初中數(shù)學浙教版九年級上冊二次函數(shù)本章復習與測試“十校聯(lián)賽”一等獎

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二次函數(shù)二次函數(shù)的概念二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)不共線三點確定二次函數(shù)的表達式二次函數(shù)的應用開口方向?qū)ΨQ性頂點最值增減性一般式頂點式交點式實際應用-利潤問題幾何綜合應用1.二次函數(shù)的概念知識梳理

形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中x是自變量，a,b,c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.溫馨提示：（1）等號左邊是變量y，右邊是關(guān)于自變量x的整式；（2）a,b,c為常數(shù)，且a≠0;（3）等式的右邊最高次數(shù)為2，可以沒有一次項和常數(shù)項，但不能沒有二次項.知識梳理y＝ax2a>0a<0圖象位置開口方向?qū)ΨQ性頂點最值增減性開口向上,在x軸上方開口向下,在x軸下方關(guān)于y軸對稱，對稱軸是直線x＝0頂點坐標是原點（0，0）當x=0時，y最小值=0當x=0時，y最大值=0在對稱軸左側(cè)遞減在對稱軸右側(cè)遞增在對稱軸左側(cè)遞增在對稱軸右側(cè)遞減yOxyOx2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識梳理y=ax2+ka＞0a＜0開口方向向上向下對稱軸y軸y軸頂點坐標（0,k）（0,k）最值當x=0時，y最小值=k當x=0時，y最大值=k增減性當x＜0時，y隨x的增大而減??；x＞0時，y隨x的增大而增大.當x＞0時，y隨x的增大而減??；x＜0時，y隨x的增大而增大.2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識梳理

y=a(x-h)2a＞0a＜0開口方向向上向下對稱軸直線x=h直線x=h頂點坐標（h,0）（h,0）最值當x=h時，y最小值=0當x=h時，y最大值=0增減性當x＜h時，y隨x的增大而減?。粁＞h時，y隨x的增大而增大.當x＞h時，y隨x的增大而減?。粁＜h時，y隨x的增大而增大.2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識梳理二次函數(shù)y=a(x-h)2+ky＝ax2＋bx＋c開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標最值a＞0a＜0增減性a＞0a＜0a＞0開口向上a＜0開口向下x=h(h,k)y最小=ky最大=k在對稱軸左邊,x↗y↘;在對稱軸右邊,

x↗y↗

在對稱軸左邊,x↗y↗;在對稱軸右邊,

x↗y↘y最小=y最大=2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)3.二次函數(shù)圖像的平移y＝ax2左、右平移左加右減上、下平移上加下減y＝-ax2寫成一般形式沿x軸翻折知識梳理4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與a、b、c的關(guān)系知識梳理向上向下y左右正負5.二次函數(shù)表達式的求法知識梳理6.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有兩個交點有兩個不相等的實數(shù)根b2-4ac>0有一個交點有兩個相等的實數(shù)根b2-4ac

=0沒有交點沒有實數(shù)根b2-4ac<0知識梳理7.二次函數(shù)的應用1．二次函數(shù)的應用包括以下兩個方面(1)用二次函數(shù)表示實際問題變量之間的關(guān)系，解決最大化問題(即最值問題)；(2)利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解．2．一般步驟：(1)找出問題中的變量和常量以及它們之間的函數(shù)關(guān)系；(2)列出函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍；(3)利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決實際問題；(4)檢驗結(jié)果的合理性，是否符合實際意義．知識梳理【例1】拋物線y＝x2－2x＋3的頂點坐標為________．【解析】方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，則頂點坐標為(1,2)．方法二代入公式，，則頂點坐標為(1,2)．(1,2)考點解析拋物線的頂點、對稱軸、最值1【點睛】解決此類題目可以先把二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c配方為頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k的形式，得到：對稱軸是直線x＝h，最值為y＝k，頂點坐標為(h，k)；也可以直接利用公式求解.對于y＝2(x－3)2＋2的圖像下列敘述正確的是(

)A．頂點坐標為(－3,2)

B．對稱軸為y＝3C．當x≥3時，y隨x的增大而增大D．當x≥3時，y隨x的增大而減小C遷移應用【例2】二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖像如圖所示，若點A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函數(shù)圖像上，且x1<x2<1，則y1與y2的大小關(guān)系是(

)A.y1≤y2

B．y1<y2

C．y1≥y2

D．y1>y2【解析】由圖像看出，拋物線開口向下，對稱軸是x＝1，當x＜1時，y隨x的增大而增大．∵x1<x2<1，∴y1<y2.故選B.B二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及函數(shù)值的大小比較2考點解析下列函數(shù)中，當x＞0時，y值隨x值增大而減小的是（）

A.y=B.y=x-1C.D.y=-3x2D遷移應用【例3】已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正確的個數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4D二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像與系數(shù)a，b，c的關(guān)系3考點解析解析：由圖像開口向下可得a＜0，由對稱軸在y軸左側(cè)可得b＜0，由圖像與y軸交于正半軸可得c＞0，則abc＞0，故①正確；由對稱軸x>－1可得2a－b＜0，故②正確；由圖像上橫坐標為x＝－2的點在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正確；由圖像上橫坐標為x＝1的點在第四象限得出a＋b＋c＜0，由圖像上橫坐標為x＝－1的點在第二象限得出

a－b＋c＞0，則(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正確．故選D.考點解析【點睛】1.可根據(jù)對稱軸的位置確定b的符號：b＝0?對稱軸是y軸；a、b同號?對稱軸在y軸左側(cè)；a、b異號?對稱軸在y軸右側(cè).這個規(guī)律可簡記為“左同右異”.

2.當x＝1時，函數(shù)y＝a＋b＋c.當圖像上橫坐標x＝1的點在x軸上方時，a＋b＋c＞0；當圖像上橫坐標x＝1的點在x軸上時，a＋b＋c＝0；當圖像上橫坐標x＝1的點在x軸下方時，a＋b＋c＜0.同理，可由圖像上橫坐標x＝－1的點判斷a－b＋c的符號.考點解析1.已知二次函數(shù)y=－x2＋2bx＋c，當x＞1時，y的值隨x值的增大而減小，則實數(shù)b的取值范圍是（ ）A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1

D．b≤1解析：∵二次項系數(shù)為－1＜0，∴拋物線開口向下，在對稱軸右側(cè)，y的值隨x值的增大而減小，由題設(shè)可知，當x＞1時，y的值隨x值的增大而減小，∴拋物線y=－x2＋2bx＋c的對稱軸應在直線x=1的左側(cè)而拋物線y=－x2＋2bx＋c的對稱軸，即b≤1，故選擇D.D遷移應用遷移應用2.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分，x=-1是對稱軸，有下列判斷：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=-9a；④若（-3，y1）,（，y2）是拋物線上兩點，則y1>y2.其中正確的是（）A．①②③

B．①③④C．①②④

D．②③④xyO2x=-1B【例4】將拋物線y＝x2－6x＋5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后，得到的拋物線解析式是(

)A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－3【解析】因為y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后，得到的解析式為y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2.故選B.拋物線的平移變換4B考點解析若拋物線y=－7(x+4)2－1平移得到y(tǒng)=－7x2，則可能（）A.先向左平移4個單位，再向下平移1個單位B.先向右平移4個單位，再向上平移1個單位C.先向左平移1個單位，再向下平移4個單位D.先向右平移1個單位，再向下平移4個單位B遷移應用【例5】已知關(guān)于x的二次函數(shù),當x=－1時,函數(shù)值為10,當x=1時,函數(shù)值為4,當x=2時,函數(shù)值為7,求這個二次函數(shù)的解析式.解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y＝ax2+bx＋c,由題意得：解得,

a=2,b=－3,c=5.∴所求的二次函數(shù)為y＝2x2－3x＋5.二次函數(shù)表達式的確定5考點解析已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=－x2－3x+7的形狀相同,頂點在直線x=1上,且頂點到x軸的距離為5,請寫出滿足此條件的拋物線的表達式.解:拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=－x2－3x+7的形狀相同a=1或－1又頂點在直線x=1上,且頂點到x軸的距離為5,頂點為(1,5)或(1,－5)所以其表達式為:(1)y=(x－1)2+5(2)y=(x－1)2－5(3)y=－(x－1)2+5(4)y=－(x－1)2－5遷移應用【例6】若二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3，則關(guān)于x的方程x2+mx=7的解為（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7解析：∵二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3，∴

=3，解得m=－6，∴關(guān)于x的方程x2+mx=7可化為x2－6x－7=0，即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7．故選D．二次函數(shù)與一元二次方程6考點解析遷移應用1．若二次函數(shù)y=-x2+2x+k的部分圖象如圖所示，且關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一個解x1=3，則另一個解x2=

；-1yOx132.一元二次方程3x2+x－10=0的兩個根是x1=－2，x2=，那么二次函數(shù)y=3x2+x－10與x軸的交點坐標是

.(-2，0)(，0)【例7】某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y(件)與銷售單價x(元)符合一次函數(shù)y＝kx＋b，且x＝65時，y＝55；x＝75時，y＝45.(1)求一次函數(shù)的表達式；(2)若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價x之間的關(guān)系式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？二次函數(shù)的應用7考點解析解：(1)根據(jù)題意，得解得k=-1,b=120.故所求一次函數(shù)的表達式為y=-x+120.(2)W=(x-60)?(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,∵拋物線的開口向下，∴當x＜90時，W隨x的增大而增大，而60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87,∴當x=87時，W有最大值，此時W=-(87-90)2+900=891.考點解析一家電腦公司推出一款新型電腦，投放市場以來3個月的利潤情況如圖所示，該圖可以近似看作為拋物線的一部分，請結(jié)合圖象，解答以下問題：(1)求該拋物線對應的二次函數(shù)解析式；(2)該公司在經(jīng)營此款電腦過程中，第幾月的利潤最大？最大利潤是多少？(3)若照此經(jīng)營下去，請你結(jié)合所學的知識，對公司在此款電腦的經(jīng)營狀況(是否虧損？何時虧損？)作預測分析．遷移應用解：(1)因圖象過原點，則設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx，由圖象的點的含義，得解得a=-1,b=14.故所求一次函數(shù)的表達式為y=-x2+14x.(2)y=-x2+14x=-(x-7)2+49.即當x=7時，利潤最大，y=49(萬元）(3)沒有利潤，即y=-x2+14x=0.解得x1=0(舍去）或x2=14,而這時利潤為滑坡狀態(tài)，所以第15個月，公司虧損.遷移應用【例8】如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于點E，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在F處，DF交BC于點G.(1)用含有x的代數(shù)式表示BF的長；(2)設(shè)四邊形DEBG的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)當x為何值時，S有最大值？并求出這個最大值．二次函數(shù)的幾何綜合8考點解析解：（