高中數(shù)學(xué)北師大版必修立體幾何初步6簡單幾何體的再認(rèn)識柱錐臺的側(cè)面展開與面積【省一等獎】

6.1柱、錐、臺的側(cè)面展開與面積課標(biāo)闡釋

1.通過對具體柱體、錐體、臺體結(jié)構(gòu)的分析,能探索出用展開的思想方法來研究其側(cè)面積.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解柱體、錐體、臺體的側(cè)面積和表面積計算公式及其使用范圍.(邏輯推理)3.能運用柱體、錐體、臺體的側(cè)面積和表面積公式進(jìn)行計算和解決有關(guān)實際問題.(數(shù)學(xué)運算、幾何直觀)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點撥金剛石是碳的結(jié)晶體,是目前自然界中存在的最硬物質(zhì),其形狀除了具有規(guī)則的正八面體幾何外形,還有六面體、十二面體等外形的晶體.金剛石經(jīng)過切割、打磨等工序就能加工成五光十色、璀璨奪目的鉆石.如圖就是一塊正八面體的鉆石,如果已知正八面體的棱長,你有哪些思路能得出該幾何體的表面積?這種幾何體如何通過正方體切割出來?激趣誘思知識點撥一、側(cè)面積的概念把柱、錐、臺的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開后展開在一個平面上,展開圖的面積就是它們的側(cè)面積.名師點析一個幾何體的表面積是指幾何體所有面的面積的和,也可以理解成幾何體的側(cè)面積與其底面積的面積之和,也稱為全面積.微判斷判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”).(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和.(

)(2)只有側(cè)面是平面的幾何體才能求其側(cè)面積.(

)(3)幾何體的平面展開方法可能不同,但其表面積唯一確定.(

)答案(1)√

(2)×

(3)√激趣誘思知識點撥二、圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積

幾何體側(cè)面展開圖形狀展開圖度量與幾何體度量的關(guān)系側(cè)面積公式圓柱

矩形的一邊長為母線長,另一邊長是圓柱底面周長S圓柱側(cè)=2πrlr:底面半徑,l:母線長圓錐

扇形的半徑為母線長,扇形的弧長為圓錐底面周長S圓錐側(cè)=πrlr:底面半徑,l:母線長激趣誘思知識點撥幾何體側(cè)面展開圖形狀展開圖度量與幾何體度量的關(guān)系側(cè)面積公式圓臺

扇環(huán)的較短的弧長為圓臺上底面周長,較長的弧長為圓臺下底面周長S圓臺側(cè)=π(r1+r2)lr1,r2分別為圓臺上、下底面半徑,l為母線長激趣誘思知識點撥名師點析圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征比較

結(jié)構(gòu)特征圓柱圓錐圓臺底面形狀兩個底面是平行且半徑相等的圓只有一個底面,且底面是圓兩個底面是平行但半徑不相等的圓側(cè)面展開圖形狀矩形扇形扇環(huán)母線平行且相等相交于頂點延長線交于一點平行于底面的截面形狀是與兩個底面平行且半徑相等的圓平行于底面且半徑不相等的圓是與兩個底面平行且半徑不相等的圓軸截面形狀矩形等腰三角形等腰梯形激趣誘思知識點撥微判斷判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”).(1)圓柱的一個底面積為S,側(cè)面展開圖是一個正方形,那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS.(

)(2)若圓錐的母線長為l,底面圓的半徑為r,則一定有S圓錐側(cè)=πrl.(

)(3)圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖中的所有弧線都與相應(yīng)底面的周長有關(guān).(

)答案(1)×

(2)√

(3)√激趣誘思知識點撥微練習(xí)1已知矩形的邊長分別為1和2,若分別以這兩邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn),所形成幾何體的側(cè)面積之比為(

)A.1∶2

B.1∶1C.1∶4 D.1∶3解析以長度為1的邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱的底面半徑為2,母線長為1,其側(cè)面積S1=2π×2×1=4π.以長度為2的邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱的底面半徑為1,母線長為2,其側(cè)面積S2=2π×1×2=4π,故S1∶S2=1∶1.答案B激趣誘思知識點撥微練習(xí)2若一個圓柱的底面面積是S,側(cè)面展開圖是正方形,則圓柱的側(cè)面積為(

)A.4πS B.2πS答案A激趣誘思知識點撥微練習(xí)3若五棱臺ABCDE-A1B1C1D1E1的表面積是30,側(cè)面積是25,則兩底面面積的和等于(

)A.5 B.25 C.30 D.55解析S表=S側(cè)+2S底,則2S底=S表-S側(cè)=30-25=5.答案A激趣誘思知識點撥三、直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積

激趣誘思知識點撥名師點析1.對于直棱柱,其側(cè)面積可以用公式計算,也可以將其每一個側(cè)面的面積分別計算,然后相加;對于正棱錐和正棱臺,其側(cè)面積可以由其一個側(cè)面的面積乘以側(cè)面的個數(shù)來計算,因為它們的側(cè)面都是全等的三角形或梯形.2.對于正棱錐和正棱臺來說,其斜高是指其側(cè)面等腰三角形或等腰梯形的高,它與正棱錐、正棱臺的高是不同的.激趣誘思知識點撥微判斷判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”).(1)側(cè)面積公式S棱柱側(cè)=cl(其中c為底面周長,l為棱柱側(cè)棱長)僅適用于正棱柱.(

)(2)正棱錐側(cè)面積公式S正棱錐側(cè)=ch'中c為底面周長,而h'為正棱錐的高.(

)答案(1)×

(2)×激趣誘思知識點撥微練習(xí)正三棱柱的底面邊長為1,側(cè)棱長為2,則它的側(cè)面積為

,表面積為

.

激趣誘思知識點撥微思考直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積公式之間有何聯(lián)系?提示

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測簡單旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積與表面積例1(1)若一個圓錐的軸截面是一個邊長為3的等邊三角形,則該圓錐的表面積是(

)(2)圓臺的上、下底面半徑分別是3和4,母線長為6,則其表面積等于(

)A.72 B.42π C.67π D.72π探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測答案(1)D

(2)C反思感悟

旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積和表面積的求解策略(1)簡單旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積與表面積計算的關(guān)鍵是熟記公式,靈活套用.要弄清圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖的形狀以及展開圖中各線段長(弧長)與原幾何體有關(guān)量的關(guān)系.(2)求圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積和表面積,關(guān)鍵是求出它們的底面半徑以及母線長.通常借助它們的軸截面來求底面半徑及母線長,其中圓柱、圓錐、圓臺的軸截面分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1圓錐的中截面把圓錐側(cè)面分成兩部分,則這兩部分側(cè)面積的比為(

)A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測答案C探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測簡單多面體的側(cè)面積與表面積例2已知正四棱錐的底面邊長為4cm,高與斜高的夾角為30°,則該正四棱錐的側(cè)面積等于

cm2.解析如圖所示,正四棱錐的高PO、斜高PE、底面邊心距OE組成Rt△POE.答案32探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

求多面體的側(cè)面積或表面積的技巧方法(1)對于直棱柱、正棱錐、正棱臺,求其側(cè)面積與表面積的關(guān)鍵是求出它們的基本量,如底面邊長、高、斜高等,然后套用公式計算.(2)對于一般的棱柱、棱錐、棱臺,求其側(cè)面積時,一般是將其每一個側(cè)面的面積分別求出來,然后相加.(3)注意合理運用多面體的特征幾何圖形,如棱柱中的矩形、棱臺中的直角梯形、棱錐中的直角三角形,它們是聯(lián)系高與斜高、側(cè)棱、底面邊長的橋梁,也是側(cè)面積公式中未知量與條件中已知幾何元素間的橋梁.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2若正三棱臺的側(cè)面均是上、下底邊長分別為2和4,腰長為3的等腰梯形,則該正三棱臺的表面積等于

.

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測簡單組合體的表面積例3如圖所示,一個正方體的棱長為2,以相對兩個面的中心連線為軸,鉆一個直徑為1的圓柱形孔,所得幾何體的表面積為

.

解析由該幾何體的組合形式可知,其表面積應(yīng)該是正方體的表面積減去中間圓柱的兩個底面的面積,再加上圓柱的側(cè)面積.故其表面積S=6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2=24-0.5π+2π=24+1.5π.答案24+1.5π探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

1.求組合體的表面積的基本步驟(1)弄清楚它是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的,組成形式是什么;(2)根據(jù)組合體的組成形式設(shè)計計算思路;(3)根據(jù)公式計算求值.2.求組合體的表面積的解題策略(1)對于由簡單幾何體拼接成的組合體,要注意拼接面重合對組合體表面積的影響;(2)對于從簡單幾何體中“切掉”或“挖掉”部分構(gòu)成的組合體,要注意新產(chǎn)生的截面和原幾何體表面的變化.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3有一塔形幾何體由3個正方體構(gòu)成,構(gòu)成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為2,則該塔形幾何體的表面積為

.

解析易知由下向上三個正方體的棱長依次為2,,1,所以S表=2×22+4×[22+()2+12]=36.所以該幾何體的表面積為36.答案36探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測1.(2018全國Ⅰ,文5)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為(

)解析過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面為圓柱的軸截面,設(shè)底面半徑為r,母線長為l,因為軸截面是面積為8的正方形,所以