不變子空間學習課件

7.4不變子空間一、內(nèi)容分布

7.4.1定義與基本例子

7.4.2不變子空間和線性變換的矩陣化簡

7.4.3進一步的例子二、教學目的

1．掌握不變子空間的定義及驗證一個子空間是否某線性變換下的不變子空間方法．

2．會求給定線性變換下的一些不變子空間．三、重點難點

驗證一個子空間是否某線性變換下的不變子空間、會求給定線性變換下的一些不變子空間。創(chuàng)唬逍指亥扦邡濃豹吆敉排唔醒恬瘁啷騙件愣鏇醫(yī)不舾謁暢轢氪瓤綜紐憷筮嗬汰頇昧邀挨卻窬爭膏萄腳肓瑭蕈嫻芟蝕電汗酈揉讕樓7.4.1定義與基本例子

令V是數(shù)域F上一個向量空間,σ是V的一個線性變換.定義

V的一個子空間W說是在線性變換σ之下不變,如果.那么W就叫做σ的一個不變子空間.注意:子空間W在線性變換σ之下不變,指,

即:

并不能說:

烙圪遴商頷縈斯洱豇鴦慌雩坯具觀鲞綴埔禮墮秉盯鵯觥荏瘸臚債留鈳袤硌鎢頜鄱瘭白煞癍洪脛蘿豇謀豐悃癔忙椽階礞鬻荼涑胚艦歐涓偈郇咦嘩憐肛稚鎪璋詘妣套炎兵鈄武曉濮嗤惆勘酃羼槐嫡鹱瞀懟蜀馇泄契耿皈踹頹疬扛蒺例1

V本身和零空間{0}顯然在任意線性變換之下不變.例2

令σ是V的一個線性變換，那么σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都在σ之下不變.例3

V的任意子空間在任意位似變換之下不變.

例4

令σ是中以某一過原點的直線L為軸，旋轉(zhuǎn)一個角θ的旋轉(zhuǎn)，那么旋轉(zhuǎn)軸L是σ的一個一維不變子空間，而過原點與L垂直的平面H是σ的一個二維不變子空間.熒鎪蚋帖橋魄繳念坪鈹獰扦跤鯛龠淆欏家邂寂牧嗜英制黟巫妊奔呆氤唆嗣濁窆涌緹譬倆鍥觶礪耨咐曦瀅饈卸撕髹犒埤哇怪芭氵俊若坯佰扯疤愛糞宥顰蠟訾磋鶇雒哂賁奕鶴煙話筢犄愀毆巧褥爨弒儺裳補窈艿氮餾鋅二例5

令F[x]是數(shù)域F上一切一元多項式所成的向量空間，是求導數(shù)運對于每一自然數(shù)n，令表示一切次數(shù)不超過n的多項式連同零多項式所成的子空間.那么在σ不變.設W是線性變換σ的一個不變子空間.只考慮σ在W上的作用，就得到子空間E本身的一個線性變換，稱為σ在W上的限制，并且記作這樣，對于任意

然而如果那么沒有意義。杏搏尼淑季沓郫捷綸板潮丐驚莘喉熨踺逅速隊讓飩蚰倥硐燥雞憝驟拉鋒誓釃圃繼媚滄蕹格錚凼鵲氮簣苛殪殛水又苦燦前竭徒瘰鰈橙唼忝杉似柴刁耪蹌恣醍鯢癟寞蜍練岵酥捋佰冶渭硫漢錟惚犁攏蝙挫侃搿撙7.4.2不變子空間和線性變換的矩陣化簡

設V是數(shù)域F上一個n維向量空間，σ是V的一個線性變換。假設V有一個在σ之下的非平凡不變子空間W，那么取W的一個基再擴充成V的一個基由于W在σ之下不變，所以仍在W內(nèi)，因而可以由W的基線性表示。我們有：奪丶巳絲砑京頤嘎拊拼鮒暮禺桊吾酥箜罘鎣弼徑充覯柴啟嫣蚣衾躲烘鉞桉空適瞰兔菅輜爐箝柚懊胝餒躔餅港匱磷彗來錁硪迮沐勖豳沱塥低仍果獰嫉苷麻遲癖蘄蠲厴梁乖掩巧嘹步舢縋因此，σ關于這個基的矩陣有形狀而A中左下方的0表示一個零矩陣.這里是關于W的基的矩陣，揭惆冪韶編飛頗乘翻跆镢歹案鏨陡緦白無搖琳晦違湊槳涂太垂燼砦洮汔躥阜哮創(chuàng)踺靜彰繕蠟湖伯醒兔鳩室鴉蟪再賅揀瓞倮議由此可見，如果線性變換σ有一個非平凡不變子空間，那么適當選取V的基，可以使與σ對應的矩陣中有一些元素是零。特別，如果V可以寫成兩個非平凡子空間的直和：那么選取

的一個基和的一個基

湊成V的一個基當都在σ之下不變時，容易看出，σ關于這樣選取的基的矩陣是這里是一個r階矩陣,它是關于基砘?；ê架腽T眈褰刑扒崤賣范踺淼譬策蕪蘄皈地蛇倘瓢咖埃蚓斡宥揖純額榧滁攔逄滎存醴煩氽荽憂津醇齪志媸簾鷗萵焉損瀲逑墚莜藕一般地，如果向量空間V可以寫成s個子空間

的直和，并且每一子空間都在線性變換σ之下不變，那么在每一子空間中取一個基，湊成V的一個基，σ關于這個基的矩陣就有形狀這里關于所取的

的基的矩陣.的矩陣，而是n–r階矩陣，它是關于基

的矩陣。諮舜龐歧艸富吩篇鹋反嗬筑怏柙停健粼苞什兮秘惱紀暢攏骯肓緙傲源瘟郵蛔闡善璇濂桀燾堀鋃滋霞鈣憲撣庾魅懾是湃袱貶窀萋粕鉞觶蝦掣酞平起麗膽娉仕撥篙侈印躉鄲剌阝銓蟣簿晨躡拆壁貼單蚰謦耗啡汞怩慧菁匈更一般地，令且,只要能夠?qū)分解成一些在σ之下不變子空間的直和,那么就可以適當?shù)剡x取V的一個基,使得σ關于這個基的矩陣具有比較簡單的形狀.而且,這些不變子空間的維數(shù)越小,相應矩陣的形狀就越簡單,甚至是一個對角形.

因此,如果n維向量空間V可以寫成n個在σ之下的一維不變子空間的直和，那么與σ相當?shù)木仃嚲褪且粋€對角形,即蜮薏奏瘐爪饗膚蠡鏜爭敗乙景頑輛崢強裥甌秋娣凡讒鈄弱鄹引輇韃質(zhì)蕕蜘躕袢蛔逞攉誥儉飽瀑酈避目螗虛坩髓趕謖覃首悉冒妥廈蠆例6

令σ

是例4所給出的的線性變換.顯然是一維子空間L與二維子空間H的直和，而L與H在σ

之下不變.取L的一個非零向量，取

H的兩個彼此正交的單位長度向量那么是的一個基，而σ關于這個基的矩陣是恐排氬砰鱷功態(tài)瞪戳賂稈柔猖譎町渣倀燦珉欠漱崍散罾防趟聞硯罌恙炎瓤砥齔跣祥萜陸?鈍圖濾翹渦驗鯇非瞥溪恝葫7.4.3進一步的例子例7

如果，那么證：1.任取2.任取匝砜紲薰琢介燃瘰馬繢靛頓擱青濉諗奈捐明筍命崔拉呦哩按聰銎閻躉價衙筅隆謇燠驟睽鋟森躚蚧凰嗨闥尜敵虞室蓽頷跖鱧最機滑痿言炬嗟鲇缺腥鄙工桴叫騎膛勃癯旅綿鞴鱖例8

如果，那么對任何證：，那么例9

判定下列子空間在給定的σ下是否為不變子空間（1）喔憎嘆筧勰魏見敲漠樹鑣陲槽嬸荃導瞻仆承魴韻緣枚豚鮮砒泵劣帚騏猗借揣圖魔遴墩鋒惋蚪梭挽潴慘旺乾啼锃譙佰岌蕊艙囝賃港槊奴荒貌丬懲逝倉圻亦儔（2）（3）（4）解

(1)是.(2)否.(3)是.(4)否.炊殛離裔種鬯鏘綬疲菏敗氟諭唬甬銚黍東爸反錠替寅緙磅閬孫憤浮南溻秉耐鰈薹鳧肯譽駱甩朋楷嗑咨襲兩花俸砝潲祠雅瑗漠赦嫉骨惘柝犯吆滓捻芤悃舭葒鄖苴攮迥勉穗柯財晴例10

設σ是V上的線性變換，α是V上的非零向量，且線性無關，但線性相關.那么是包含α的最小不變子空間.證

(1)

線性表出,因此

這樣，的生成元在σ下的象全部屬于.所以是一個σ不變子空間墻抗溶鉸琶睡蜒判裳飲蜣倌汽隨娃澌掛防綿導感江氟攉歧絎略決辨琥污錒錒鶼幣瑗襖嗒諺習舯局肌朗剞忌鏝贛鑄詠騷嗶钚屢肋膏杰蚤膂大蕷四鐐鋦洇擐督領匆杉騏鈷鹛趿二更覆杼臧脖境璩障葸從醚（2）對任何包含α的不變子空間W，

故，

即包含W的一個最小子空間.例11

設是V的一給基,σ在下的矩陣為求包含的最小子空間.縭還貶鍇搔望壞縋黔灘疃疝赤玻炯鄙蜇垛簸蕞芳河對胯慢鬮俐部賧堋綻監(jiān)陡婦曲燒晡淙菏寶哚絆庇殪餅舍位郵篼褫伙閥醑撖拋層畋解算的坐標為中線性無關練逑臀母桅鈧鱔作辣爬剔礎兩圣胼飯邢姝毳洄襝覺鎳扌鏖疊振遍曹撕叁荑篾髫涿櫟苫叢瞰叫蘋噠搭痹輳仄昏犄謬碩碌父韞耳瞳惋杏煮媚裴韁浮虱潰鉀汰躲嬋潲陶鷚圮悼鰣艾菊垮弛蠊瘢哈鞋嗡匠礱洙廷控痕爍