2024屆甘肅省夏河縣夏河中學高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆甘肅省夏河縣夏河中學高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，且，則實數(shù)等于（）A1 B.2C. D.2．命題“”的一個充要條件是（）A. B.C. D.3．某超市收銀臺排隊等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率如下：排隊人數(shù)01234概率0.10.16030.30.10.04則至少有兩人排隊的概率為（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.744．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A. B.C. D.5．積分（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A.， B.C.， D.7．如圖所示，在中，，，，AD為BC邊上的高，；若，則的值為（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，，當時，有成立，則不等式的解集是（）A. B.C. D.9．校慶當天，學校需要在靠墻的位置用圍欄圍起一個面積為200平方米的矩形場地.用來展示校友的書畫作品.靠墻一側(cè)不需要圍欄，則圍欄總長最小需要（）米A.20 B.40C. D.10．若展開式的二項式系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項為（）A. B.C. D.11．已知圓上有三個點到直線的距離等于1，則的值為（）A. B.C. D.112．設(shè)，直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項和.則數(shù)列的通項公式為_______.14．為和的等差中項，則_____________.15．已知A，B為x，y正半軸上的動點，且，O為坐標原點，現(xiàn)以為邊長在第一象限做正方形，則的最大值為___________.16．如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，分別為的中點，連接，則點到平面的距離為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，（1）求的最大值；（2）求證：對于任意x∈(1,7),e1-x+18．（12分）已知為坐標原點，橢圓：的左、右焦點分別為，，右頂點為，上頂點為，若，，成等比數(shù)列，橢圓上的點到焦點的距離的最大值為求橢圓的標準方程；過該橢圓的右焦點作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍19．（12分）如圖，在三棱錐中，，，記二面角的平面角為（1）若，，求三棱錐的體積；（2）若M為BC的中點，求直線AD與EM所成角的取值范圍20．（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且的面積為（為坐標原點）（1）求拋物線的標準方程；（2）點、是拋物線上異于原點的兩點，直線、的斜率分別為、，若，求證：直線恒過定點21．（12分）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）已知點，直線l與曲線C交于A，B兩點，且，直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點，點在棱上，且，，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求平面與平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】利用空間向量垂直的坐標表示計算即可得解【題目詳解】因向量，，且，則，解得，所以實數(shù)等于.故選：C2、D【解題分析】結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義判斷.【題目詳解】A.當時，滿足，推不出，故不充分；B.當時，滿足，推不出，故不充分；C.當時，推不出，故不必要；D.因為，故充要，故選：D3、D【解題分析】利用互斥事件概率計算公式直接求解【題目詳解】由某超市收銀臺排隊等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率表，得：至少有兩人排隊的概率為：故選：D【題目點撥】本題考查概率的求法、互斥事件概率計算公式，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題4、B【解題分析】根據(jù)已知條件求得以及，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【題目詳解】因為，故可得，則，又，令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上的最小值為.故選：.5、B【解題分析】根據(jù)定積分的幾何意義求值即可.【題目詳解】由題設(shè)，定積分表示圓在x軸的上半部分，所以.故選：B6、D【解題分析】由等差數(shù)列通項公式得，再結(jié)合題意得數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意：數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，所以，由于數(shù)列滿足，所以對任意的都成立，故數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，所以，解得故選：7、B【解題分析】根據(jù)題意求得，化簡得到，結(jié)合，求得的值，即可求解.【題目詳解】在中，，，，AD為BC邊上的高，可得，由又因為，所以，所以.故選：B.8、A【解題分析】構(gòu)造函數(shù)，分析該函數(shù)的定義域與奇偶性，利用導數(shù)分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，從而可知該函數(shù)在上為減函數(shù)，綜合可得出原不等式的解集.【題目詳解】令，則函數(shù)的定義域為，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，當時，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，由等價于或：當時，由可得；當時，由可得.綜上所述，不等式的解集為.故選：A.9、B【解題分析】在出矩形中，設(shè)，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解【題目詳解】如圖所示，在矩形中，設(shè)，則，根據(jù)題意，可得矩形圍欄總長為因為，可得，當且僅當時，即時，等號成立，即圍欄總長最小需要米.故選：B.10、C【解題分析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得的值，再利用二項式展開式的通項公式，求得結(jié)果即可.【題目詳解】解：因為展開式的二項式系數(shù)之和為，則，所以，令，求得，所以展開式的常數(shù)項為.故選：C.11、A【解題分析】求出圓心和半徑，由題意可得圓心到直線的距離，列方程即可求得的值.【題目詳解】由圓可得圓心，半徑，因為圓上有三個點到直線的距離等于1，所以圓心到直線的距離，可得：，故選：A.12、A【解題分析】由可求得實數(shù)的值，再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【題目詳解】若，則，解得或，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)公式求解即可.【題目詳解】解：當時，當時，因為也適合此等式，所以.故答案為：14、【解題分析】利用等差中項的定義可求得結(jié)果.【題目詳解】由等差中項的定義可得.故答案為：.15、32【解題分析】建立平面直角坐標系，設(shè)出角度和邊長，表達出點坐標，進而表達出，利用三角函數(shù)換元，求出最大值.【題目詳解】如圖，過點D作DE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，設(shè)，（），則由三角形全等可知，設(shè)，，則，則，，則，令，，則，當時，取得最大值，最大值為32故答案為：3216、【解題分析】利用轉(zhuǎn)化法，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積等積性進行求解即可.【題目詳解】設(shè)是的中點，連接，因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因此點到平面的距離等于點到平面的距離，設(shè)為，因為平面，所以，，于是有，底面為矩形，所以有，，因為平面，所以，于是有：，由余弦定理可知：cos∠PEC=所以，因此，，因為，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解題分析】（1）求出，討論其導數(shù)后可得原函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最大值.（2）先證明任意的，總有，再利用放縮法和換元法將不等式成立問題轉(zhuǎn)化為任意恒成立，后者可利用導數(shù)證明.【小問1詳解】，當時，；當時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故.【小問2詳解】因為，故當時，，即，而在為減函數(shù)，故在上有，故任意的，總有.要證任意恒成立，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，由（1）可得，任意，有即，故即證：任意恒成立，設(shè)，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，設(shè)，則，而在為增函數(shù)，，故存在，使得，且時，，時，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故任意，總有，故任意恒成立，所以任意恒成立.【題目點撥】思路點睛：不等式的恒成立，可結(jié)合不等式的形式將其轉(zhuǎn)化為若干段上的不等式的恒成立，在每段上可采用不同的方式（導數(shù)、放縮法等）進行處理.18、（1）（2）【解題分析】根據(jù)，，成等比數(shù)列，橢圓上的點到焦點的距離的最大值為．列出關(guān)于、、的方程組，求出、的值，即可得出橢圓的方程；對直線和分兩種情況討論：一種是兩條直線與坐標軸垂直，可求出兩條弦長度之和；二是當兩條直線斜率都存在時，設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可計算出的長度的表達式，然后利用相應(yīng)的代換可求出的長度表達式，將兩線段長度表達式相加，利用函數(shù)思想可求出兩條弦長的取值范圍最后將兩種情況的取值范圍進行合并即可得出答案【題目詳解】易知，得，則，而，又，得，，因此，橢圓C的標準方程為；當兩條直線中有一條斜率為0時，另一條直線的斜率不存在，由題意易得；當兩條直線斜率都存在且不為0時，由知，設(shè)、，直線MN的方程為，則直線PQ的方程為，將直線方程代入橢圓方程并整理得：，顯然，，，，同理得，所以，，令，則，，設(shè)，，所以，，所以，，則綜合可知，的取值范圍是【題目點撥】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求范圍，屬于難題.解決圓錐曲線中的范圍問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.19、（1）（2）【解題分析】（1）作出輔助線，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出，求出底面積和高，進而求出三棱錐的體積；（2）利用空間基底表達出，結(jié)合第一問結(jié)論求出，從而求出答案.【小問1詳解】取AC的中點F，連接FD，F(xiàn)E，由BC=2，則，故DF⊥AC，EF⊥AC，故∠DFE即為二面角的平面角，即，連接DE，作DH⊥FE，因為，所以平面DEF，因為DH平面DEF，所以AC⊥DH，因為，所以DH⊥平面ABC，因為，由勾股定理得：，，又，由勾股定理逆定理可知，AE⊥CE，且∠BAC=，，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），則，因為，，所以△DEF為等邊三角形，則，故三棱錐的體積；【小問2詳解】設(shè)，則，，由（1）知：，，取為空間中的一組基底，則，由第一問可知：，則其中，且，，故，由第一問可知，又是的中點，所以，所以，因為三棱錐中，所以，所以，故直線AD與EM所成角范圍為.【題目點撥】針對于立體幾何中角度范圍的題目，可以建立空間直角坐標系來進行求解，若不容易建立坐標系時，也可以通過基底表達出各個向量，進而求出答案.20、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】（1）由點在拋物線上可得出，再利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的等式，解出正數(shù)的值，即可得出拋物線的標準方程；（2）設(shè)點、，利用斜率公式結(jié)合已知條件可得出的值，分析可知直線不與軸垂直，可設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：拋物線的焦點為，由已知可得，則，，，解得，因此，拋物線的方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)點、，則，可得.若直線軸，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，可得，此時，合乎題意.所以，直線的方程為，故直線恒過定點.21、（1），；（2）過，.【解題分析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解判斷即可.【小問1詳解】設(shè)圓E的圓心為，半徑為r，則，，所以由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M，N為焦點、實軸長為6的雙曲線的右支，所以動圓的圓心E的軌跡方程為，；【小問2詳解】設(shè)，，直線l的方程為由得，且，故又，所以又，，所以，即．又故或若，則直線l的方程為，過點，與題意矛盾，所以，故，所以直線l的方程為，過點【題目點撥】關(guān)鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.22、（1）見解析（2）見解析（3）【解題分析】（1）利用勾股定理證得，證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證得，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）取的中點，連接，可得為的中點，證明，四邊形是平行四邊形，可得，再