第四章 流體動力學基礎

第四章流體動力學基礎第一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第四章作業(yè)4.34.44.54.94.104.114.134.144.154.194.294.31第九周交作業(yè)第二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五目錄緒論第一章流體及其主要物理性質(zhì)第二章流體靜力學第三章流體運動學基礎第四章流體動力學基礎第五章相似原理和量綱分析第六章理想流體不可壓縮流體的定常流動第七章粘性流體流動第八章定常一元可壓縮氣流第九章計算流體力學第三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五

流體動力學是按照牛頓力學的基本定律建立起流體力學的基本方程和定解條件，并根據(jù)流動的基本定律揭示流動過程中的一些主要性質(zhì)。能量守恒定律（熱力學第一定律）質(zhì)量守恒定律動量定律（牛頓第二定律）基本的物理定律流體動力學積分型方程流體動力學微分型方程拉格朗日方法歐拉方法（物質(zhì)導數(shù)）流體運動數(shù)學描述方法流體運動性質(zhì)牛頓粘性定律等邊界條件、初始條件第四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第四章流體動力學基礎§4.1系統(tǒng)和控制體，雷諾輸運定理§4.2對控制體的流體力學積分方程§4.3微分形式的連續(xù)性方程§4.4微分形式的動量方程——N-S方程第五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)是指某一確定流體質(zhì)點集合的總體。系統(tǒng)所包含的流體具有確定的質(zhì)量，系統(tǒng)的邊界把系統(tǒng)和外界分開。邊界上有力的相互作用和能量交換，系統(tǒng)隨流體流動，其邊界形狀和所包圍的空間隨流動不斷變化。系統(tǒng)與外界沒有質(zhì)量交換?？刂企w的定義：§4.1系統(tǒng)和控制體，雷諾輸運定理

系統(tǒng)的定義：

控制體是指流場中某一確定的空間區(qū)域，控制體的邊界為控制面。控制界面上有力的作用和能量交換?？刂泼嫔峡梢杂辛黧w流進或流出，即質(zhì)量交換?？刂企w的形狀可根據(jù)流體流動情況和邊界位置任意選定，一旦選定之后，控制體的形狀和位置相對坐標系固定不變。第六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.1系統(tǒng)和控制體，雷諾輸運定理雷諾輸運定理：

舉例：動量定理運用于流體系統(tǒng)F是外界作用系統(tǒng)的合力，K是系統(tǒng)的動量，由于系統(tǒng)不斷改變位置、形狀大小，組成系統(tǒng)的流體質(zhì)點的密度和速度隨時間也是變化的，所以系統(tǒng)的動量也是變化的，求其對時間的變化率，即求該流體系統(tǒng)體積分的物質(zhì)導數(shù)。雷諾輸運定理就是用來解決用歐拉變量表示系統(tǒng)體積分的物質(zhì)導數(shù)的問題第七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.1系統(tǒng)和控制體，雷諾輸運定理流體系統(tǒng)所具有的物理量對時間的隨體導數(shù)：系統(tǒng)所具有的物理量系統(tǒng)物質(zhì)導數(shù)定義第八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.1系統(tǒng)和控制體，雷諾輸運定理（速度矢量和控制面外法線單位矢量的夾角大于90°）第九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.1系統(tǒng)和控制體，雷諾輸運定理第十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.1系統(tǒng)和控制體，雷諾輸運定理系統(tǒng)內(nèi)所具有的某種物理量對時間的隨體導數(shù)也是由兩部分組成的：當?shù)貙?shù)，是控制體內(nèi)物理量總量的對時間的變化率，是由流場不穩(wěn)定引起的。遷移導數(shù)，是單位時間流進和流出控制體的某種物理量的差值（凈流率），是由流場的不均勻性和系統(tǒng)的空間位置和體積隨時間改變而引起的?；蛟诙ǔＡ鲃訔l件下，整個系統(tǒng)內(nèi)部流體所具有的某種物理量的變化率只與通過控制面的流動有關(guān)，而不必知道系統(tǒng)內(nèi)部流動的詳細情況。上式為流體系統(tǒng)內(nèi)物理量對時間的隨體導數(shù)，雷諾輸運公式。定常流動條件下，

則有

第十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第四章流體動力學基礎§4.1系統(tǒng)和控制體，雷諾輸運定理§4.2對控制體的流體力學積分方程§4.3微分形式的連續(xù)性方程§4.4微分形式的動量方程——N-S方程第十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五在流場內(nèi)取一系統(tǒng)，其體積為則系統(tǒng)內(nèi)流體質(zhì)量§4.2對控制體的流體力學積分方程根據(jù)輸運公式根據(jù)流體系統(tǒng)的質(zhì)量不會隨時間發(fā)生變化的質(zhì)量守恒定律有積分形式的連續(xù)性方程A、積分形式的連續(xù)性方程取單位體積的質(zhì)量第十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五即單位時間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增加或減少等于同時間內(nèi)通過控制面流入或流出的凈流體質(zhì)量。如果控制體內(nèi)的流體質(zhì)量不變，則必然同一時間內(nèi)流入與流出控制體的流體質(zhì)量相等?！?.2對控制體的流體力學積分方程非定常流動情況下：在定場流動條件下，控制體內(nèi)的流體質(zhì)量不隨時間變化，通過控制面的流體質(zhì)量通量等于零。

定常流動條件下：第十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.2對控制體的流體力學積分方程B、動量方程

式中

代表單位質(zhì)量流體的動量，則為流體系統(tǒng)的動量，它為矢量。流體系統(tǒng)的隨體導數(shù)為：根據(jù)輸運公式根據(jù)動量定理：流體系統(tǒng)動量的時間變化率等于作用在流體系統(tǒng)上的外力的矢量和（包括質(zhì)量力和表面力）。第十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.2對控制體的流體力學積分方程如果式中：為單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力，為沿外法線方向作用在上的表面應力。由于時刻流體系統(tǒng)與控制體重合，故上式可寫成：右端——表示作用在流體系統(tǒng)上的所有外力的矢量和。左端第一項——是控制體內(nèi)流體動量隨時間變化產(chǎn)生的力，它反映流體運動的非定常性

左端第二項——是單位時間內(nèi)流體流入和流出控制體的動量之差，它表示流入動量與流出動量不等所產(chǎn)生的力。積分形式的動量方程第十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.2對控制體的流體力學積分方程定常流動條件：定常流動條件下，控制體內(nèi)質(zhì)量力與控制面上的表面力的主矢量之和應等于單位時間通過控制體表面的流體動量通量的主矢量，而與控制體內(nèi)部的流動狀態(tài)無關(guān)。第十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.2對控制體的流體力學積分方程動量方程是矢量方程，在直角坐標系中的分量式如下：動量方程應用上式時必須注意：力和速度沿坐標軸正向時為正矢量點積存在正負，流入為負，流出為正第十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.2對控制體的流體力學積分方程伯努利方程xyz流場中一流管元：定常、無摩擦、均質(zhì)、不可壓定常流動條件下：質(zhì)量守恒第十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.2對控制體的流體力學積分方程動量方程：外力：只有兩端面的壓力、流管側(cè)表面的壓力和質(zhì)量力伯努利方程P64定常、無摩擦、均質(zhì)、不可壓控制體為運動的情況時，連續(xù)方程和動量方程的情況見書P65兩方程的形式和固定控制體的形式一樣，只是將速度換為相對于運動控制體的相對速度例題4-6第二十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五

代表單位質(zhì)量流體的動量矩，則為流體系統(tǒng)的動量矩，它的隨體導數(shù)為：§4.2對控制體的流體力學積分方程C、動量矩方程根據(jù)動量矩定理：流體系統(tǒng)動量矩的時間變化率等于作用在流體系統(tǒng)上的外力矩的矢量和，即：積分形式的動量矩方程根據(jù)輸運公式第二十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.2對控制體的流體力學積分方程定常流動條件下：定常流動條件下積分形式的動量矩方程忽略表面力和對稱質(zhì)量力所產(chǎn)生的力矩，對定常流動第二十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.2對控制體的流體力學積分方程動量矩方程在旋轉(zhuǎn)式流體機械中的應用與旋轉(zhuǎn)半徑垂直的速度分量產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)遞給葉輪的功率能量頭CV第二十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.2對控制體的流體力學積分方程根據(jù)能量守恒和轉(zhuǎn)換定律，流體系統(tǒng)中能量的時間變化率應等于單位時間質(zhì)量力和表面力對系統(tǒng)所做的功加上單位時間與系統(tǒng)交換的熱量。e單位質(zhì)量流體的能量，則

流體系統(tǒng)的總能量根據(jù)輸運公式D、能量方程初始時刻系統(tǒng)與控制體重合第二十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.2對控制體的流體力學積分方程式中功由從外界向控制體內(nèi)輸入的功率和表面力所完成的功率。表面力對控制體作的功率：1、正應力對控制體作的功率對整個控制面對微元控制面2、切應力對控制體作的功率對整個控制面第二十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五2、切應力對控制體作的功率對整個控制面上述面積分分三種情況討論：1、如果控制面的部分表面為旋轉(zhuǎn)表面，則這部分表面上的切應力所作的功已歸入軸功之中；2、部分控制體表面可能是靜止固體表面，則因為此時，在這部分控制面上的積分為零；3、控制面表面是流體流進或流出控制體的通道，此時可以通過恰當選取控制面的方位和形狀使控制面和流體的速度相互垂直，，這部分表面積分也為零。§4.2對控制體的流體力學積分方程對整個控制面1、正應力對控制體作的功率在上述控制面條件下，外界對控制體做功為：第二十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五4.2對控制體的流體力學積分方程控制體能量方程外界對控制體作的功率第二十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五4.2對控制體的流體力學積分方程對于定常流動對于定常絕能流動重力場中的一維絕能定常流積分形式的能量方程第二十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五4.2對控制體的流體力學積分方程流體流動參數(shù)在進、出口截面上均勻分布，且控制體只有一個進口和一個出口時第二十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第四章流體動力學基礎§4.1系統(tǒng)和控制體，雷諾輸運定理§4.2對控制體的流體力學積分方程§4.3微分形式的連續(xù)性方程§4.4微分形式的動量方程——N-S方程第三十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.3微分形式的連續(xù)性方程一）微分形式的連續(xù)性方程的推導：[微元控制體內(nèi)流體質(zhì)量增長率]+[通過微元控制體界面流出的總質(zhì)量流量]=0X方向y方向z方向第三十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.3微分形式的連續(xù)性方程[微元控制體內(nèi)流體質(zhì)量增長率]+[通過微元控制體界面流出的總質(zhì)量流量]=0上式為微分形式的連續(xù)性方程，是流體力學重要的基本方程之一。定常密度場第三十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.3微分形式的連續(xù)性方程不可壓縮流體上式對定常流動和非定常流動都適用第三十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第四章流體動力學基礎§4.1系統(tǒng)和控制體，雷諾輸運定理§4.2對控制體的流體力學積分方程§4.3微分形式的連續(xù)性方程§4.4微分形式的動量方程——N-S方程第三十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.4微分形式的動量方程——N-S方程一、粘性流體中的應力理想流體中，由于不存在粘性，無論流體是靜止的還是在運動，流體中沒有切應力。只有法向應力的存在。而且此法向應力只能是壓應力，它的大小與作用面無關(guān)，只是作用點空間位置的函數(shù)。YXCZσzσxσyσnBAo第三十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五2）粘性流體中，由于存在粘性，流體作用面上除了有法向應力外還有切向應力?？倯Σ辉俅怪庇谧饔妹妗！?.4微分形式的動量方程——N-S方程粘性流體中一點的應力可以用3個相互垂直平面上的9個應力分量表示取n的方向為y軸正向：取n的方向為x軸正向：取n的方向為z軸正向：第三十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.4微分形式的動量方程——N-S方程在流場中取一正六面體流體微團，邊長為中心點的應力張量為：可以得到六個面上的應力張量大小和方向，如圖第三十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.4微分形式的動量方程——N-S方程可以得到三個坐標軸方向的合力大?。旱谌隧?，共七十二頁，編輯于2023年，星期五1、應力形式的粘性流體運動微分方程§4.4微分形式的動量方程——N-S方程二）不可壓縮粘性流體的運動微分方程（N-S方程）推導

根據(jù)牛頓第二定律，可寫出微團的運動微分方程

第三十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.4微分形式的動量方程——N-S方程上式為應力形式的粘性流體運動微分方程第四十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.4微分形式的動量方程——N-S方程上述方程是用應力形式表示的粘性流體運動微分方程，式中的單位質(zhì)量力和密度是已知的，其余九個應力和三個速度分量都是未知數(shù)，共計有十二個未知數(shù)。三個運動微分方程和一個連續(xù)性方程聯(lián)立只能解四個未知數(shù)。因此必須找出應力與應變速度之間的關(guān)系才能使未知數(shù)減少。第四十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五在OYZ平面上A點取流體微團，設轉(zhuǎn)動角速度為根據(jù)達朗伯原理，作用在平行六面體上的各力對通過中心A并與X軸的力矩之和應等于零。

§4.4微分形式的動量方程——N-S方程2、切向應力與旋轉(zhuǎn)變形速度之間的關(guān)系：第四十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.4微分形式的動量方程——N-S方程廣義牛頓內(nèi)摩擦定律切應力與剪切變形速度之間的關(guān)系：第四十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.4微分形式的動量方程——N-S方程3、法向應力與線變形速度之間的關(guān)系：

粘性流體中，由于受粘性的影響，流體微團既有角變形又有線變形，會產(chǎn)生附加的法向應力（該應力等于動力粘度與兩倍的線應變速度的乘積。）理想流體中，同一點各方向的法向應力是等值的，即第四十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.4微分形式的動量方程——N-S方程法向應力與線變形速度之間的關(guān)系切向應力與旋轉(zhuǎn)變形速度之間的關(guān)系上述應力和變形速度關(guān)系的方程稱為本構(gòu)方程第四十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.4微分形式的動量方程——N-S方程對于不可壓縮流體，最后一項=0，上式可簡化為：引入壓強梯度和拉普拉斯算子：N-S方程第四十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.4微分形式的動量方程——N-S方程1、N—S方程是二階非線性偏微分方程，僅適用于牛頓流體，在流體力學中具有普遍意義。但該方程解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性即該方程的適定性問題，至今在數(shù)學上還沒有解決。該方程只能在一些特殊的邊界條件下才有解析解；3、對層流或紊流狀態(tài)時的真實流場，N—S方程都可應用，但對紊流的時均流場，N—S方程將演變?yōu)槔字Z方程；2、對于理想流體，N—S方程變成不可壓縮理想流體歐拉運動微分方程；對于靜止流體又變成歐拉平衡方程；4、N—S方程的邊界條件與理想流體歐拉運動方程不同。靜止物面的邊界條件為

運動物面的邊界條件為第四十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§4.4微分形式的動量方程——N-S方程三、流體運動方程組的封閉問題a、流體的任何流動必須滿足連續(xù)性方程和運動微分方程組，且方程組要封閉。b、連續(xù)性方程和運動微分方程組共計四個方程。在這四個方程中發(fā)現(xiàn)有五個未知數(shù)，方程組不封閉需增添封閉方程。c、封閉方程：對于不可壓縮流體，密度等于常數(shù)，它的封閉方程為：對于正壓流體，密度僅是壓強的函數(shù)，它的封閉方程為：

第四十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五A、初始條件

——初始條件是對不定常流動問題提出的，即給出某一時刻流場的中各點的所有運動參數(shù)值，方程組的解必須滿足這一初始條件。§4.4微分形式的動量方程——N-S方程四、流體運動方程組的定解條件問題1）運動學條件——理想流體沒有粘性，流體質(zhì)點的速度與物面只能相切，即流體質(zhì)點速度不可能有穿越物體表面的法向分量。B、邊界條件2）動力學條件——指邊界表面上的流體壓力條件。根據(jù)作用于反作用定律，即流場邊界面處流體的壓力與固體壁面所受的壓力相等。第四十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五伯努利方程、動量方程、動量矩方程的應用

第五十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五動量方程的應用伯努利方程、動量方程、動量矩方程的應用第五十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五動量方程的應用1）彎曲噴管受力分析已知:設固定的收縮管的前半部向下彎曲,偏轉(zhuǎn)角為θ,A0=0.00636m2,Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水噴入大氣，忽略重力作用。求：(1)水流對噴管的作用力F的表達式

(2)若θ=30°,求水流對噴管的作用力

第五十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五解：1.只包含水流的控制體2.建立如圖所示坐標系oxy。3.由一維不可壓縮流體連續(xù)性方程第五十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五4.由伯努利方程因p3=0,p0=395332.85pa5.由一維定常流動動量方程設水對噴管的作用力F如圖所示。本例中對控制體的合外力包括噴管對水流的反作用力－F和壓強合力。作用在控制面上的壓強用表壓強表示，本例中入口截面壓強為p0，方向沿x軸正向；出口截面壓強為零：(1)F的表達式為(2)設θ=30°,F在x,y方向的分量式為第五十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五壓強合力動量變化討論：(1)一般可不必考慮大氣壓強作用，控制面上壓強用表壓強即可。(2)力F的方向可任意設定，計算出的數(shù)值為正說明假設方向正確。若欲求固定噴管的力，該力通過噴管直接作用在水流上，與本例F大小相等，方向相反。(3)從計算結(jié)果來看,噴管受力中壓強占主要成分,流體加速造成的動量變化引起的力只占次要成分.當θ角改變時,壓強合力保持不變,僅動量變化引起力的改變,且占的比例始終很小.如在Fx中動量變化占的比例在θ=83.62°時為零,在θ=180°時為最大值,占25%.第五十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五動量方程的應用2）主動脈弓流動已知:圖示人主動脈弓,設血液的密度為ρ=1055kg/m3

求：從控制體凈流出的動量流量第五十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五主動脈弓流動：多個一維出入口動量方程解：建立坐標系oxy如圖所示第五十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五主動脈弓流動：多個一維出入口動量方程討論：計算結(jié)果表明從控制體凈流出的動量流量很小，這說明血流對主動脈弓壁的沖擊力很小。Δ(mV)y=ρQ1(0.11V2cos16°+0.07V3cos6°+0.04V4cos23°-0.78V5-V1)

=0.1055(0.11×11.6×0.9613+0.07×18.2×0.9945+0.04×8×0.9205

-0.78×24.8-20.4)×10-2

=-0.039N

Δ(mV)x=ρQ1(－0.11V2sin16°+0.07V3sin6°+0.04V4sin23°)=0.1055(-0.11×11.6×0.2756+0.07×18.2×0.1045+0.04×8×0.3907)×10-2凈流出控制體的動量流量的x、y坐標分量為

=-1×10–4N

第五十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五動量方程的應用如果上下游的氣體壓強都相同，試證明，平板受到的氣流作用力為例題：一塊單位寬度的平板放在氣流中平板上游的氣流速度均勻分布，下游的速度分布為第五十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五動量方程的應用4、利用動量方程計算作用力3、建立連續(xù)性方程1、作控制體2、確立坐標系解：第六十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五伯努利方程、動量方程、動量矩方程的應用動量矩方程的應用第六十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五已知:一小型混流離心泵如圖。d1=30mm，d2=100mm，b=10mm,n

=4000轉(zhuǎn)/分，。動量矩方程的應用CV1）混流式離心泵求：(1)輸入軸矩Ts(2)輸入軸功率

第六十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五求：(1)輸入軸矩Ts混流式離心泵：固定控制體動量矩方程

已知:一小型混流離心泵如圖。d1=30mm，d2=100mm，b=10mm, n=4000轉(zhuǎn)/分，=3m/s。(2)輸入軸功率

解：取包圍整個葉輪的固定控制體CV，忽略體積力和表面力。設流動是定常的，由連續(xù)性方程可得CV第六十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五混流式離心泵：固定控制體動量矩方程

Vθ1=0,由歐拉渦輪機方程輸入功率為

葉輪旋轉(zhuǎn)角速度為

ω=2πn/60=2π×4000/60=418.88(1/s)

出口切向速度為

Vθ2=ωR2=ωd2/2=418.88×0.1/2=20.94(m/s)

第六十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五

動量矩方程的應用2）灑水器已知:灑水器示意圖。R=0.15m,噴口A=40mm2,θ=30°,Q=1200ml/s

， 不計阻力。求：(1)Ts=0時，旋轉(zhuǎn)角速度ω(1/s）；

(2)n=400轉(zhuǎn)/分的軸矩Ts和軸功率

第六十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五已知:灑水器示意圖。R=0.15m,噴口A=40mm2,θ=30°,Q=1200ml/s， 不計阻力