機(jī)械振動(dòng)電子課件清華第五章591011節(jié)

目前，只介紹了離散系統(tǒng)的自由振動(dòng)，并在第

5.5節(jié)中討論了如何用振型分析方法來(lái)確定一個(gè)n自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)。振型分析能夠用來(lái)導(dǎo)出無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)，在某些情況下，也可以導(dǎo)出有阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)。不計(jì)阻尼時(shí)，n自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程為Mq(t

+

Kq

(t

=

F

(t(5.9-1)式中M和K為n·n階的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，n維向量q(t)和F(t)分別表示廣義坐標(biāo)和廣義力。5.9

無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)方程(5.9-1)構(gòu)成了n個(gè)聯(lián)立的常系數(shù)的常微分方程組。雖然這些方程是線(xiàn)性的，但求解也并非是件容易的事。用振型分析來(lái)求解就要方便得多，振型分析的基本思想就是將聯(lián)立的方程組變換成為互不相關(guān)的方程組，其變換矩陣就是振型矩陣。為了用振型分析去求解方程(5.9-1)，首先必須求解特征值問(wèn)題，即Ku

=

Muw

2(5.9-2)式中u為振型矩陣，w

2是固有頻率平方的對(duì)角矩陣。振型矩陣可以正則化，使其滿(mǎn)足uT

Mu

=

I

,uT

Ku

=

w

2(5.9-3)式中h(t)為系統(tǒng)的正則坐標(biāo)。因?yàn)閡是一個(gè)常數(shù)矩陣,所以在著同樣的變換。把式(5.9-4)代入方程(5.9-1)，得q(t和)h(t之)

間存引入正則坐標(biāo)，作如下的線(xiàn)性變換q

(t

=

uh

(t(5.9-4)Muh(t

+

Kuh

(t

=

F

(t(5.9-5)方程(5.9-5)左乘以u(píng)T，有uT

Muh(t

+

uT

Kuh

(t

=

uT

F

(t(5.9-6)考慮到方程(5.9-3)，得到h(t

+w

2h

(t

=

N

(t(5.9-7)式中N(t)=uTF(t)是與廣義坐標(biāo)向量h(t)相應(yīng)的n維廣義力向量，即正則激勵(lì)。因?yàn)閣

2是對(duì)角矩陣，故方程(5.9-7)表示一組互不相關(guān)的方程，即h

(t

)+w

2h

(t

)=

N

(t

)

(r

=1,2,,

n)r

r

r

r(5.9-8)方程(5.9-8)具有與單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程相同的結(jié)構(gòu)，可作為n個(gè)獨(dú)立的單自由度系統(tǒng)來(lái)處理。設(shè)廣義坐標(biāo)q(t)的初始條件為q

(0

=

q0

,

q

(0

=

q0(5.9-9)由式(5.9-4)的變換h(t)=u-1q(t)，有(0000-1h

(0

=h=

u-1q

,

h0

=h=

u

q(5.9-10)也可以在坐標(biāo)變換式(5.9-4)兩邊同時(shí)左乘uTM，得0

0

0

0h

=

uT

Mq

,

h

=

uT

Mq

(5.9-11)rrwhsinw

tr

0r r

0cosw

t

+h

(t

)=hr(r

=1,2,,

n) (5.9-12)式中hr

0和

h為r

0

第r階模態(tài)在正則坐標(biāo)中的初始條件。由初始條件引起方程(5.9-8)的齊次解為任意激勵(lì)Nr(t)的特解可以由卷積積分給出，即tr

rrr0sin

tN

(t)

w

(

-t)dtwh

(t

)=

1(r

=1,2,,

n)(5.9-13)所以第r階模態(tài)的全解是由激勵(lì)Nr(t)引起的響應(yīng)和初始條件引起的響應(yīng)之和因此，將正則坐標(biāo)的全解(5.9-14)代入方程(5.9-15)就可以得到無(wú)阻尼n自由度系統(tǒng)的全部響應(yīng)。廣義坐標(biāo)q(t)的響應(yīng)是廣義坐標(biāo)h(t)的響應(yīng)的疊加，則有nr

=1q

(t

)=

uh

(t

)=

u(r

)h

(t

)r(5.9-15)(5.9-14)tr

rrrrrr0r

0r

0+

1sin

w

dtN

(t)

(t

-t)wsinw

twhcosw

t

+h

(t

)=h例5.9-1

考慮圖5.9-1所示系統(tǒng)，在系統(tǒng)上作用有激勵(lì)向量F(t)=[0

F0u(t)]T，u(t)為單位階躍函數(shù)。求在零初始條件下系統(tǒng)的響應(yīng)。解：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為了用振型分析方法求解，首先要解特征值問(wèn)題，得00m

1

-1

q1

-1

2

2

=

F

u

(t

)

0

q1

2+

k0 2

q

2

q

1k

,mw

=

0.796226u(1)

=

1.0000001.366025

圖5.9-12k

,w

=1.538188u(2)

=

1.000000

m

-0.366025

對(duì)振型向量進(jìn)行正則化，而后把振型向量排列成振型矩陣0.888074

-

0.3250571

0.459701m

0.627963[u]=利用振型矩陣作線(xiàn)性變換

0.627963

u

(t

)N

(t

)=

uT

F

(t

)=

F0m

-0.325057

將上式代入方程(5.9-14)，得mt1101101F

1w

2mwF0h

(t

)(1-

cosw

t

)=

0.627963u(t)sinw

(t

-t)dt=

0.627963mt22F002202F

1(1-

cosω

t

)=

-0.325057=

-0.325057w

2sinw

(t

-t)dtu(t)mwh

(t

)那么廣義坐標(biāo)q(t)的響應(yīng)為t

mkkm

q

(t)=t

-

0.1220091

-

cos1.538188m=

0.4552951

-

cos

0.796226k

1

-

0.888074

·

0.325057F

10.459701

·

0.627963F0

221101(1

-

cosw

t)w

2(1

-

cosw

t)w

2t

mkkm

q

(t)=t

+

0.0446581

-

cos1.538188m=

0.6219451

-

cos

0.796226k

1

+

0.325057F

10.627963F0

22211202(1

-

cosw

t)w

2(1

-

cosw

t)w

2例5.9-2

若圖5.9-1所示系統(tǒng)的作用力向量為F(t)=[0

F0sinwt]T，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解：根據(jù)前題，利用振型矩陣u進(jìn)行變換的正則激勵(lì)向量為

0.627963

sin

wtN

(t

)=

uT

F

(t

)=

F0m

-0.325057

將上式代入(5.9-14)，得sinw

(sinwt01101=

0.627963tt

-t)dtmwF

1h

(t

)21

2111=

0.6279631-w

wwω2F0

w

1

sinwt

-

sinw

t

m最后，得sinwtsinw

(01202=

-0.325057tt

-t)dtmwF

1h

(t

)22

22221

=

-0.3250571-w

www

2sinwt

-

w

sinw

t

mF021

21121

0111

0.455295

wwwsinwt

-

sinw

tm

Fq

(t

)=2

2

2

2222

1-w

w11-w

www-

0.122009

1

sinwt

-

w

sinw

t

可見(jiàn)，由方程(5.9-14)得到的解，包含由外加激勵(lì)作用于系統(tǒng)引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)。當(dāng)存在阻尼時(shí)，瞬態(tài)響應(yīng)將很快衰減。若只考慮強(qiáng)迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，則只取sinwt項(xiàng)。21

21121

02

1

1

0.621945

wwwsinwt

-

sinw

tm

Fq

(t

)=2

2

22222

1-w

w11-w

www+

0.044658

1

sinwt

-

w

sinw

t

在工程實(shí)際中，阻尼總是存在的(如摩擦、速度平方阻尼、材料阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼、粘性阻尼等)，并對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)產(chǎn)生影響。由于各種阻尼的機(jī)理比較復(fù)雜，在線(xiàn)性系統(tǒng)振動(dòng)分析計(jì)算中，需將各種阻尼簡(jiǎn)化為粘性阻尼，其阻尼力的大小與速度的一次方成正比。阻尼系數(shù)須由工程上各種理論與經(jīng)驗(yàn)公式給出，或直接根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定。5.10

多自由度系統(tǒng)的阻尼對(duì)于一般粘性阻尼的多自由度系統(tǒng)，在外激勵(lì)的作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為Mq(t

+

Cq

(t

+

Kq

(t

=

F

(t(5.10-1)式中質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K和外激勵(lì)向量F(t)的意義與前面相同，而阻尼矩陣C的形式為C

=[cij

]i,

j

=1,2,,

n)(5.10-2)阻尼矩陣C一般為正定或半正定的對(duì)稱(chēng)矩陣。1.比例阻尼：若阻尼矩陣C恰好與質(zhì)量矩陣M或剛度矩陣K成正比，或者C是M與K的某種線(xiàn)性組合，即C

=

aM

+

bK(5.10-3)式中a和b為正的常數(shù)，稱(chēng)這種阻尼為比例阻尼。對(duì)這種比例阻尼來(lái)說(shuō)，當(dāng)廣義坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成正則坐標(biāo)時(shí)，在正則坐標(biāo)中的阻尼矩陣將是一個(gè)對(duì)角矩陣，即使用無(wú)阻尼系統(tǒng)的正則振型矩陣u可以使C對(duì)角化，即有2122uTCu

=

uT

(aM

+

bK

u=

auT

Mu

+

buT

Ku=

aI

+

bLa

+

bwa

+

bw

2=

a

+

bwn

(5.10-4)稱(chēng)zr為振型比例阻尼?？梢钥闯?，令a=0，而b?0有這意味著在各個(gè)振型振動(dòng)中，阻尼正比于該振型所對(duì)應(yīng)的固有頻率。若b=0，而a?0，有a

+

bw

2

=

2z

wr

r

r(5.10-5)令或?qū)懗蓃2w

ra

+

bw

2zr

=(5.10-6)bzr

=

2

wr(5.10-7)ra2wz

=(5.10-8)阻尼反比于該振型這意味著在各個(gè)振型振動(dòng)中，r所對(duì)應(yīng)的固有頻率。適當(dāng)?shù)剡x取a和b的值，就有可近似地反映實(shí)際振動(dòng)中出現(xiàn)的傾向性。<0z.r2：通常uTCu不是對(duì)角陣。是否能利用正則坐標(biāo)變換進(jìn)行解耦，關(guān)鍵在于阻尼矩陣是否能對(duì)角化。在工程實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)中，經(jīng)常遇到的是阻尼比較小的情況，這時(shí)，由uTCu的非對(duì)角項(xiàng)引起的耦合很少出現(xiàn)大于或者遠(yuǎn)大于對(duì)角項(xiàng)的情況。因此，略去uTCu非對(duì)角線(xiàn)元素組成的各阻尼項(xiàng)，即令uTCu的所有非對(duì)角線(xiàn)元素的值為零，不會(huì)引起很大的誤差。對(duì)應(yīng)正則坐標(biāo)的阻尼矩陣就可以表為對(duì)角矩陣，即2

22z

w2z1w1uTCu

=

2z

w

n n

(5.10-9)因此，就可以把振型疊加法有效地推廣到有阻尼的多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題的分析求解。有阻尼的多自由度系統(tǒng)的正則坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)微分方程為(

((2r

rrht

+

2z

w

ht

+w

h

t=

N

(t(5.10-10)或展開(kāi)為(5.10-11)(

((2rr

r

rr

rrht

+

2z

w

ht

+w

ht

=

N

(tr

=1,2,,

n實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，它一般適用于振型阻尼比zr不大于0.2的弱阻尼系統(tǒng)。若系統(tǒng)的阻尼較大，不能用無(wú)阻尼系統(tǒng)的振型矩陣使方程解耦，即阻尼矩陣C不能對(duì)角化，也有一般的理論適用于這種情況，它將包含復(fù)特征值和復(fù)特征向量，這個(gè)問(wèn)題已超出了本書(shū)的范圍。(2r

r

r

r

r

r

rth

(t+

2z

w

h

(t

+

w

h

=

N

(tr

=

1,2,,

n根據(jù)式(5.10-9)得振型阻尼比zr為ru(r

TCu(r2wzr

=r

=1,2,,

n(5.11-1)5.11

有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)對(duì)于有阻尼的多自由度系統(tǒng)，在外激勵(lì)的作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為Mq(t

+

Cq

(t

+

Kq

(t

=

F

(t假設(shè)有粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中的阻尼矩陣C可以實(shí)現(xiàn)對(duì)角化，利用正則坐標(biāo)變換解耦后，得到有阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為對(duì)應(yīng)第r階正則坐標(biāo)hr(t)模態(tài)力向量為r

=1,2,,

n(5.11-2)(r

TNr

(t

=

u F

(t激勵(lì)類(lèi)型：簡(jiǎn)諧激勵(lì)；周期激勵(lì)；任意激勵(lì)。1．簡(jiǎn)諧激勵(lì)假定一個(gè)具有粘性阻尼的多自由度系統(tǒng)，它的各廣義坐標(biāo)上有同頻率、同相位的簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用。令將方程(5.10-11)寫(xiě)程復(fù)數(shù)形式F

(t

=

F0

sin

wt(5.11-3)(

((2rr

r

rr

r

0reiwtht

+

2z

w

ht

+w

ht

=

Nr

=1,2,,

n(5.11-4)式中(

T0r0rFN

=

u(5.11-5)式中這里Hr(w)，jr和lr分別為相應(yīng)于正則坐標(biāo)的放大因子，相位角和頻率比。則正則坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為rrrrNh

(t

)=i(wt-j

)w

20rH

(w

)e(5.11-6)(

)(

)221r2rr

r2z

lH

(w

)

=1-

l+(5.11-7)r

rrr2z

l-1j

=

tg1-

l2(5.11-8)rrwl

=

w(5.11-9)因此系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以表示為(

)(

)(

)(

)(

)222r0rrrr2r

r

rNHN0rhw

ewwrz

li

wt

-j

t

=

Im

2r=sin

(w

t

-j

)

(5.11-10)1-

l+

2(

)(

)(

)(

)(

)222則原廣義坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為nrrn2rrr

rtu(r

)u(r

)T

Fu

hwz

lr

=1r

=1q

t

=1-

l+

2=

0

sin

(w

t

-jr

)(5.11-11)不難看出，當(dāng)外激勵(lì)頻率w

與系統(tǒng)第r階固有頻率wr值比較接近時(shí)，即lr=w/wr?1，這時(shí)第r階正則坐標(biāo)hr(t)的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅值就會(huì)很大，這與單自由度系統(tǒng)的共振現(xiàn)象是完全類(lèi)似的。2．周期激勵(lì)如果系統(tǒng)各坐標(biāo)上作用的外激勵(lì)為具有同一周期的周期力，則可將各外力先按傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，即￥+02j=1

j

jraN

(t

)=t

b

sin

jwt(a

cos

jw

+(5.11-12)式中系數(shù)a0，aj和bj可用第三章3.7節(jié)給出的公式計(jì)算。把外激勵(lì)各簡(jiǎn)諧分量所引起的系統(tǒng)各穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)解分別求出，然后將各解疊加起來(lái)，就得到系統(tǒng)在這種周期力作用下的響應(yīng)+￥22jj

rjj=1r

t

)+

b

sin(j1

a0wt

-jrj)[a

cos(jw

-jrj

)]H

(jwwhr

(t

)=(5.11-13)式中(

)(

)222

21rr

rz

jlHrj

(jw

)

=1-

j

l+

2(5.11-14)rjr2zr

jlrj

=

tg-11-

j2l2(5.11-15)rrwl

=

w(5.11-16)對(duì)于任意階正則坐標(biāo)響應(yīng)hr(t)(r=1,2,…,n)，是由各個(gè)不同頻率的激勵(lì)引起的響應(yīng)疊加而成。因而，就一般周期性激勵(lì)函數(shù)來(lái)說(shuō)，產(chǎn)生共振的可能性要比簡(jiǎn)諧函數(shù)大的多。所以很難預(yù)料各振型中哪一振型將受到激勵(lì)的強(qiáng)烈影響。但是，當(dāng)激勵(lì)函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)之后，每一個(gè)激勵(lì)頻率jw

可以和每個(gè)固有頻率wr相比較，從而預(yù)先推測(cè)出強(qiáng)烈振動(dòng)所在。(

)(

)(

)(

)(

)

0

原坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為nrrnrjjrj2rtHa

cos

ju

hjwwr

=1￥r

=1j

=1q

t

=u(r

)

a+wt

-j

2=

(5.11-17)+bj

sin

(jwt

-jrj

)}3．任意激勵(lì)對(duì)于外力是一般任意隨時(shí)間變化的激勵(lì)，用振型疊加法也很容易求出各廣義坐標(biāo)的響應(yīng)。根據(jù)第三章3.8節(jié)，可得方程(5.10-11)的解為(

)(

)(

)0r

rr

rr

0r

r

r

0rdrdrtrdrdrNhhsin

w

twt

esin

ww-z

w

t-z

w

t

-t+z

w

ht

=

ehr

0

coswdrt

++

1(t

-t)dt式中dr(5.11-18)(5.11-19)(r

Thr

0

=

u

Mq0

,w

=

1-z

2

wr

rh

=

u(r

T

Mqr

0

0(5.11-20)(

)(

)(

)這里q0和q0

為原廣義坐標(biāo)q(t)的初始條件。于是，原廣義坐標(biāo)的響應(yīng)為nrrtu

hr

=1q

t

=(5.11-22)由此獲得原廣義坐標(biāo)的響應(yīng)，即方程(5.10-1)的解。例5.11-1

求圖5.11-1所示的有阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：設(shè)q1和q2坐標(biāo)如圖

5.11-1所示。系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為m

1-1

q12

q

-1-1

2

2

2

F1

=

sin

wtF

0

q1

2+

c-1

q1

2+

k0 1

q

2

q

2

其固有頻率為1w

=

k

mw2

=

3k

m圖5.11-111

-12m

11

正則振型矩陣為u

=令q(t)

=

uh(t)則正則