高中數(shù)學(xué)北師大版(2022)角函數(shù)8三角函數(shù)的簡單應(yīng)用8三角函數(shù)的簡單應(yīng)用

§8三角函數(shù)的簡單應(yīng)用課標(biāo)闡釋

1.了解常見的三角函數(shù)模型.(數(shù)學(xué)建模)2.初步體會利用三角函數(shù)研究簡單的實際問題.(數(shù)學(xué)建模)3.通過對三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的學(xué)習(xí),初步學(xué)會由圖象求解析式的方法.(數(shù)學(xué)運算)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點撥穩(wěn)定房價是我國今年實施宏觀調(diào)控的重點,國家最近出臺的一系列政策已對各地的房地產(chǎn)市場產(chǎn)生了影響.某市某房地產(chǎn)中介對本市一樓盤在今年的房價做了統(tǒng)計與預(yù)測:每個季度的平均單價y(每平方米的價格,單位:元)與第x季度之間近似滿足y=500sin(ωx+φ)+9500(ω>0).已知第一、二季度平均單價如下表所示:你能根據(jù)所學(xué)的三角函數(shù)知識,求出此樓盤在第三季度的平均單價大約是多少嗎?x123y100009500?激趣誘思知識點撥解答三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟解答三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟可分為四步:審題、建模、解模、回歸實際問題.1.審題:審題是解題的基礎(chǔ),它包括閱讀理解、翻譯、挖掘等,通過閱讀,真正理解用文字語言表述的實際問題的類型、思想內(nèi)涵、問題的實質(zhì),初步預(yù)測所屬數(shù)學(xué)模型.有些問題中采用即時定義解釋某些概念或?qū)I(yè)術(shù)語,要仔細(xì)閱讀,準(zhǔn)確把握,同時,注意挖掘一些隱含條件.2.建模:在細(xì)心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上,引進(jìn)數(shù)學(xué)符號,將試題中的非數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,然后根據(jù)題意,列出數(shù)量關(guān)系,建立三角函數(shù)模型.這時要注意三角函數(shù)的定義域應(yīng)符合實際問題要求,這樣便將實際問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題.激趣誘思知識點撥3.解模:運用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行推理、運算,使問題得到解決.4.回歸實際問題:應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題,既要符合數(shù)學(xué)科學(xué),又要符合實際背景,因此,對于解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗.激趣誘思知識點撥名師點析1.三角函數(shù)模型的作用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型,可以用來研究很多問題,在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測未來等方面發(fā)揮重要作用.2.三角函數(shù)模型的三種模式在現(xiàn)實生活中,許多變化的現(xiàn)象都具有周期性,因此,可以用三角函數(shù)模型來描述.如氣象方面有溫度的變化,天文學(xué)方面有白晝時間的變化,物理學(xué)方面有各種各樣的振動波,生理方面有人的情緒、智力、體力變化等.研究這些應(yīng)用問題,主要有以下三種模式:①給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型,根據(jù)所給模型,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),解決一些實際問題;②給定呈周期變化的圖象,利用待定系數(shù)法求出函數(shù),再解決其他問題;③搜集一個實際問題的調(diào)查數(shù)據(jù),根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖,通過擬合函數(shù)圖象,求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)式,進(jìn)一步用函數(shù)性質(zhì)來解決相應(yīng)的實際問題.激趣誘思知識點撥微練習(xí)以一年為一個周期調(diào)查某商品出廠價格及該商品在商店的銷售價格時發(fā)現(xiàn),該商品的出廠價格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動的.已知3月份出廠價格最高為8元,7月份出廠價格最低為4元,而該商品在商店的銷售價格是在8元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動的,并已知5月份銷售價最高為10元,9月份銷售價最低為6元.假設(shè)某商店每月購進(jìn)這種商品m件,且當(dāng)月售完,請估計哪個月盈利最大并說明理由.激趣誘思知識點撥探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測已知三角函數(shù)解析式解決實際問題例1心臟跳動時,血壓在增加或減少.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓,血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓,讀數(shù)120/80mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)=115+25sin160πt,其中p(t)為血壓(單位:mmHg),t為時間(單位:min),試回答下列問題:(1)求函數(shù)p(t)的周期;(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù);(3)畫出函數(shù)p(t)的草圖;(4)求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù).探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測描點、連線并向左右擴(kuò)展得到函數(shù)p(t)的簡圖如圖所示:(4)由圖可知此人的收縮壓為140

mmHg,舒張壓為90

mmHg.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

用建模方法解決函數(shù)圖象與解析式問題解決此類問題的關(guān)鍵是將實際意義與函數(shù)模型y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)相結(jié)合,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題再解決.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1某地昆蟲種群數(shù)量在七月份1~13日的變化如圖所示,且滿足y=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,φ<0).(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求函數(shù)解析式;(2)從7月1日開始,每隔多長時間種群數(shù)量就出現(xiàn)一個低谷或一個高峰?探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測已知函數(shù)模型確定函數(shù)解析式例2如圖,大風(fēng)車葉輪的最高頂點離地面14.5m,葉輪旋轉(zhuǎn)所成圓的直徑為14m,風(fēng)葉輪以每分旋轉(zhuǎn)2周的速度勻速轉(zhuǎn)動,葉輪頂點從離地面最低點經(jīng)15s后到達(dá)最高點.假設(shè)葉輪頂點離地面高度y(單位:m)與葉輪頂點離地面最低點開始轉(zhuǎn)的時間t(單位:s)建立一個數(shù)學(xué)模型,用函數(shù)y=asin[ω·(t-b)]+c來表示,試求出其中四個參數(shù)a,b,c,ω的值,并寫出函數(shù)解析式.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

三角函數(shù)解析式的求法

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2右圖為某地一天從6時到14時的溫度變化曲線,其圖象近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0).(1)求這段時間的最大溫差;(2)寫出這段曲線的一個函數(shù)解析式;(3)請預(yù)測16時的溫度.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測建立三角函數(shù)模型解決實際問題例3如圖為一輛觀覽車示意圖,該觀覽車半徑為4.8m,圓上最低點與地面的距離為0.8m,60s轉(zhuǎn)動一圈,圖中OA與地面垂直,以O(shè)A為始邊,逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB,設(shè)B點與地面的距離為h.(1)求h與θ之間的函數(shù)解析式;(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動,經(jīng)過ts到達(dá)OB,求h與t之間的函數(shù)解析式.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3已知某海濱浴場海浪的高度y(m)是時間t(0≤t≤24,單位:h)的函數(shù),記作y=f(t).下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù):經(jīng)長期觀測,y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acosωt+b.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T,振幅A及函數(shù)表達(dá)式;(2)依據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度高于1.25m時才對沖浪愛好者開放,請依據(jù)(1)的結(jié)論,判斷一天內(nèi)有多少時間可供沖浪者進(jìn)行運動.t(h)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測答案D探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測