高中數(shù)學(xué)北師大版(2022)角函數(shù)1周期變化周期變化

§1周期變化課標(biāo)闡釋

思維脈絡(luò)

1.理解周期函數(shù)、周期和最小正周期的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.能夠判斷一個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù).(邏輯推理)3.能夠利用函數(shù)的周期性求值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥數(shù)學(xué)與詩(shī)歌本不是一家,數(shù)學(xué)是抽象思維活動(dòng),詩(shī)詞是闡述心靈的文學(xué)藝術(shù),但有些詩(shī)與數(shù)學(xué)聯(lián)姻,把數(shù)學(xué)嵌入詩(shī)中,裝點(diǎn)了詩(shī)詞的國(guó)度,讓詩(shī)詞多了一種氣質(zhì)和風(fēng)情.東升西落照蒼穹,影短影長(zhǎng)角不同.晝夜循環(huán)潮起伏,冬春更替草枯榮.不難發(fā)現(xiàn),這首詩(shī)中描繪了大量的自然界重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象,太陽(yáng)東升西落、晝夜循環(huán)、潮漲潮落、冬去春來(lái)(四季更替)、草枯草榮等都說(shuō)明了周期變化.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、周期函數(shù)的概念1.周期函數(shù)一般地,對(duì)于函數(shù)y=f(x),x∈D,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)任意的x∈D,都有x+T∈D且滿足f(x+T)=f(x),那么函數(shù)y=f(x)稱作周期函數(shù),非零常數(shù)T稱作這個(gè)函數(shù)的周期.2.最小正周期如果在周期函數(shù)y=f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就稱作函數(shù)y=f(x)的最小正周期.名師點(diǎn)析1.周期函數(shù)定義的實(shí)質(zhì):存在一個(gè)非零常數(shù)T,對(duì)定義域內(nèi)的任意x,均有f(x+kT)=f(x),其中k∈Z,即自變量x每增加一個(gè)T后,函數(shù)值就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)一次.2.周期函數(shù)定義中的“f(x+T)=f(x)”是對(duì)定義域中的每一個(gè)x值來(lái)說(shuō)的,只有個(gè)別的x值滿足f(x+T)=f(x),不能說(shuō)T是y=f(x)的周期.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考如果鐘擺每經(jīng)過(guò)2s就回到豎直狀態(tài),那么每經(jīng)過(guò)多少秒可以再回到最左邊位置呢?提示回到豎直狀態(tài)的時(shí)間間隔為2

s,即半個(gè)周期,而再回到最左邊的間隔時(shí)間,也就是一個(gè)周期,所以是4

s.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、函數(shù)周期性的常用結(jié)論對(duì)y=f(x)定義域內(nèi)任一自變量x:(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0);名師點(diǎn)析函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系(1)如果函數(shù)y=f(x)(x∈D)在定義域內(nèi)有兩條對(duì)稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且周期T=2(b-a)(不一定是最小正周期,下同).(2)如果函數(shù)y=f(x)(x∈D)在定義域內(nèi)有兩個(gè)對(duì)稱中心A(a,0),B(b,0)(a<b),那么函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且周期T=2(b-a).(3)如果函數(shù)y=f(x)(x∈D)在定義域內(nèi)有一條對(duì)稱軸x=a和一個(gè)對(duì)稱中心B(b,0)(a≠b),那么函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且周期T=4|b-a|.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”).(1)若函數(shù)f(x)滿足f(0)=f(5)=f(10),則它的周期T=5.(

)(2)若函數(shù)f(x)的周期T=5,則f(-5)=f(0)=f(5).(

)(3)若函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),且f(x+2)=f(x),則f(2020)=0.(

)答案(1)×

(2)√

(3)√

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)求函數(shù)的周期例1若對(duì)任意x∈R,函數(shù)f(x)滿足f(x+2019)=-f(x+2020),則函數(shù)f(x)的周期為

.

解析由f(x+2

019)=-f(x+2

020),得f(x+2

019)=-f(x+2

019+1),令x+2

019=t,即f(t+1)=-f(t),所以f(t+2)=f(t),即函數(shù)f(x)的周期是2.答案2反思感悟

函數(shù)周期的求解方法求解函數(shù)的周期問(wèn)題,要緊扣函數(shù)周期的定義,牢記函數(shù)周期的常用結(jié)論,熟練掌握函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1(2019山西太原高一月考)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),解析因?yàn)閒(x+2)=,所以f(x+4)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4.答案4探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)周期函數(shù)的判定例2設(shè)函數(shù)y=f(x),x∈R.若函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)并且圖象關(guān)于直線x=a(a≠0)對(duì)稱,求證:函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù).證明由圖象關(guān)于x=a對(duì)稱得f(2a-x)=f(x),即f(2a+x)=f(-x).因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),從而f(2a+x)=f(x),所以f(x)是以2a為周期的函數(shù).反思感悟

緊扣定義——判斷一個(gè)函數(shù)為周期函數(shù)應(yīng)用定義法判斷或證明函數(shù)是否具有周期性的關(guān)鍵是從函數(shù)周期的定義出發(fā),充分挖掘隱含條件,合理賦值,巧妙轉(zhuǎn)化.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2設(shè)函數(shù)y=f(x),x∈R.若函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)并且圖象關(guān)于直線x=a(a≠0)對(duì)稱,求證:函數(shù)y=f(x)是以4a為周期的函數(shù).證明若f(x)為奇函數(shù),則圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(-x)=-f(x),由條件得f(2a+x)=f(-x),所以f(2a+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4a+x)=f(x),故f(x)是以4a為周期的函數(shù).探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)利用函數(shù)的周期性求值或范圍例3設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=2x-x2,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2

018)=

.

解析因?yàn)閒(x+2)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期T=2.又當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=2x-x2,所以f(0)=0,f(1)=1,所以f(0)=f(2)=f(4)=…=f(2

018)=0,f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2

017)=1.故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2

018)=1

009.答案1009反思感悟

函數(shù)周期性的應(yīng)用根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì),在解決具體問(wèn)題時(shí),要注意最小正周期與周期的區(qū)別.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)答案-1<a<4探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)1.若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù),且滿足f(1)=1,f(2)=2,則f(8)-f(4)的值為(

)A.-1 B.1 C.-2 D.2解析由于f(x)的周期為5,且為奇函數(shù),所以f(8)=f(5+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(5-1)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(8)-f(4)=-2-(-1)=-1.答案A探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)2.(2019河南開(kāi)封期末)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=-f(x+2),當(dāng)x∈(0,2]時(shí),f(x)=2x+log2x,則f(2019)=(

)A.5 B. C.2 D.-2解析由f(x)=-f(x+2),得f(x+4)=f(x),所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù),所以f(2

019)=f(504×4+3)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-(2+0)=-2.答案D探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)3.(2020山東淄博月