江西省南昌市第一中學(xué)2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題含解析

江西省南昌市第一中學(xué)2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間直角坐標(biāo)系中，，，若∥，則x的值為（）A.3 B.6C.5 D.42．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的極大值為，無極小值 B.函數(shù)的極小值為，無極大值C.函數(shù)的極大值為0，無極小值 D.函數(shù)的極小值為0，無極大值3．直線被橢圓截得的弦長是A. B.C. D.4．如圖，把橢圓的長軸分成6等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，則（）A.20 B.C.36 D.305．從編號分別為,,,,的五個大小完全相同的小球中,隨機取出三個小球,則恰有兩個小球編號相鄰的概率為()A. B.C. D.6．若、、為空間三個單位向量，，且與、所成的角均為，則（）A.5 B.C. D.7．已知點，分別在雙曲線的左右兩支上，且關(guān)于原點對稱，的左焦點為，直線與的左支相交于另一點，若，且，則的離心率為（）A B.C. D.8．過點的直線與圓相切，則直線的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或9．已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點，交橢圓于A，B兩點，則弦AB的長為（）A. B.C. D.10．已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項和為，則的最大值為（）A.66 B.72C.132 D.19811．已知圓的方程為，圓的方程為，其中．那么這兩個圓的位置關(guān)系不可能為（）A.外離 B.外切C.內(nèi)含 D.內(nèi)切12．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列都是等差數(shù)列，公差分別為，數(shù)列滿足，則數(shù)列的公差為__________14．若與直線垂直，那么__________15．已知函數(shù)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)且為定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，請寫出一個滿足條件的函數(shù)的解析式___________16．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在手機、軍工、航天等多個領(lǐng)域，是能夠影響一個國家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場調(diào)研與統(tǒng)計，某公司七年時間里在芯片技術(shù)上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）根據(jù)折線圖的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到整數(shù)部分);（2）為鼓勵科技創(chuàng)新,當(dāng)研發(fā)技術(shù)投入不少于16億元時,國家給予公司補貼5億元,預(yù)測當(dāng)芯片的研發(fā)投入為17億元時公司的實際收益附:其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為,．參考數(shù)據(jù),18．（12分）如圖，正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別是上的點，且.（1）求與平面所成角的正切值；（2）求證：.19．（12分）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值20．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和21．（12分）等差數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若滿足數(shù)列為遞增數(shù)列，求數(shù)列前項和22．（10分）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時，證明，，；（2）若函數(shù)在上存在極值點，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】依題意可得，即可得到方程組，解得即可；【題目詳解】解：依題意，即，所以，解得故選：D2、A【解題分析】利用導(dǎo)數(shù)來求得的極值.【題目詳解】的定義域為，，在遞增；在遞減，所以的極大值為，沒有極小值.故選：A3、A【解題分析】直線y＝x+1代入，得出關(guān)于x的二次方程，求出交點坐標(biāo)，即可求出弦長【題目詳解】將直線y＝x+1代入，可得，即5x2+8x﹣4＝0，∴x1＝﹣2，x2，∴y1＝﹣1，y2，∴直線y＝x+1被橢圓x2+4y2＝8截得的弦長為故選A【題目點撥】本題查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長的計算，屬于基礎(chǔ)題4、D【解題分析】由橢圓的對稱性可知，，代入計算可得答案.【題目詳解】設(shè)橢圓左焦點為，連接由橢圓的對稱性可知，，所以.故選：D.5、C【解題分析】利用古典概型計算公式計算即可【題目詳解】從編號分別為,,,,的五個大小完全相同的小球中,隨機取出三個小球共有種不同的取法,恰好有兩個小球編號相鄰的有:,共有6種所以概率為故選:C6、C【解題分析】先求的平方后再求解即可.【題目詳解】，故，故選：C7、D【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義及，，應(yīng)用勾股定理，可得關(guān)系，即可求解.【題目詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，連接,,,如圖：根據(jù)雙曲線的對稱性及可知，四邊形為矩形.設(shè)因為，所以，又，所以，,在和中，，①，②由②化簡可得，③把③代入①可得：，所以，故選：D【題目點撥】本題主要考查了雙曲線的定義，雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，勾股定理，屬于難題.8、D【解題分析】根據(jù)斜率存在和不存在分類討論，斜率存在時設(shè)直線方程，由圓心到直線距離等于半徑求解【題目詳解】圓心為，半徑為2，斜率不存在時，直線滿足題意，斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，由，得，直線方程為，即故選：D9、C【解題分析】根據(jù)題意求得直線l的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.【題目詳解】由橢圓知，，所以，所以右焦點坐標(biāo)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長為.故選：C.10、A【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的公差，求得其通項公式求解.【題目詳解】因為等差數(shù)列的公差,所以，則，所以，由，得，所以或12時，該數(shù)列的前項和取得最大值，最大值為，故選：A11、C【解題分析】求出圓心距的取值范圍，然后利用圓心距與半徑的和差關(guān)系判斷.【題目詳解】由兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，，；則，所以兩圓不可能內(nèi)含.故選：C.12、A【解題分析】兩直線垂直，斜率之積為，曲線與直線相切，聯(lián)立方程令.【題目詳解】法一：直線，所以，所以切線的，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程，所以，令，解得，所以切線方程為.法二：直線，所以，所以切線的，，所以令，所以，帶入曲線方程得切點坐標(biāo)為，所以切線方程為，化簡得.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解題分析】利用等差數(shù)列的定義即得.【題目詳解】∵數(shù)列都是等差數(shù)列，公差分別為，數(shù)列滿足，∴.故答案為：.14、【解題分析】由兩條直線垂直知，得15、（答案不唯一）【解題分析】由題意可得0，結(jié)合在定義域上為減函數(shù)可取.【題目詳解】因為在定義域為單調(diào)增函數(shù)所以在定義域上0，又因為在定義域上為減函數(shù)，且大于等于0.所以可取()，()，滿足條件所以可為().故答案為：（答案不唯一）.16、3【解題分析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項和公式能求出結(jié)果詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.點睛：本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）85億元【解題分析】(1)利用公式和數(shù)據(jù)計算即可(2)代入回歸直線計算即可【小問1詳解】由折線圖中數(shù)據(jù)知,,,因為,所以所以y關(guān)于x的線性回歸方程為【小問2詳解】當(dāng)時,億元,此時公司的實際收益的預(yù)測值為億元18、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】(1)在正方體中，平面，連接，則為與平面所成的角，在直角三角形，求出即可；(2)∵是正方體，又是空間垂直問題，∴易采用向量法，∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，欲證，只須證，再用向量數(shù)量積公式求解即可.【小問1詳解】在正方體中，平面，連接，則為與平面所成的角，又，，，∴；【小問2詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，直線、、分別軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則∴，，∴，∴.19、，【解題分析】先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，比較極值和端點值,即可得到最大值和最小值.【題目詳解】解：依題意，，令，得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以，20、（1）（2）【解題分析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項為a1，根據(jù)已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項公式即可得答案；（2）根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項和公式，利用分組求和法即可求解【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項為a1，由題意，有，解得，所以；【小問2詳解】解：，所以21、（1）或（2）【解題分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式，可構(gòu)造方程組求得，由此可得通項公式；（2）由（1）可得，利用分組求和法，結(jié)合等差等比求和公式可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：或，當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上，或【小問2詳解】由（1）當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列，則，設(shè)，.22、（1）證明見解析：（2）【解題分析】(1)代入,求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性,再的最小值即可證明.(2),若函數(shù)在上存在兩個極值點,則在上有根.再分,與,利用函數(shù)的零點存在定理討論導(dǎo)函數(shù)的零點即可.【題目詳解】(1)證明：當(dāng)時,,則,當(dāng)時,,則,又因為,所以當(dāng)時,,僅時,