第四節(jié)矩陣的初等變換

第四節(jié)矩陣的初等變換第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五定義下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．2第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．逆變換逆變換逆變換定義由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換，得到的矩陣稱為初等矩陣。初等矩陣有下列3種:3第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五(1)對E施以第(1)種初等變換得到的矩陣.i行i列j行j列4第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五(2)對E施以第(2)種初等變換得到的矩陣.5第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五(3)對E施以第(3)種初等變換得到的矩陣.6第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五(2)對A施以某種初等列變換,相當(dāng)于用同種的n階初等矩陣右乘A.(1)對A施以某種初等行變換,相當(dāng)于用同種的m階初等矩陣左乘A.定理

設(shè)A為階矩陣，證略。例17第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五初等矩陣的逆矩陣還是同類型的初等矩陣：8第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五等價關(guān)系的性質(zhì)：如果矩陣B可以由矩陣A經(jīng)過有限次初等變換得到，則稱矩陣A和B為等價的，記作

定義9第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五定理任意一個矩陣A都與一個形式為

的矩陣等價，稱之為A的標(biāo)準(zhǔn)形。

證略。10第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形.例2(1)解11第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五12第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五若方陣A可逆，則它的標(biāo)準(zhǔn)形必為單位矩陣，初等陣是可逆的，且其逆陣仍為初等陣，于是其中均為初等矩陣，可逆陣能表成一些初等矩陣的乘積。

由得其中均為初等矩陣，13第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五可逆陣可經(jīng)過若干次初等行變換化為單位矩陣。表明：表明：如果用一系列初等行變換把可逆矩陣A化為單位矩陣E，那么同樣地用這些初等行變換就把單位矩陣E化為

利用初等變換求逆陣的方法：14第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

解例315第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五16第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五即初等行變換17第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五例4解18第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五19第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五20第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五例5解假設(shè)矩陣A和B滿足關(guān)系式：

其中

求矩陣B。

21第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五22第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五于是因此23第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五例5或解假設(shè)矩陣A和B滿足關(guān)系式：

其中

求矩陣B。

24第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五列變換行變換從而獲得Y。25第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五例6解求解下列矩陣方程