定義：既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量。把只有

大小沒有方向的量稱為數量，如年齡、身高、長度、情境，探究平究得出平面向量

面積、體積、質量等。面向量的概的概念，培養(yǎng)學

注：1.向量兩要素：大小，方向

2.向量與數量的區(qū)別：念。生探索的精神.

①數量只有大小，可以比較大小。

②向量有方向，大小雙重屬性，而方向是不能比較

大小的，因此向量不能比較大小。

知識鏈接：物理學中常稱向量為矢量，數量為標量。

你還能舉出物理學中的一些向量和數量嗎？

練習一：在質量、重力、速度、加速度、身高、面

積、體積這些量中，是數量

_______________是向量.

練習二：

1.身高是一個向量（）

2.溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量

（）

3.坐標平面上的x軸和y軸都是向量式）

知識探究（二）：向量的表示思考：對于一個實數,

可以用數軸上的點表示，而且不同的點表示不同的

數量。那么，該如何表示向量呢？通過思考，培養(yǎng)

思考：根據情景二，你發(fā)現位移是怎樣表示的？向

量怎樣表示？學生根據環(huán)環(huán)學生探索新知的

幾何表示法：相扣的思考精神和能力.

用有向線段表示向量，長度表示向量的大小，箭頭

所指的方向表示向量的方向。題，探究平面

有向線段三要素：起點、方向、長度。向量的表示。

間：有向線段是向量，向量就是有向線段。這種說

法對嗎？

思考：你能用表示線段的方法表示向量嗎？向量的

大小和方向怎樣表示？

字母表示法：大寫字母和小寫字母。

箭頭表示向量的方向，線段的長度表示大小。

知識探究（三）：向量的模和兩類特殊向量

-->

思考：AB有什么含義？

-->

向量的模：向量AR的大小稱為向量的長度（或

-->

稱為模），記作IABI.

兩類特殊向量：零向量和單位向量。

思考：1.6與o有區(qū)別嗎？為什么？

2.零向量和單位向量的方向呢？

3.平面直角坐標系內，起點在原點的單位向

量，它們的終點的軌跡是什么圖形？

判斷

1.向量的模是一個正實數。（）

2.若，則a>b。（）

注:向量不能比較大小

例1.如圖，分別用向量表示A

地至B、C兩地的位移，并根據圖A.

中的比例尺，求出A地至B,C兩晨

地的實際距離（精確到1km）

知識探究（四）：向量之間的關系

思考：觀察圖象，探究發(fā)現平行向量。學生根據動態(tài)利用數形結合的

平行向量：方向相同或相反的

叫做平行向量.記作ZUb.變化圖，觀察思想，化抽象為

共線向量：平行向量又稱為共線向量.探究的出向量具體，提高學生

思考：就是相同的向量嗎？之間的關系。的抽象能力和邏

由此得出相等向量和相反向量的定義。輯思維能力。

1,若非零向量AB//CD,那么AB//CD嗎？

2.若a//b，則a與b的方向一定相同或相反嗎？

3.相等向量一定是平行向量嗎？

平行向量一定是相等向量嗎？

例2已知0為正六邊形ABCDEF的中心,在圖中

所標出的向量中：

(1)寫出圖中的共線向量；

⑵分別寫出圖中與相等的向量；

「、A

利用例題引導例題的3問三種

DE學生掌握本節(jié)類型，加深學生

提升訓練課知識，并能對基礎知識理

1、回答下列問題：

(1)平行向量是否一定方向相同？夠靈活運用.解，并能夠靈活

(2)不相等的向量是否一定不平行？運用基礎知識解

(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？

決具體問題。

(4)與任意向量都平行的向量是什么向量？

(5)若兩個向量在同一直線上，則這兩個

向量一定是什么向量？(平行向量)

(6)兩個非零向量相等的當且僅當什么？

(7)共線向量一定在同一直線上嗎？

2、在圖中的4X5方格紙中有一個向量A8,分別

以圖中的格點為起點和終點作向量而，其中與

而相等的向量有多少個？與而長度相等的共線

學生和教師共通過這3個題，

向量有多少個(而除外)？

同探究完成3鞏固基礎知識，

3、D、E、F依次是等邊AABC的邊AB、BC、CA個練習題。發(fā)散學生思維，

的中點，在以A、B、C、D、E、F為起點或終點

的向量中，培養(yǎng)學生思維的

(1)找出與向量DE相等的向量；嚴謹性和對數學

(2)找出與向量DF共線的向量.

的探索精神。

課堂小結1.向量的概念學生回顧本節(jié)讓學生掌握本節(jié)

2.向量的表示

3.向量之間的關系課知識點，教課知識點，并能

師補充。夠靈活運用。

板書§6.1平面向量的概念

一、情境導入2.向量的表示三、課堂小結

二、探索新知3.向量之間的關系四、作業(yè)布置

1.向量概念例1、2、

教學反思

人教版本數學科目高一年級教學設計

課題6.2.1平面向量的加法運算單元第六單元學科數學年級高一

教材本節(jié)內容是平面向量的加法，由物理中的位移和力的合成導入，學習平面向量的加法法

分析則以及加法的運算律這些知識點，為平面向量的減法做鋪墊。

1.數學抽象：利用位移和力的合成將平面向量具體化；

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.

教學

.數學建模：掌握平面向量加法法則，利用向量的運算解決實際問題。

目標3

直觀想象：通過有向線段直觀判斷平面向量的加法運算：

與核4.

數學運算:能夠正確計算和判斷向量的加法運算；

心素5.

養(yǎng)6.數據分析:通過經歷提出問題一推導過程一得出結論一例題講解一練習鞏固的過程，讓學

生認識到數學知識的邏輯性和嚴密性。

重點平面向量的三角形法則、平行四邊形法則、運算律。

難點平面向量的三角形法則、平行四邊形法則、運算律。

教學過程

教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖

導入新課情境導入：學生思考問設置問題情境，

情景一：如圖，某人從A點走到B.然后從B點走題，引出本節(jié)激發(fā)學生學習興

到C.這個人所走過的位移是多少？

向量的加法的定義：求兩個向量和的運算叫做向量新課內容。趣，并引出本節(jié)

的加法新課。

情景二：如圖，在光滑的平面上，一個物體同時受

到兩個外力片與尸2的作用，你能作出這個物體

所受的合力F嗎？

講授新課知識探究（一）：向量加法的三角形法則學生根據兩個利用兩個情境探

向量加法的三角形法則

（“作平移,首尾連，由起點指終點”）情境，探究平究得出平面向量

位移的合成可以看作向量加法的三角形法則的物面向量的加法的加法法則，培

理模型。

向量加法的平行四邊形法則法則。養(yǎng)學生探索的精

（“作平移，共起點,四邊形，對角線”）神.

力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的

物理模型。

知識探究（二）：三角形法則與平行四邊形法則的

異同

思考1:向量加法的平行四邊形法則和三角形法則一

致嗎？為什么？

不一致。三角形法則通過平移首尾相接，平行四邊

形法則通過平移起點相同。

知識探究（二）：非零共線向量的和的計算

思考2：對于兩個非零共線向量，能否求出他們的

和向量？它們的加法與數的加法有什么關系？

兩個非零共線向量的和向量只需首尾相接

兩個非零共線向量的加法和數的加法運算法則是

一致的。

知識探究（二）：零向量與任一非零向量的和向量

計算

思考3：零向量與任一非零向量，能否求出他們的

和向量？

因為零向量的模為0,方向任意，根據合位移的計

算方法可得，零向量與任一非零向量的和等于該非

零向量。

知識探究（三）：n個向量加法的三角形法則

思考4：A8+6C+CE>=?n個向量的和向

量怎樣計算？

n個向量連加是將向量加法的三角形法則推廣為n

個向量相加的多邊形法則:由第一個向量的起點指

向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向

量的和.（注意:首尾相接）

例題講解（一）學生根據環(huán)環(huán)通過思考，培養(yǎng)

例1：如圖，已知向量a、b,求作向量a+b.

相扣的思考學生探索新知的

V,題，探究平面精神和能力.

向量的運算

￡\律。

作法1：三角形法則

一

0B=a+b

作法2：平行四邊形法則

八A

0c

BC

0C=a*+b>

知識探究（四）：向量和與向量的模的關系

思考：當向量石不共線時，和向量的長度

a學生例題，鞏利用數形結合的

1。+刈與向量。石的長度和1刈+⑻之間固向量的加法思想，化抽象為

的大小關系如何？法則以及運算具體，提高學生

律，并能夠靈的抽象能力和邏

活運用.輯思維能力。

\a+b\<\a\-v\b\

知識探究（五）：平面向量加法的運算律

思考1：數的加法滿足交換律、結合律，向量的加

法是否也滿足交換律和結合律？

—?—>—?—

向量的加法交換律a+b=b+a

向量的加法結合律（"+B）+c=a+（B+c）

例題講解：平面向量的加法運算

例2長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過進

行輪渡運輸。如圖所示，一艘船從長江南岸A地出通過這3個題，

發(fā)，垂直于對岸航行，航行速度的大小為15千米

每小時，同時江水的速度為向東6千米每小時。學生和教師共鞏固基礎知識，

（1）用向量表示江水速度、船速以及船實際航行同探究完成3發(fā)散學生思維，

的速度；

（2）求船實際航行的速度的大?。ńY果保留小數個練習題。培養(yǎng)學生思維的

點后一位）與方向（用與江水速度間的夾角表示，嚴謹性和對數學

精確到1度）。

的探索精神。

D1

A

AA口

解a）如右圖所示z裱示船速施表示江水速度

以AD,為鄰邊作平行四邊形ABCD

則就表示船實際航行的速度

（2建也AA5c中JAfil=6,BC=15

于用阿=，|向~+|西~=462+152=7261*16.2

BC|5

因為tanNC48==r=2

AB2

所以利用計算工具可彩C48*6&

因此，船實際航行速度大小約為6.2/根/爪

方向與江水速度間的蝴約為68

提升訓練

1、求下列向量的和

(l)AB+BC+CD=_______AD

(2)AB+CD+BC+DE=_______AE

(3)AB+BC+DE+EF+CD=_______而

3、如圖,。為正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心，

求出下列向量的和：

⑴西+砥=o出

⑵西+值…

⑶你+MA4

(4)A+AA+AA-16

⑸A3+44+34+44+4久

=_

(6)AA?+d2A3+A3A4+A4A+A,A=

—?

0

課堂小結4.向量的三角形法則學生回顧本節(jié)讓學生掌握本節(jié)

5.向量的平行四邊形法則

課知識點，教課知識點，并能

6.向量加法的運算律

師補充。夠靈活運用。

板書§6.2.1平面向量的加法運算

一、情境導入2.平行四邊形法則三、課堂小結

二、探索新知3.向量加法運算律四、作業(yè)布置

1.三角形法則例1、2、

教學反思

6.2.2向量的減法教學設計

課題6.2.2向量的減法單元第六單兀學科數學年級高一

教材本節(jié)內容是平面向量的減法，由數的減法運算導入，學習平面向量的減法法則以及減法

分析的幾何意義這些知識點，將數量與向量結合起來。

教學1.數學抽象：利用數量的減法運算抽象到平面向量的減法運算;

目標2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.

與核3.數學建模：掌握平面向量減法法則，利用向量的運算解決實際問題。

心素4.直觀想象：通過有向線段直觀判斷平面向量的減法運算；

養(yǎng)5.數學運算:能夠正確計算和判斷向量的減法運算；

6.數據分析:通過經歷提出問題一推導過程一得出結論一例題講解一練習鞏固的過程，讓學

生認識到數學知識的邏輯性和嚴密性。

重點相反向量，平面向量的減法及幾何意義

難點平面向量的減法及幾何意義

教學過程

教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖

導入新課舊知導入：學生思考問設置問題情境，

問題一：你還能回想起實數的相反數是怎樣定義的題，引出本節(jié)激發(fā)學生學習興

嗎？

實數a的相反數記作-a。新課內容。趣，并引出本節(jié)

問題二：什么是相反向量？新課。

把大小相等方向相反的兩個向量叫做相反向量。

6的相反向量仍是6。

問題三：兩個實數的減法運算可以看成加法運算

如設％,%+(-y)

講授新課新知探究：向量的減法運算定義學生根據環(huán)環(huán)利用問題探究得

問題四：你能根據實數的減法運算定義向量的減法

運算嗎？相扣的問題進出平面向量的減

由兩個向量和的定義已知行思考，探究法定義和法則，

a+-<)=-4)+6/—0

平面向量的減培養(yǎng)學生探索的

即任意向量與其相反向量的和是零向量。法定義和法精神.

這樣，如藏與5互為相反向量，

則。

那么a=-b,b=—a,a+b=0

浙五的相反向量，叫版垃的差即Z4=a+^b

求兩個向量差的運算叫做向量的減法。我們看

至1J,向量的減法可以轉化為向量的加法來進行：減

去一個向量相當于加上這個向量的相反向量。

即

a加上花勺相反向量，

叫做a與用差.即。-b=a+y-bj

新知探究(二)：向量減法的作圖方法

問題五：已知向量&與E,試作出a-b

B

力D4c

作法

（DigOA-a,OB=b,OD=-b

（2）連接AB,由向量減法的定義知

a-5=a+（-@=OA+OD=OC

（3兩為平行四邊形OCAB

所以麗=云=々-5

由此,我們得到a-b的作圖方法。

知識探究（三）：向量減法的幾何意義

問題六：根據問題五，思考一下向量減法的幾何意

義是什么？

/0A

~?0二

aa

由圖得:麗=1-3.

即Z-族可以表示為從謝終點指向海勺終點的向量

這就是向量減法的幾何意義。

a

二一a

a由圖得洲終點為A,版終點為B,

則加］終點到題終點的向量為而學生根據例利用數形結合的

由問題六可知J3A=a—

又因為麗=一瓦則成=一而-丹=屋￡題，鞏固向量思想，化抽象為

注意：（1）起點必須相同。（2）指向被減向量的終點。

的減法法則，具體，提高學生

問題七：非零共線向量怎樣做減法運算？

并能夠靈活運的抽象能力和邏

1.共線同向2.共線反向

?」—/;用.輯思維能力。

b----->

,力

ACBBAC

問題八：非零共線向量怎樣做減法運算？

1.共線同向

%

9b

a-b

ACB

2.共線反向

——b

%4

BAC

小試牛刀

判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)兩個向量的差仍是一個向量。(J)

⑵向量的減法實質上是向量的加法的逆運算.

(V)

(3)向量a與向量b的差與向量b與向量a的差互為

相反向量。(J)

(4)相反向量是共線向量。(V)

例題講解

例1、己知向量2員工，Z,求作向量c-da

作法：

在平面內任取一點0,作正從，而乩沅=&而=2

則BA=a—bDC=c—d

注意：起點相同，連接終點，指向被減向量的終點。

?—?'*—

例2、已知平行四邊形ABCD，AB=a,AD=b,

用分別表示向量記而>

D

AB

解：連接AC,￡>8,由求向量和

的平行四邊形法則，

^AC=AB+AD=a+h

依減法定義得麗=荏-茄=萬_3

例3、如圖，O為AABC的外心，H為垂心.求證：

OH=OA+OB+OC

3

證明：作直徑BD,連接DA,DC,

則有°B--OD

又因為DAJ_AB,DC1BC,AH1BC,CH±AB,

所以CH//DA,AH//DC.

所以四邊形AHCD是平行四邊形，

r____>

所以AH=DC

,,.,,

又DC=OC—OD—OC+OB所以

...

OH^OA+AH

>.

=OA+DC學生和教師共通過這3個題，

^OA+OB+OC同探究完成3鞏固基礎知識，

提升訓練

個練習題。發(fā)散學生思維，

1、求下列向量的差

(1)AB-AD=(2)BA-BC=培養(yǎng)學生思維的

(3)BC-BA^(4)OD-OA^嚴謹性和對數學

(5)OA-OB=(6)AO-BO=

的探索精神。

(1)DB(2)CA⑶AC

(4)4。(5)A8(6)BA

2、根據右圖，回答下列問題：

A-B

a

—?—?

(i)當滿足什么條件時，6與"b

垂直？1。1=151

———f-

Aa+b=a-h

(2)當n如“滿足什么條件時，？

?和I互相垂直

—?—?—?—?

(3)6與"一方可能是相等向量嗎？

不可能.因為平行四邊形的兩條對角線方向不同.

練習、如圖，已知向量福=萬，而=5,ZDAB=120",

且團=|二|=3,求|1+5|和|1-5|

C

解：以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,

由于5H通1=3,故此四邊形為菱形

由向量的加減法知

AC=a+b,DB=a-b

故|京|=]9+61,|麗|=|五一61

因為NZMB=120",所以NOAC=600

所以AAOC是正三角形，則|公|=3

由于菱形對角線互相垂直平分,所以AAOD是直角三角形，

|而|=|砌sin60"=3x3=空

22

課堂小結7.相反向量學生回顧本節(jié)讓學生掌握本節(jié)

8.向量的減法定義

課知識點，教課知識點，并能

9.向量減法的幾何意義

師補充。夠靈活運用。

板書§6.2.2平面向量的減法運算

一、情境導入2.減法作圖三、課堂小結

二、探索新知3.減法幾何意義四、作業(yè)布置

1.減法定義例1、2、3

教學反思

6.2.3向量的數乘運算教學設計

課題6.2.3向量的數乘運算單元第六單元學科數學年級高一

教材本節(jié)內容是平面向量的數乘運算，由向量加法導入，學習平面向量的數乘運算以及運算

分析律這些知識點，同時根據數乘運算探究得到平面向量共線基本定理。

1.數學抽象：利用有向線段將平面向量的數乘運算具體化；

教學

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.

目標

3.數學建模：掌握平面向量數乘運算，利用向量的運算解決實際問題。

與核

4.直觀想象：通過有向線段直觀判斷平面向量的數乘運算；

心素

5.數學運算:能夠正確計算和判斷向量的數乘運算；

養(yǎng)

6.數據分析:通過經歷提出問題一推導過程一得出結論一例題講解一練習鞏固的過程，讓學

生認識到數學知識的邏輯性和嚴密性。

重點平面向量數乘運算、運算律以及平面向量共線基本定理。

難點平面向量數乘運算、運算律以及平面向量共線基本定理。

教學過程

教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖

導入新課舊知導入：學生思考問設置問題情境，

思考1：如圖，已知向量a、b,求作向量a+b.題，引出本節(jié)激發(fā)學生學習興

新課內容。趣，并引出本節(jié)

r\新課。

思考2：

已知非零1可量。，作出:a+a+。和(―a)+(―a)+(—a).

思考3：

a+a+a和(一〃)+(-a)+(-a)與a有什么關系？

講授新課知識探究（-）:數乘運算的定義學生根據一連利用兩個情境探

規(guī)定：實數X與向量a的積是一個向量，這種運算叫

串的思考題，究得出平面向量

做向量的數乘運算.記作而

探究平面向量的數乘運算，培

它的長度和方向規(guī)定如下：

的數乘運算。養(yǎng)學生探索的精

（中4=1眼

神.

⑵當寸，4曲方向場的方向相同；

當;1<0時，幾通方向與通方向相反。

當;1=0時-，AZ=6,方向任意。

知識探究（二）：數乘運算的幾何意義

思考4：你能說明加的幾何意義嗎？

數乘向量的幾何意義就是把向量。沿3的方向或反方

向放大或蹣.

若2R6,當八時，沿“的方向放大了A倍.當。。（1時，

沿2的方向縮短了力倍.,,

當小時，沿a的反方向放大了風倍.當-K4甌

沿a的反方向縮短了囚倍.

由其幾何意義可以看出用數乘向量能解決幾何中的相似問

題.

學生根據環(huán)環(huán)通過思考，培養(yǎng)

知識探究（三）：數乘運算的運算律

相扣的思考學生探索新知的

思考5：如果把非零向量。的長度伸長到原來的

題，探究平面精神和能力.

3.5倍，方向不變得到向量人，向量人該如何表向量的數乘運

示？向量a,Z之間的關系怎樣？算運算律。

由已知得了=3.5々器曲方向相同，岡=3.5口

思考6：如果把思考4中h的長度再伸長到原來的

2倍，方向不變得到向量C,向量°該如何表示？

向量a,C之間的關系怎樣？

由已知得:c—2/?,又因為B=3.5a,可得c=7a

根據向量數乘運算的定義可得：

Z的方向與血方向相同,F=7p

數乘運算的運算律

=（即）aQX%+]LL）a=Xa+fia

+b^=Aa+Ab

特別地：

(―X)a=ajA.{ci—hj=Aa—A.b

思考7：向量的加法、減法、數乘運算有什么共同

點？

向量的加法、減法、數乘運算的結果仍是向量。

向量的加、減、數乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。

例題講解

(1)(—3)xAct(2獨卜+Z?)—2b-Z?)—ci

學生例題，鞏利用數形結合的

(3)(2々+3b-c)-(3l-2b+c]

固向量的數乘思想，化抽象為

運算以及運算具體，提高學生

解：(1)原式=(-3X4M——12a

—?律，并能夠靈的抽象能力和邏

⑵原式=3Z+3^-2Z+公-Z=5b

活運用.輯思維能力。

(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c

=-a+5b-2c

例2：如圖

平行四邊形485勺兩條對角線相交于點W,且耗="

而二元用[B表示荻MB,證和通

D,C

一

A3B

解：在平行四邊形A3C0中，

AC=AB+AD^a+h

DB=AB—AD=a-b

由平行四邊形的兩條對角線互相平分，得

*1—?1/-*1-?

MA=——AC=——\a+b]=——a——b

22V722

.1.](——?\11]-*

MB=——DB=-\a-b]=-a——b

22V722

,1?1-1-

MC=-AC=-a+-b

222

—■1—*1-*1~

MD=——DB=——a+-b

222

小試牛刀

,用5表示下列各題中的反

1、

⑴a=3e,b=6e;b=2a

(f—f-7—

(2)a=Se,b=-14e;b=~4a

-*2■*7]_

(3)。=——e,b——e\b=——a

332

/八一3一彳2-_8-*

(4)。=--二e,b=—二e;b=-a

439

2、如圖，四邊形/及力是一個梯形，AB//CD^\AB\

—?-?

=2\CD\,M,N分別是〃C,的中點，已知

~?-?

49=食，試用6i,。表示下列向量.⑴40=

―?

;⑵協(xié)三.

(1)因為川?〃切，|/8|=2|切|,所以4B=2OC,DC=

1

2-力AC—AD+DC—e>

⑵相N=MD+DA+AN=~^DC~ADA-^AB^一；@一a

+|e,=|el-ei.

方法總結

用已知向量表示其他向量的兩種方法

(1)直接法

(2)方程法

當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法

則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向

量的等量關系，然后解關于所求向量的方程.

知識探究(四)：平面向量共線基本定理

思考：通過練習，你能發(fā)現實數與向量的積與原向

量之間的位置關系嗎？

實數與向量的積與原向量共線

平面向量共線基本定理：

向量赤㈤與旗線的充要條件是：

存在唯一一個實數1,使

備注：根據這一定理，設非零向量蘇立于直線/上，那么對于直

線/上的任意一個向戴都存在唯一的一個媛入，使3=

也就是說，位于同一跳上的向量可以由位于這條直線上

的一個非零向量表示。

例題講解

例3、如圖，已知任意兩個非零向量a,b,試作

OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b

你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎?并證明

你的猜想。

z\；%

AB=OB-OAAC^OC-OA

—a+2b—(a+A>)==a+3b—(a+b)=2b

不忑=2入月所以,A、B、C三點共線

例4：

—*-*___——?—*1—?R-?

己知a,碇兩個不共線的向量，向量力-/a,—〃——b

22

共線，求實黝的值。

解：由Z際共縹易知自等為非零向量血.流

旗線，可知存在實數N,使得入神嗚”利

即(，+；布=管+1)%際共線，必有畤=5=0

由3杯共線，必有f+L=L=o否則，不妨助十^4?！?/p>

222

_04+1_

貝！h=2~j—b

2

由兩個向量共線的充鰥件知2旗線，與已知矛盾

/+彳2=。［因此，當向第一，。24一33

由2，解得22

33I

-A+l=()共線時，/

小試牛刀

判斷(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)實數人與向量a的積還是向量.(J)

(2)3a與a的方向相同，-3a與a的方向相反.(J)

(3)若ma=mb,則a=b.(X)

(4)向量共線定理中，條件aWO可以去掉.(義)

提升訓練

1、化簡學生和教師共通過這2個題，

(1)5(3a-26)+4(25-3a);同探究完成2鞏固基礎知識，

(2)個練習題。發(fā)散學生思維，

(3)(x+y)a-(x-y)a培養(yǎng)學生思維的

111嚴謹性和對數學

=a+h

(1)3a-2Z)(2)~~n3⑶=2ya

的探索精神。

2、設el,e2是兩個不共線向量，己知AB=2el+

ke2,CB=el+3e2,CD=2el-e2,若A,B,D

三點共線，求k的值.

解:：BD-=el-4e2,而A,B,D三點共線，

向量AB與向量BD共線，故存在實數入，使得向

量AB=XBD即2el+ke2=X(el-4e2),

得2=入，k=—4入，得k=—8為所求.

方法總結

向量共線定理的應用

若辦=)且離〃所在的直線無公共點，

(1)Aa(a^6

則這兩條直線平行。

(2鹿=4赤㈤且西加f在的直線有公共點,

則這兩條直線重合。

例如:凝=2元，則4五與通共線，又行與冠有

公共點A,從而A,8,C三點共線。這是證明三點

共線的重要方法。

課堂小結10.數乘運算的定義學生回顧本節(jié)讓學生掌握本節(jié)

11.數乘運算的運算律

12.平面向量共線基本定理課知識點，教課知識點，并能

師補充。夠靈活運用。

向量*6片旗線的充要條件是：

存在唯一一個實數1,使B=

13.定理的應用

(1)向量共線(2)三點共線

(3)兩直線平行

板書§6.2.3向量的數乘運算

一、舊知導入2.運算律三