第四章 大數(shù)定律與中心極限定理

第四章大數(shù)定律與中心極限定理第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五§4.1

特征函數(shù)（了解）定義4.1.1

設(shè)X是一隨機(jī)變量，稱

(t)=E(eitX)

為X的特征函數(shù).(必定存在)(1)離散隨機(jī)變量時(shí)，(2)連續(xù)隨機(jī)變量時(shí)，(t)是p(x)的傅里葉變換，該變換用處很廣也很有效（復(fù)變函數(shù)）第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五特征函數(shù)的作用特征函數(shù)是深入研究概率論問題有力的數(shù)學(xué)分析工具，其作用在于：簡便證明分布的可加性（將卷積運(yùn)算化成乘法運(yùn)算）簡化矩運(yùn)算：……….第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五特征函數(shù)的主要性質(zhì)具有一致連續(xù)性、非負(fù)定性與分布函數(shù)一一對應(yīng)。也就是說：描述一個(gè)分布可以通過三個(gè)函數(shù)F(x)，p(x)，(t)

從三個(gè)角度發(fā)揮不同的優(yōu)勢第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2

大數(shù)定律定理4.2.1（伯努利大數(shù)定律）設(shè)n

是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中P(A)=p,則對任意的

>0，有或第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五溫馨提示：頻率容易獲取，概率一般是理論值.

實(shí)驗(yàn)：魚塘中魚數(shù)的估計(jì)---捕魚討論“概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義；為“用頻率表示概率”提供理論依據(jù)，由此產(chǎn)生了非常適用的隨機(jī)模擬方法；給出幾種大數(shù)定律：

伯努利大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律、馬爾可夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律.第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五蒙特卡羅隨機(jī)模擬—計(jì)算定積分解：設(shè)X，Y均服從(0,1)上均勻分布即J=P，而概率P可以用頻率取代，生成n個(gè)隨機(jī)數(shù)(xk,yk)，滿足yk<f(xk)的有m個(gè)，則J≈m/nEXCEL綜合實(shí)驗(yàn)11y=f(x)xy0A第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五4.2.2

常用的幾個(gè)大數(shù)定律

1、大數(shù)定律一般形式：

若隨機(jī)變量序列{Xn}滿足：則稱{Xn}服從大數(shù)定律.2、切比雪夫大數(shù)定律{Xn}兩兩不相關(guān)，且Xn方差存在，有共同的上界，則{Xn}服從大數(shù)定律.定理4.2.2證明用到切比雪夫不等式.第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五3、馬爾可夫大數(shù)定律

定理4.2.3若隨機(jī)變量序列{Xn}滿足：則{Xn}服從大數(shù)定律.(馬爾可夫條件)4、辛欽大數(shù)定律若隨機(jī)變量序列{Xn}獨(dú)立同分布，且Xn的數(shù)學(xué)期望存在。則{Xn}服從大數(shù)定律.定理4.2.4第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五(1)伯努利大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例.注意點(diǎn)(2)切比雪夫大數(shù)定律是馬爾可夫大數(shù)定律的特例.(3)伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特例.蒙特卡羅方法計(jì)算定積分第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五§4.3

隨機(jī)變量序列的兩種收斂性兩種收斂性：

i)依概率收斂：用于大數(shù)定律；

ii)按分布收斂：用于中心極限定理.定義4.3.1(依概率收斂)大數(shù)定律討論的就是依概率收斂.若對任意的>0，有則稱隨機(jī)變量序列{Yn}依概率收斂于Y,記為第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五依概率收斂的性質(zhì)定理4.3.1

若則{Xn}與{Yn}的加、減、乘、除依概率收斂到a

與b

的加、減、乘、除.第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五4.3.2

按分布收斂、弱收斂對分布函數(shù)列{Fn(x)}而言，點(diǎn)點(diǎn)收斂要求太高.定義4.3.2

若在F(x)的連續(xù)點(diǎn)上都有則稱{Fn(x)}弱收斂于

F(x)，記為相應(yīng)記按分布收斂第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五依概率收斂與按分布收斂的關(guān)系定理4.3.2

定理4.3.3

1、判斷弱收斂的方法定理4.3.4

2、辛欽大數(shù)定律的證明思路欲證:

只須證：

第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五§4.4

中心極限定理

討論獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布,

本指出極限分布為正態(tài)分布.4.4.1

獨(dú)立隨機(jī)變量和設(shè){Xn}為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記其和為第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五4.4.2

獨(dú)立同分布下的中心極限定理定理4.4.1

林德貝格—勒維中心極限定理設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望為,方差為2>0，則當(dāng)n

充分大時(shí)，有應(yīng)用之例:正態(tài)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生；

誤差分析第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五例4.4.1

每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克.一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?解:設(shè)箱中第i

袋味精的凈重為Xi,則Xi

獨(dú)立同分布，且E(Xi)=100，Var(Xi)=100，

由中心極限定理得，所求概率為：=0.0002故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002.(很小)第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五例4.4.2

設(shè)X為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.XP109876

0.80.10.050.020.03解:設(shè)Xi

為第i

次射擊命中的環(huán)數(shù)，則Xi

獨(dú)立同分布，且E(Xi)

=9.62，Var(Xi)

=0.82，故=0.99979第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五4.4.3

二項(xiàng)分布的正態(tài)近似定理4.4.2

棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理設(shè)n

為服從二項(xiàng)分布b(n,p)的隨機(jī)變量，則當(dāng)n

充分大時(shí)，有是林德貝格—勒維中心極限定理的特例.第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五二項(xiàng)分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以用正態(tài)分布作為二項(xiàng)分布的近似時(shí)，可作如下修正：注意點(diǎn)(1)第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五中心極限定理的應(yīng)用有三大類：

注意點(diǎn)(2)

ii)已知n

和概率，求y

；

iii)已知y

和概率，求n.i)已知n

和y，求概率；

第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五一、給定n和y，求概率例4.4.3100個(gè)獨(dú)立工作(工作的概率為0.9)的部件組成一個(gè)系統(tǒng)，求系統(tǒng)中至少有85個(gè)部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i個(gè)部件正常工作,反之記為Xi=0.又記Y=X1+X2+…+X100，則E(Y)=90，Var(Y)=9.第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五二、給定n和概率，求y例4.4.4有200臺獨(dú)立工作(工作的概率為0.7)的機(jī)床，每臺機(jī)床工作時(shí)需15kw電力.問共需多少電力,才可有95%的可能性保證正常生產(chǎn)?解：用設(shè)供電量為y,則從Xi=1表示第i臺機(jī)床正常工作,反之記為Xi=0.又記Y=X1+X2+…+X200，則E(Y)=140，Var(Y)=42.中解得第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五三、給定y

和概率，求n例4.4.5用調(diào)查對象中的收看比例k/n作為某電視節(jié)目的收視率p的估計(jì)。要有90％的把握，使k/n與p

的差異不大于0.05，問至少要調(diào)查多少對象？解：用根據(jù)題意Yn表示n

個(gè)調(diào)查對象中收看此節(jié)目的人數(shù)，則從中解得Yn服從b(n,p)分布，k為Yn的實(shí)際取值。又由可解得n=271第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五例4.4.6

設(shè)每顆炮彈命中目標(biāo)的概率為0.01，求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率.解:

設(shè)X

表示命中的炮彈數(shù),則X~b(500,0.01)＝0.17635(2)應(yīng)用正態(tài)逼近:P(X=5)=P(4.5<X<5.5)=0.1742第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五4.4.4

獨(dú)立不同分布下的中心極限定理定理4.4.3

林德貝格中心極限定理設(shè){Xn}為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，若任對

>0，有林德貝格條件則第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五李雅普諾夫中心極限定理定理4.4.4

李雅普諾夫中心極限定理設(shè){Xn}為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，若存在

>0，滿足：李雅普諾