2023屆高考數(shù)學重難點訓練數(shù)列求和-倒序相加

專題16數(shù)列求和一倒序相加

1.己知函數(shù)/（金）=77^-（m>0）,當①1、X2€/?,且61+電=1時，總有

41+m

⑴求加的值.

⑵設&=/（3）+六3+〃3+.—+/（三），求凡?

nnnn

2.一般地，如果函數(shù)/（，）的圖象關于點（a,b）對稱，那么對定義域內(nèi)的任意工，則

/（x）+/（2a-x）=2b恒成立,已知函數(shù)/（i）=-^―的定義域為R,其圖象關于點

41+m

11

“（5,5）對稱.

（I）求常數(shù)m的值；

（n）解方程：log/i-/（X）］iog2［4-7（x）］=2；

（皿）求證：心）+?+...+/（—）+六厘）+Q⑴€N，）

3.已知函數(shù)？=1(傍>0述/1)在［2,4］上的最大值與最小值之和為20,記,3)=工一行

ar+v2

(1)求a的值；

⑵求證：*工)+六1一工)為定值；

122n2n

⑶求六加）+六赤T）+???+的值?

4.已知函數(shù)/(工)=正干.

(1)若0<a<l,求六a)+7(1-a)的值;

⑵求六訴1）+9/（沏）+〃薪3）+,??+/（蒜9022）的值?

1

5,設4%/（皿）），久密義］?））是函數(shù)〃H）=$+log2Gi---）的圖象上的任意兩點.

/X-X

（1）當Z1+劣2=1時，求/（?1）+/（^2）的值；

⑵設&='（+）+/（磊）+〃磊）+…+人累）+/（4）'其中EN*,求

S"：

6.已知函數(shù)滿足/⑴=2,/(-2)=~.

ax+b2

⑴求實數(shù)Q和b的值；

⑵若干(工)=西，其中工＞0,求

S=尸Q)+F(2)+F(3)+...+F(2019)+尸。)+F?)+.??+尸(4仃)的值.

Q

7.已知/(勸=/+6-%&>0且(#1)是兄上的奇函數(shù)，且〃1)=:

⑴求/㈤的解析式;

⑵若關于工的方程,(gid一1)+/(1-3^-2)=o在區(qū)間［0,1］內(nèi)只有一個解，求m取值集

合；

(3)設9⑵="工一3+1，記F(n)=gg)+g(3+9(；)+???+g(三。)(neM)，是否存

2nnnn

在正整數(shù)打，使不等式f(2x)》尸(n)〃H)對一切TW［-1,1］均成立？若存在，求出所有n的

值，若不存在，說明理由.

8.設/(工)=e1+aef,且『(，)為奇函數(shù).

(I)求實數(shù)a的值；

(n)設函數(shù)尸(工)=/(工一3+1，令

S=F(-)+F(-)+F(-)+…+F(—)(nWM,n22),求S”；

nnnnn

(111)是否存在實數(shù)心使得不等式

fl^sinff4-(1—x)2cos0+V^x(l—x)t]-f\2x(x—l)tsin(6+/])()對任意的x€(0,1)

及任意銳角9都成立？若存在，求出力的取值范圍；若不存在，請說明理由.

答案和解析

—a1

1.【答案】解⑴取6=/2=3,則八3

石=-=-

24

⑵因為當?shù)?、X2ER,且Z1+劣2=1時，總有y(Xi)4-f(》2)=Z)

所以心+咕J咕+〃?)J…

因為&=/A+fC)+〃《)+???+/6-

nnnn

,,“n、”71—1、“n—2、.O

故S”=/(-)+/(——)+/(——)+-??+/Z(-X)-

nnnn

兩式相加得：

2sli=[yA++[/A+八『)]+...+[/§+/A]=耍

nnnnnn2

【解析】本題考查函數(shù)的求值，考查數(shù)列的求和方法：倒序相加求和，考查運算能力，屬于較易

題.

(1)由題意，可令①1=為=：，代入函數(shù)，計算即可得到加=2；

⑵由當m、X2ER,且6+仍2=1時，總有人工l)+f32)='運用倒序相加求和方法，即可

得到sn.

4111

2.【答案】⑴解：?.?函數(shù)〃H)=的圖象關于點“點》對稱,

44+mi2.

.?JQ)+/(1-工)=1

43c41Ts“

?_1___________=1

??4%+m"一工+m

.然4

??44+m+m?4"+4’

m=2；

(2)解:由⑴知，

B十/

logj[l-f(①中的性一句切=2

??/。92(1-不為'。8(4-工-萬羽)=2

10ff2(爐+2)尸一4例(4,+2)-2=0

：.log^+2)=2或，如4①+2)=-1

1

-'-X=2；

(3)證明：設g(n)=心+展)+&)+???+〃F)+〃》可寫成

5(n)=+f(1)+???+心+f&

兩式相加，由于義工)+注(1-￡)=1,

2g(n)=n-1+2/(-)=n-1+2/(1)=凱：，,

no

【解析】本題考查了函數(shù)的對稱性，考查倒序相加法求和及求解對數(shù)方程，屬于中檔題.

AX11

⑴利用函數(shù)"6)=五的圖象關于點對稱，可得了(勸+/(1—力=1,代入化簡,

可得結論；

(2)由(1)知，八卬)=石三，代入化簡方程，可求方程的解；

(3)利用/(工)+六1一①)=1,倒序相加,可得結論.

3.【答案】解：⑴函數(shù)？=優(yōu)伍>0,1/1)在［2,4］上的最大值與最小值之和為20,

而函數(shù)y=a%a>0,a#l)在［2,4］上單調遞增或單調遞減，

/.a2+a4=20>

解得。2=4,或<?=一5(舍去),

a=2；

⑵證明：由⑴知，a=2,

nx2,一工

??J3)+〃17)=H0+K^

一乃I2E\?T

2H+G24-x212a!+x/25”'

(3)由(2)知,f(x)+f(l-x)=l.

12020_22019_10101011_

**2021+2021='2021+2021='…，2021+2021='

19202n

則s=/?+/?+?-■+〃薪）②

①+②得

2s=［f（/）+f（鬣）］+［陶）+f（篇）］+?

=2020

.-.S=1010.

【解析】本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調性及其應用，利用指數(shù)運算性質化簡求值，倒序相加的求和

思想，考查了學生的計算能力，培養(yǎng)了學生分析問題與解決問題的能力.

（1）因為函數(shù)V=a%a>0,a/l）在［2,4］上單調遞增或單調遞減，所以最大值和最小值一定取到端

點處，列方程即可解得a值；

（2）利用指數(shù)運算性質，代入函數(shù)解析式即可化簡證明；

（3）注意到和式中的自變量的特點，利用（2）的結論，運用倒序相加即可得到?

4.【答案】解：（1）：函數(shù)〃/）=京七，

//、￡/,、16a161-0

16

_16。1_16。4

-16a+4164?16°~16°+416a+4~1

誨+16a

⑵：/（a）+/（I-a）=1,

/（2023）+:（2023）+，（2023）+'''+'（2023）

1、<,2022、2、,.2021,,.1011,,.1012,

="2023）**2023）+”2023）+，（2023）+"，+，（2023）+'（2023）='

【解析】本題主要考查與指數(shù)函數(shù)有關的基本運算，考查了函數(shù)值的求法以及倒序相加法求和，

屬于中檔題.

（1）由函數(shù)/（工）=得將z=a和①=1—a代入，結合指數(shù)的運算性質，可得當0<a<l

10+4

時，/(a)+/(I-a)=1,

(2)由(1)的結論，兩兩結合，即可得到答案.

5.【答案】解：（1）:4（工ij（電）），3（出"（工2））是函數(shù)六/）=：+1。82（7三）的圖象上的任意

兩點，

Vxi,X26（Oj1）,且/1+電=1時，即電=1一血，

/（?1）+/（與）=1++1+

=1+logs1=1；

⑵由（1）可得，/（x）+/（l-x）=l,

Sn=f1）+/島）+…+/（M）+f（言i）①'

Sn=f島）+s（M）+…+/島）+f（擊）②,

①+②得，

2sLT（+）+，（含）］+K（磊）+f（M）］+…+［（含）**+?

2sli=n,

【解析】本題考查函數(shù)值的求法，數(shù)列的前冗項和的求法，考查運算能力，解題時要注意倒序求

和法的合理運用.

(1)由①2=1-W1,推導出f(Xl)+f(X2)=1+10g21=1;

⑵由(1)可得*切+八1一①)=1,利用倒序相加求和法得到2sl="，由此能求出片.

6.【答案】解：（1）?.?/（?）=吐葉滿足/⑴=2,/（-2）=4）

ax+b2

々=2

?-5=5，

—2a+62

解得"二

二.Q=1,b=0;

⑵由⑴可知六z)=,

X

㈤=君=卓=3(］>°)，

X

、口/1、&0a1r

+2=+=1,

,(a)+，(&)=^710)+1^+1^+1

而尸⑴二高二也

AS=F(l)+F(2)+F(3)+...+F(2019)+F(1)+F(§+...+F(盍)，

=F(l)+2018,

_4037

=-2-，

【解析】本題考查了函數(shù)的解析式、倒序相加求和，考查了學生的觀察分析能力.

(1)待定系數(shù)法聯(lián)立方程組可解得a，b的值，

(2)由歹3)=忘，先求出尸(a)+F(；)的值，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可求得S.

7.【答案】解：⑴由奇函數(shù)的性質可得：/(O)=fc-a-0+ao=O,解方程可得：fc=-1.

此時〃工)=膜一a-"滿足〃一力=一，(力，即函數(shù)/Q)是奇函數(shù).

?.?^l)=a-±=5，；.a=3或一?負值舍去)，人口的解析式為：八切=爐一3一，

a33

⑵函數(shù)的解析式為f{x}=爐一3-',

結合指數(shù)函數(shù)的性質可得，*切是定義域內(nèi)的增函數(shù)，

由,伊一生-1)+f(1一3^-2)=0，

即f(9?2-21-1)=-/(I-3^-2)=/(3^-2-1).

由/Q)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，可得9"ia-1+1-3"?-2=0在區(qū)間［0,1］內(nèi)只有一個解.

轉化為h(x)=2mx2-(4+rri)x+2=0在區(qū)間［0,1］內(nèi)只有一個解.

①當m=0時，x=^)符合題意；

②當時，ft(0)=2>0,

當△=0時，(4+m)2—16m={m—4)2=0,解得m=4,

此時對稱軸為直線工=竽"=1,滿足題意；

4m2

當△溝)時，若Ml)=2m—4一瓶+2<0,解得m<2且加#0,顯然滿足題意；

若無(1)=0,解得m=2,此時對稱軸為直線①=竽巴='，

47n4

可得八(工)=0在［0,1］內(nèi)有兩解的=:，玫=1，不滿足題意.

綜上，m取值集合{m|m<2或m=4}.

(3”.?函數(shù)/(2)是奇函數(shù).

???必)=加一品1關于4,1)對稱，

/.g(l-劣)+g(*=2,

尸⑴)=gg)+9&+sA+...+ff(^)(n€M),

nnnn

尸(n)=g(一)+g(l)+g(l)+???+g(3(n€'*)，

得2F(n)=2(n-1).

/,尸(n)=n-1,

f(2x)>F(n)f(x),即32H-3-加>(n-l)(3I-3-x),

當H=0時，等號成立，

Q2X_q-2x

當0<z〈l時，也一1(二—=3x+3-x,

3Z—3一工

?:0<E<1時，3］+3一①>2,

二打一142,解得mW3且？iwN*,

o2x_q-2x

當一工<0時，上一1》二一=3"+3~,

33X-3T

?.?一1答多<0時，2<3"+3-飛學，

M

，n-12學，解得n24+^neN*,

綜上，不存在滿足條件的n，

所以不存在正整數(shù)n,使不等式*2x)》F(n)f(z)對一切工€［-1,1］均成立.

【解析】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調性的應用，不等式恒成立問題，考查轉化思想，屬于較

難題.

(1)利用奇函數(shù)得到關于實數(shù)K的方程，解方程求得L再代入〃1)的值求出。；

(2)結合函數(shù)的單調性和函數(shù)的奇偶性轉化求解即可；

(3)由函數(shù)的對稱性及圖象平移規(guī)律可得g(l-工)+g(z)=2,F(n)=n-1,代入

八陵)》尸(n)j(z),分類討論即可求解.

8.【答案】解：(I)依題意，j(O)=l+a=O,解得a=—1,經(jīng)檢驗a=-1符合題意;

(11*(1一勸+尸(勸=解一工)+1+/(工一)+1=2，

又&=尸C)+F&+F&+...+F(—),

TLTh71Th

——/Tl—1、_7l—2、—/Tl—3、L/1、

sn=F(——)+F(z——)+F(——)+...+F(-),

nnnn

2&=+尸(—)]+4)+尸(三2)]+…+[F(三3+FA]=2(n-1),

nnnnnn

/.Sn=n-1；

(in)易知〃/)在R上為增函數(shù)，則原不等式等價于

x^sinO+(1—xfcosQ+y/2x(l—x)t22x(1—x)tsin(0+,

即a^sinff+(1—x)2cos02[2sin(fl+g)—V^]x(l—x)t,

由于￡6(0,1),故￡(1一￡)>0,兩邊同時除以t(l一笈)得，

n*1__nj乃__

-----sinOH------cosff》[2sin(fl+—)—V^]t=V2tfsinG+cos0—1),

1—xx-----------------4

<j?1__①

令h(x)=-----sin8H------cos。,xe(0,1),

1—xx

又令*=vJ€(°，+8),

1-X

CO80____

則h(x)=ksinO+22^.=兩也依+駕6)》sin8-2J"啜=2Vsin6-cosQ9

K>KVSIH(7

\/2?y/sinO-cos0

?'、sin。+cos。—1

令sin8+cosO=y/2sin(。+g)=m,

21

由于66(0,3),故?Ti6(1,A/5],sinffcosO=——,

/2

.s/2-y/sinG-cosO_"，y_2__lm+1_R2-,

-sinC+cos。-1m—1\m—1Vm—1

而當me(1,時，U單調遞減，

Vm—1

其有最小值J1+=逐+1,

Vv^-1

存在符合要求的實數(shù)K且

【解析】本題考查函數(shù)性質的綜合運用，考查換元思想，構造思想，化歸與轉化思想，考查運算

求解能力，屬于較難題目.

(I)由函數(shù)為奇函數(shù)知/(0)=0,由此求得a的值，注意需驗證；

(n)易知F(1—①)+尸(工)=2,則利用倒序相加法可得Sn；

(m)原不等式可等價為t4'./而,再通過換元的思想求得??小叱cos?的最小

sin0+cosd-1sme+cosS-1

值即可.