初中數(shù)學滬科版九年級下冊第24章圓2三角形的內(nèi)切圓【省一等獎】

24.5三角形的內(nèi)切圓24.5三角形的內(nèi)切圓情景導入

小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？24.5三角形的內(nèi)切圓

若要使裁下的圓形最大，則它與三角形三邊應有怎樣的位置關(guān)系？

最大的圓與三角形三邊都相切24.5三角形的內(nèi)切圓ABCM已知：△ABC（如圖）求作：和△ABC的各邊都相切的圓作法：1.作∠ABC、∠ACB的平分線BM和CN，交點為I.NID1.作圓，使它和已知三角形的各邊都相切2.過點I作ID⊥BC，垂足為D.3.以I為圓心，ID為半徑作⊙I.⊙I就是所求的圓.合作探究：24.5三角形的內(nèi)切圓畫角平分線→定內(nèi)心→畫垂線→定半徑→畫圓→結(jié)論三角形內(nèi)心的性質(zhì)：（1）三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等；（2）三角形的內(nèi)心在三角形的三內(nèi)角角平分線上；CAB．I畫三角形的內(nèi)切圓:和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形.合作探究：定義:和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，

內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形.24.5三角形的內(nèi)切圓1.如圖1,△ABC是⊙O的

三角形?！袿是△ABC的

圓,點O叫△ABC

的

,它是三角形的

的交點。外接內(nèi)接外心三邊中垂線2.如圖2,△DEF是⊙I的

三角形,⊙I是△DEF的

圓,

點I是△DEF的

心,它是三角形

的交點。ABCO．圖1IDEF．圖2外切內(nèi)切內(nèi)三個角平分線DEFG.O3.如上圖，四邊形DEFG是⊙O的

四邊形，⊙O是四邊形

DEFG的

圓.內(nèi)切外切合作探究：24.5三角形的內(nèi)切圓7．o外接圓圓心:三角形三邊垂直平分線的交點.外接圓的半徑:交點到三角形任意一個頂點的距離。三角形外接圓三角形內(nèi)切圓．o內(nèi)切圓圓心:三角形三個內(nèi)角平分線的交點。內(nèi)切圓的半徑:交點到三角形任意一邊的垂直距離。AABBCC合作探究:24.5三角形的內(nèi)切圓名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三邊垂直平分線的交點1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內(nèi)部．三角形三條角平分線的交點1.OD=OE=OF2.AO、BO、CO分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部．●OABCCOABFED24.5三角形的內(nèi)切圓1.三角形的內(nèi)心到三角形各個頂點的距離相等（）2.三角形的外心到三角形各邊的距離相等（）3.等邊三角形的內(nèi)心和外心重合；（）4.三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部（）5.菱形一定有內(nèi)切圓（）6.矩形一定有內(nèi)切圓（）錯錯對對

錯

對一、判斷題：合作探究：

二、填空：ABCI．．O

如圖,△ABC的頂點在⊙O上,△ABC的各邊與⊙I都相切,則△ABC是⊙I的

三角形;△ABC是⊙O的

三角形;⊙I叫△ABC的

圓;⊙O叫△ABC的

圓,點I是△ABC的

心,點O是△ABC的

心.外切內(nèi)接內(nèi)切外接內(nèi)外24.5三角形的內(nèi)切圓例題講解例1如圖,在△ABC

中，∠B=43°，∠C=61°，點I是△ABC的內(nèi)心，求∠BIC的度數(shù).解：連接IB，IC.因為點I是△ABC的內(nèi)心，所以IB，IC分別是∠B、∠C的平分線.在△IBC中，有∠BIC=

180°－(∠IBC+∠ICB)=

180°－(∠B+∠C)=180°－(43°+61°)=128°ABCI若I是△ABC的內(nèi)心，則有

∠BIC＝90°＋∠A.24.5三角形的內(nèi)切圓例2、已知：△ABC是⊙O外切三角形，切點為D，E，F(xiàn)。若BC＝14cm，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。ABCDEFxxyyOzz解:設AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm則AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依題意得方程組x+y=13y+z=14x+z=9解得:Z=5X+y+z=18x+y=1324.5三角形的內(nèi)切圓例3

如圖所示，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求⊙O的半徑r.思路：連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，利用S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC求解．還可以發(fā)現(xiàn)四邊形OECD為正方形，則可利用切線長定理，用含r的代數(shù)式表示

AB的長，再求解．24.5三角形的內(nèi)切圓解：方法一：如圖，連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，則OD＝OE＝OF＝r，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.在Rt△ABC中，AB＝∵S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC，∴∴r＝24.5三角形的內(nèi)切圓方法二：如圖，連接OD，OE，則OE⊥AC，OD⊥BC，又∵EC⊥CD，且OE＝OD＝r，∴四邊形OECD是正方形．∴EC＝CD＝r.∴AB＝AF＋BF＝AE＋BD

＝(AC－EC)＋(BC－CD)

＝3－r＋4－r＝7－2r.又易知AB＝∴7－2r＝5，即r＝1.24.5三角形的內(nèi)切圓拓展：(1)若三角形的面積為S，周長為l，內(nèi)切圓半徑為r，

則S＝lr.(2)直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝(直角邊長a＋直角邊長b－斜邊長c)．24.5三角形的內(nèi)切圓隨堂演練1.如△ABC的內(nèi)切圓⊙O和各邊分別相切于D，E，F(xiàn)，則O是△DEF的(

)A．三條中線的交點B．三條高的交點C．三條角平分線的交點D．三條邊的垂直平分線的交點D24.5三角形的內(nèi)切圓A2.如圖，⊙O與△ABC的三條邊所得的弦長相等，則下列說法正確的是（）A．點O是△ABC的內(nèi)心B．點O是△ABC的外心

C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形

24.5三角形的內(nèi)切圓3.如圖,在△ABC中,內(nèi)切圓I與邊BC,CA,AB分別相切于點D,E,F,若∠A=70°,則∠EDF=

°.5524.5三角形的內(nèi)切圓4.如圖，直角三角形的兩直角邊BC=5cm,AC=12cm則其內(nèi)切圓的半徑為______,外接圓的半徑為______。2cm6.5cmBCDFEAO24.5三角形的內(nèi)切圓5.如圖，△ABC中，I是內(nèi)心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點D.求證：DI＝DB.證明：連接BI.∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CB