第四章 控制系統(tǒng)的分析方法部分

第四章控制系統(tǒng)的分析方法部分第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五第一節(jié)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析對于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，如果閉環(huán)極點(diǎn)全部在S平面左半平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于離散時(shí)間系統(tǒng)，如果系統(tǒng)全部極點(diǎn)都位于Z平面的單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的全部零極點(diǎn)都位于S左半平面；或若離散時(shí)間系統(tǒng)的全部零極點(diǎn)都位于Z平面單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)。一、系統(tǒng)穩(wěn)定及最小相位系統(tǒng)判據(jù)第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五2、直接判別MATLAB提供了直接求取系統(tǒng)所有零極點(diǎn)的函數(shù)，因此可以直接根據(jù)零極點(diǎn)的分布情況對系統(tǒng)的穩(wěn)定性及是否為最小相位系統(tǒng)進(jìn)行判斷。二、系統(tǒng)穩(wěn)定及最小相位系統(tǒng)的判別方法1、間接判別（工程方法）勞斯判據(jù)：勞斯表中第一列各值嚴(yán)格為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定，如果勞斯表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)不穩(wěn)定。胡爾維茨判據(jù)：當(dāng)且僅當(dāng)由系統(tǒng)分母多項(xiàng)式構(gòu)成的胡爾維茨矩陣為正定矩陣時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五例exp4_1.m已知某系統(tǒng)的閉環(huán)模型如右所示：要求判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性及系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。例exp4_2.m系統(tǒng)閉環(huán)模型如下所示，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以及系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五ii=find(條件式)用來求取滿足條件的向量的下標(biāo)向量，以列向量表示。例如exp4_1.m中的條件式為real(p>0)，其含義就是找出極點(diǎn)向量p中滿足實(shí)部的值大于0的所有元素下標(biāo)，并將結(jié)果返回到ii向量中去。這樣如果找到了實(shí)部大于0的極點(diǎn)，則會(huì)將該極點(diǎn)的序號(hào)返回到ii下。如果最終的結(jié)果里ii的元素個(gè)數(shù)大于0，則認(rèn)為找到了不穩(wěn)定極點(diǎn)，因而給出系統(tǒng)不穩(wěn)定的提示，若產(chǎn)生的ii向量的元素個(gè)數(shù)為0，則認(rèn)為沒有找到不穩(wěn)定的極點(diǎn)，因而得出系統(tǒng)穩(wěn)定的結(jié)論。pzmap(p,z)根據(jù)系統(tǒng)已知的零極點(diǎn)p和z繪制出系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五第二節(jié)控制系統(tǒng)的時(shí)域分析系統(tǒng)的過渡過程性能（如上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量及穩(wěn)態(tài)誤差）常用典型輸入作用下的時(shí)間響應(yīng)來描述。響應(yīng)是指零初始值條件下某種典型的輸入函數(shù)作用下對象的響應(yīng)，控制系統(tǒng)常用的輸入函數(shù)為單位階躍函數(shù)和脈沖激勵(lì)函數(shù)（即沖激函數(shù)）。在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中提供了求取這兩種輸入下系統(tǒng)響應(yīng)的函數(shù)。一、時(shí)域分析的一般方法求取系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)：step()求取系統(tǒng)的沖激響應(yīng)：impulse()第六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五1、step()函數(shù)的用法exp4_3_.my=step(num,den,t)：其中num和den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)描述中的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)，t為選定的仿真時(shí)間向量，一般可以由t=0:step:end等步長地產(chǎn)生出來。該函數(shù)返回值y為系統(tǒng)在仿真時(shí)刻各個(gè)輸出所組成的矩陣。[y,x,t]=step(A,B,C,D,iu)：其中A,B,C,D為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述矩陣，iu用來指明輸入變量的序號(hào)。x為系統(tǒng)返回的狀態(tài)軌跡。如果對具體的響應(yīng)值不感興趣，而只想繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，可調(diào)用以下的格式，自動(dòng)輸出響應(yīng)曲線：step(num,den)；step(num,den,t)；step(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值可以通過函數(shù)dcgain()來求取，其調(diào)用格式為：dc=dcgain(num,den)或dc=dcgain(a,b,c,d)[y,x,t]=step(num,den)：此時(shí)時(shí)間向量t由系統(tǒng)模型的特性自動(dòng)生成,

狀態(tài)變量x返回為空矩陣。第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五2、impulse()函數(shù)的用法求取脈沖激勵(lì)響應(yīng)的調(diào)用方法與step()函數(shù)基本一致。y=impulse(num,den,t)；[y,x,t]=impulse(num,den)；[y,x,t]=impulse(A,B,C,D,iu,t)impulse(num,den)；impulse(num,den,t)impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t)第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五仿真時(shí)間t的選擇：對于典型二階系統(tǒng)根據(jù)其響應(yīng)時(shí)間的估算公式可以確定。對于高階系統(tǒng)往往其響應(yīng)時(shí)間很難估計(jì)，一般采用試探的方法，把t選大一些，看看響應(yīng)曲線的結(jié)果，最后再確定其合適的仿真時(shí)間。一般來說，先不指定仿真時(shí)間，由MATLAB自己確定，然后根據(jù)結(jié)果，最后確定合適的仿真時(shí)間。在指定仿真時(shí)間時(shí)，步長的不同會(huì)影響到輸出曲線的光滑程度，一般不易取太大。例exp4_6_.m第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五二、常用時(shí)域分析函數(shù)

MATLAB除了提供前面介紹的對系統(tǒng)階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng)等進(jìn)行仿真的函數(shù)外，還提供了大量對控制系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析的函數(shù)，如：covar：連續(xù)系統(tǒng)對白噪聲的方差響應(yīng)initial：連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)lsim：連續(xù)系統(tǒng)對任意輸入的響應(yīng)對于離散系統(tǒng)只需在連續(xù)系統(tǒng)對應(yīng)函數(shù)前加d就可以，如dstep，dimpulse等。它們的調(diào)用格式與step、impulse類似，可以通過help命令來察看自學(xué)。第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五三、時(shí)域分析應(yīng)用實(shí)例MATLAB的step()和impulse()函數(shù)本身可以處理多輸入多輸出的情況，因此編寫MATLAB程序并不因?yàn)橄到y(tǒng)輸入輸出的增加而變得復(fù)雜。第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五對比exp4_9_.m第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五第三節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法所謂根軌跡是指，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面上的軌跡。一般來說，這一參數(shù)選作開環(huán)系統(tǒng)的增益K，而在無零極點(diǎn)對消時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。根軌跡分析方法是分析和設(shè)計(jì)線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法，使用十分簡便。利用它可以對系統(tǒng)進(jìn)行各種性能分析，例exp4_18.m一、根軌跡分析方法的概念第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五（1）穩(wěn)定性當(dāng)開環(huán)增益K從零到無窮大變化時(shí)，圖中的根軌跡不會(huì)越過虛軸進(jìn)入右半s平面，因此這個(gè)系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的。如果根軌跡越過虛軸進(jìn)入右半s平面，則其交點(diǎn)的K值就是臨界穩(wěn)定開環(huán)增益。（2）穩(wěn)態(tài)性能開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，因此根軌跡上的K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)，如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則可由根軌跡確定閉環(huán)極點(diǎn)容許的范圍。（3）動(dòng)態(tài)性能當(dāng)0<K<0.5時(shí)，所有閉環(huán)極點(diǎn)位于實(shí)軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程；當(dāng)K=0.5時(shí)，閉環(huán)兩個(gè)極點(diǎn)重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)仍為非周期過程，但速度快一些；當(dāng)K>0.5時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程，且超調(diào)量與K成正比。第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五二、根軌跡分析函數(shù) 通常來說，繪制系統(tǒng)的根軌跡是很繁瑣的事情，因此在教科書中介紹的是一種按照一定規(guī)則進(jìn)行繪制的概略根軌跡。在MATLAB中，專門提供了繪制根軌跡的有關(guān)函數(shù)。pzmap：繪制線性系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖rlocus：求系統(tǒng)根軌跡。rlocfind：計(jì)算給定一組根的根軌跡增益。sgrid：在連續(xù)系統(tǒng)根軌跡圖和零極點(diǎn)圖中繪制出阻尼系數(shù)和自然頻率柵格。第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五1、零極點(diǎn)圖繪制exp4_19.mMATLAB提供了函數(shù)pzmap()來繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，其用法如下：[p,z]=pzmap(a,b,c,d)：返回狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的極點(diǎn)矢量和零點(diǎn)矢量，而不在屏幕上繪制出零極點(diǎn)圖。[p,z]=pzmap(num,den)：返回傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的極點(diǎn)矢量和零點(diǎn)矢量，而不在屏幕上繪制出零極點(diǎn)圖。pzmap(a,b,c,d)或pzmap(num,den)：不帶輸出參數(shù)項(xiàng)，則直接在s復(fù)平面上繪制出系統(tǒng)對應(yīng)的零極點(diǎn)位置，極點(diǎn)用×表示，零點(diǎn)用o表示。pzmap(p,z)：根據(jù)系統(tǒng)已知的零極點(diǎn)列向量或行向量直接在s復(fù)平面上繪制出對應(yīng)的零極點(diǎn)位置，極點(diǎn)用×表示，零點(diǎn)用o表示。第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五2、根軌跡圖繪制exp4_20.mMATLAB提供了函數(shù)rlocus()來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖，其用法如下：rlocus(a,b,c,d)或者rlocus(num,den)：根據(jù)SISO開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述模型和傳遞函數(shù)模型，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。開環(huán)增益的值從零到無窮大變化。rlocus(a,b,c,d,k)或rlocus(num,den,k)：通過指定開環(huán)增益k的變化范圍來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。r=rlocus(num,den,k)或者[r,k]=rlocus(num,den)：不在屏幕上直接繪出系統(tǒng)的根軌跡圖，而根據(jù)開環(huán)增益變化矢量k，返回閉環(huán)系統(tǒng)特征方程1＋k*num(s)/den(s)=0的根r，它有l(wèi)ength(k)行，length(den)-1列，每行對應(yīng)某個(gè)k值時(shí)的所有閉環(huán)極點(diǎn)?；蛘咄瑫r(shí)返回k與r。對于參數(shù)根軌跡，可以通過傳遞函數(shù)的等效變換而進(jìn)行繪制。若給出傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的分子項(xiàng)num為負(fù)，則利用rlocus函數(shù)繪制的是系統(tǒng)的零度根軌跡（正反饋系統(tǒng)或非最小相位系統(tǒng)）。第十七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五3、rlocfind()函數(shù)MATLAB提供了函數(shù)rlocfind()來找出給定的一組根（閉環(huán)極點(diǎn)）對應(yīng)的根軌跡增益。其用法如下：[k,p]=rlocfind(a,b,c,d)或者[k,p]=rlocfind(num,den)它要求在屏幕上先已經(jīng)繪制好有關(guān)的根軌跡圖。然后，此命令將產(chǎn)生一個(gè)光標(biāo)以用來選擇希望的閉環(huán)極點(diǎn)。命令執(zhí)行結(jié)果：k為對應(yīng)選擇點(diǎn)處根軌跡開環(huán)增益；p為對應(yīng)K的系統(tǒng)閉環(huán)特征根。不帶輸出參數(shù)項(xiàng)[k,p]時(shí)，同樣可以執(zhí)行，只是