初中數(shù)學(xué)滬科版九年級(jí)下冊(cè)第24章圓2圓周角2圓內(nèi)接四邊形九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步備課

24.3.2圓內(nèi)接四邊形24.3.2圓內(nèi)接四邊形問(wèn)題1什么是圓周角？

特征：①角的頂點(diǎn)在圓上.②角的兩邊都與圓相交.圓周角概念:頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.●OBACDE復(fù)習(xí)引入24.3.2圓內(nèi)接四邊形問(wèn)題2

什么是圓周角定理？

圓周角定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半.●OABC●OABC●OABC即∠ABC=∠AOC.24.3.2圓內(nèi)接四邊形講授新課

一個(gè)多邊形所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫作圓的內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的定義24.3.2圓內(nèi)接四邊形如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O為四邊形ABCD的外接圓.

探究性質(zhì)猜想：∠A與∠C,

∠B與∠D之間的關(guān)系為

.

∠A+∠C=180o，∠B+∠D=180o若延長(zhǎng)BC到E,則∠A與∠ACE之間的關(guān)系為_(kāi)______________.∠A=∠ACEE24.3.2圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角..知識(shí)要點(diǎn)定理E幾何語(yǔ)言∴∠A+∠C=180o，∠B+∠D=180o∠A=∠ACE∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，24.3.2圓內(nèi)接四邊形證明：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).已知，如圖，四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形，☉O為四邊形ABCD的外接圓.

求證：∠BAD+∠BCD=180°.證明：連接OB、OD.根據(jù)圓心角定理，可知12試一試24.3.2圓內(nèi)接四邊形解：設(shè)∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別對(duì)于2x，3x，6x，例1

在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比是2︰3︰6.求這個(gè)四邊形各角的度數(shù).∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，∵2x+6x=180°，∴x=22.5°.∴∠A=45°，∠B=67.5°，∠C

=135°，∠D=180°-67.5°=112.5°.典例精析24.3.2圓內(nèi)接四邊形例2、如圖⊙O1與⊙O2都經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線CD與⊙O1

交于點(diǎn)C，與⊙O2

交于點(diǎn)D。經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線EF與⊙O1

交于點(diǎn)E，與⊙O2

交于點(diǎn)F。求證：CE∥DF12OOFABECD124.3.2圓內(nèi)接四邊形CE∥DF∠E＋∠F＝180°∠E＋∠1＝180°、∠1＝∠FABEC是⊙O1的內(nèi)接四邊形ABFD是⊙O2的內(nèi)接四邊形連結(jié)AB12OOFABECD124.3.2圓內(nèi)接四邊形

證明兩條直線平行的方法很多，但常用的還是通過(guò)證明同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)等方法。剛才我們通過(guò)同旁內(nèi)角互補(bǔ)證明了CE∥DF，想一想還能否通過(guò)同位角相等或者內(nèi)錯(cuò)角相等證明結(jié)果？1）延長(zhǎng)EF,是否有∠E=∠BAD＝∠1?延長(zhǎng)DF,能否證明∠E＝∠２＝∠3？

24.3.2圓內(nèi)接四邊形例3、求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．（提示：作出以這條邊為直徑的圓.）·ABCO求證：△ABC

為直角三角形.證明：CO=AB,以AB為直徑作⊙O，∵AO=BO， ∴AO=BO=CO.∴點(diǎn)C在⊙O上.又∵AB為直徑,∴∠ACB=×180°=90°.已知：△ABC中，CO為AB邊上的中線，CO=1/2AB∴△ABC為直角三角形.24.3.2圓內(nèi)接四邊形OCDBA例4、已知：如圖，四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形并且ABCD是平行四邊形。求證：四邊形ABCD是矩形。ABCD是平行四邊形∠A+∠D=1800

，∠C+∠D=1800

，∠A=∠C四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形∠A+∠C=1800∠A=∠C=900提示：24.3.2圓內(nèi)接四邊形例4、如圖，⊙O直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC、AD、BD的長(zhǎng)．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，解：∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.24.3.2圓內(nèi)接四邊形練一練1．四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形，且∠A=110°，∠B=80°，則∠C=

，∠D=

.2．☉O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，則∠D=

.

70o100o90o24.3.2圓內(nèi)接四邊形當(dāng)堂練習(xí)1.若ABCD為圓內(nèi)接四邊形，則下列哪個(gè)選項(xiàng)可能成立（）A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D

＝1∶2∶3∶4B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D

＝2∶1∶3∶4C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D

＝3∶2∶1∶4D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D

＝4∶3∶2∶1B24.3.2圓內(nèi)接四邊形ABCDO2.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,如果∠BOD=130°,則∠BCD的度數(shù)是（）

A115°B130°C65°D50°3.如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，P是AB上的一點(diǎn)，則∠APB=

.ABCPC120°24.3.2圓內(nèi)接四邊形4.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.OABDC解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°∴∠A=180°-∠C=50°（圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)）24.3.2圓內(nèi)接四邊形5.如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，延長(zhǎng)DC，AB相交于點(diǎn)E.若BC＝BE.求證：△ADE是等腰三角形．證明：∵A，D，C，B四點(diǎn)共圓，∴∠A=∠BCE，∵BC=BE，∴∠BCE=∠E，∴∠A=∠E，∴AD=DE，即△ADE是等腰三角形．24.3.2圓內(nèi)接四邊形6.如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）若∠E+∠F=α，求∠A的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）若∠E+∠F=60°，求∠A的度數(shù)．24.3.2圓內(nèi)接四邊形∵∠E+∠F=α，（2）當(dāng)α=60°時(shí)，解：（1）∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A=∠BCF，∵∠EBF=∠A+∠E，而∠EBF=180°－∠BCF－∠F，∴∠A+∠E=180°－∠BCF－∠F，∴∠A+∠E=180°－∠A－∠F，