2013年全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題論文詳解

校102930152.盧詩(shī)堯南京郵電大學(xué)

參賽密碼校102930152.盧詩(shī)堯南京郵電大學(xué)（由組委會(huì)填寫）

第十屆華為杯全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

學(xué)

參賽隊(duì)號(hào)1.仲偉奇隊(duì)員姓名3.江愛珍

功率放大器非線性特性及預(yù)失真建模，用polyfit函數(shù)或矩陣運(yùn)算求解，最終根據(jù)GE功率放大器非線性特性及預(yù)失真建模，用polyfit函數(shù)或矩陣運(yùn)算求解，最終根據(jù)GE值最小確（由組委會(huì)填寫）

第十屆華為杯全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

題目摘要：

本文根據(jù)函數(shù)逼近Weierstrass定理對(duì)功放的非線性特性建立多項(xiàng)式數(shù)學(xué)模型。對(duì)于無記憶功放，直接用matlab中polyfit函數(shù)或矩陣運(yùn)算求解，用NMSE值來評(píng)價(jià)不同階數(shù)所得的多項(xiàng)式模型，最終將多項(xiàng)式模型的階數(shù)定為4，此時(shí)NMSE47.13dB，系數(shù)詳見4.1.3；根據(jù)線性原則和兩個(gè)約束條件建立預(yù)失真的多項(xiàng)式模型，采用查表法求得預(yù)失真器的輸入和輸出，建立目標(biāo)誤差函數(shù)

GEminN|z(n)z(n)|2定多項(xiàng)式階數(shù)為n112,此時(shí)NMSE-50.877dB，系數(shù)詳見4.2.3。對(duì)于有記憶功放，在無記憶的基礎(chǔ)上建立模型，增加延遲項(xiàng)來表征記憶效應(yīng)，通過矩陣運(yùn)算求解，然后用NMSE值評(píng)估確定記憶效應(yīng)多項(xiàng)式階數(shù)為4，記憶深度為3，此時(shí)NMSE44.3839dB，系數(shù)詳見4.3.3；根據(jù)功放的非線性模型，，建立預(yù)失真器的有記憶效應(yīng)多項(xiàng)式模型，利用功放的輸入輸出數(shù)據(jù)間接得到預(yù)失真器的輸入輸出，再用矩陣運(yùn)算，用NMSE值來評(píng)估確定階數(shù)為4，記憶深度為3，系數(shù)詳見4.4.3，此時(shí)NMSE19.0058dB。運(yùn)用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換對(duì)的性質(zhì)，對(duì)自相關(guān)函數(shù)作傅里葉變換求得功率譜密度，分析得出傳輸信道范圍，最終得出輸入信號(hào)、有無預(yù)失真補(bǔ)償三類信號(hào)的ACPR值分別為47.1212dB，37.4586dB，38.7557dB，得出預(yù)失真補(bǔ)償后的ACPR值要比補(bǔ)償前要小。關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)擬合查表法NMSE/EVM評(píng)價(jià)矩陣運(yùn)算多項(xiàng)式模型

為時(shí)間變量，則功放非線性在數(shù)學(xué)上可表示為，其中G為非線預(yù)失真技術(shù)的原理框圖示意為時(shí)間變量，則功放非線性在數(shù)學(xué)上可表示為，其中G為非線預(yù)失真技術(shù)的原理框圖示意z(t)G(x(t))

一問題重述

1.1問題引入信號(hào)的功率放大是電子通信系統(tǒng)的關(guān)鍵功能之一，其實(shí)現(xiàn)模塊稱為功率放大器（PA，PowerAmplifier），簡(jiǎn)稱功放。功放的輸出信號(hào)相對(duì)于輸入信號(hào)可能產(chǎn)生非線性變形，這將帶來無益的干擾信號(hào)，影響信信息的正確傳遞和接收，此現(xiàn)象稱為非線性失真。傳統(tǒng)電路設(shè)計(jì)上，可通過降低輸出功率的方式減輕非線性失真效應(yīng)。功放非線性屬于有源電子器件的固有特性，研究其機(jī)理并采取措施改善，具有重要意義。目前已提出了各種技術(shù)來克服改善功放的非線性失真，其中預(yù)失真技術(shù)是被研究和應(yīng)用較多的一項(xiàng)新技術(shù)，其最新的研究成果已經(jīng)被用于實(shí)際的產(chǎn)品（如無線通信系統(tǒng)等），但在新算法、實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度、計(jì)算速度、效果精度等方面仍有相當(dāng)?shù)难芯績(jī)r(jià)值。本題從數(shù)學(xué)建模的角度進(jìn)行探索。若記輸入信號(hào)x(t)，輸出信號(hào)為z(t)，

t

性函數(shù)。預(yù)失真的基本原理是：在功放前設(shè)置一個(gè)預(yù)失真處理模塊，這兩個(gè)模塊的合成總效果使整體輸入-輸出特性線性化，輸出功率得到充分利用。原理框圖如圖1-1所示。

圖1-1

1.2問題研究在上述提供的背景材料以及自行查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料的基礎(chǔ)上，請(qǐng)你們的團(tuán)隊(duì)研究下列問題。要求寫出計(jì)算的過程、注明所用的優(yōu)化方法、解釋選擇中間參數(shù)的理由、并附上所用的程序（C/C++/Java/Matlab等）。為保證所用模型的工程可實(shí)現(xiàn)性，請(qǐng)考慮選用適當(dāng)復(fù)雜度的模型和算法。以下各題中的數(shù)學(xué)建模鼓勵(lì)創(chuàng)新，不局限于背景介紹的模型方法。1.無記憶功放數(shù)據(jù)文件1給出了某功放無記憶效應(yīng)的復(fù)輸入-輸出測(cè)試數(shù)據(jù)，其輸入-輸出幅度圖為：

f10log)30.721232]s(f)f10log)30.721232]s(f)dff

22s(f)df（1-1）

請(qǐng)根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，完成以下任務(wù)。A．建立此功放的非線性特性的數(shù)學(xué)模型，然后用NMSE評(píng)價(jià)所建模型的準(zhǔn)確度。B．根據(jù)線性化原則以及“輸出幅度限制”和“功率最大化”約束，建立預(yù)失真模型。寫出目標(biāo)誤差函數(shù)，計(jì)算線性化后最大可能的幅度放大倍數(shù)，運(yùn)用評(píng)價(jià)指標(biāo)參數(shù)NMSE/EVM評(píng)價(jià)預(yù)失真補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)果。2.有記憶功放數(shù)據(jù)文件2給出了某功放的有記憶效應(yīng)的復(fù)輸入-輸出數(shù)據(jù)，請(qǐng)完成以下任務(wù)。A．建立此功放的非線性特性的數(shù)學(xué)模型，然后用NMSE評(píng)價(jià)所建模型的準(zhǔn)確度。B．根據(jù)線性化原則以及“輸出幅度限制”和“功率最大化”約束，以框圖的方式建立預(yù)失真處理的模型實(shí)現(xiàn)示意圖（提示：可定義基本實(shí)現(xiàn)單元模塊和確定其之間關(guān)系，組成整體圖），然后計(jì)算預(yù)失真模型相關(guān)參數(shù)。運(yùn)用評(píng)價(jià)指標(biāo)參數(shù)NMSE/EVM評(píng)價(jià)預(yù)失真補(bǔ)償?shù)挠?jì)算結(jié)果。3．拓展研究相鄰信道功率比（AdjacentChannelPowerRatio，ACPR）是表示信道的帶外失真的參數(shù)，衡量由于非線性效應(yīng)所產(chǎn)生的新頻率分量對(duì)鄰道信號(hào)的影響程度。其定義為ACPR10f

f1其中s(f為信號(hào)的功率譜密度函數(shù)，[f1,f為傳輸信道，[f2,f3]為相鄰信道。

功率譜密度的計(jì)算可通過對(duì)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行Fourier變換計(jì)算，也可以通過直接法等計(jì)算（假定本題涉及的信號(hào)為時(shí)間平穩(wěn)信號(hào)）。如果題2所附的數(shù)據(jù)采樣頻率FsMHz，傳輸信道按照20MHz來

算，鄰信道也是20MHz。根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，請(qǐng)計(jì)算功放預(yù)失真補(bǔ)償前后的功率譜密度，并用圖形的方式表示三類信號(hào)的功率譜密度（輸入信號(hào)、無預(yù)失真補(bǔ)償?shù)墓β史糯笃鬏敵鲂盘?hào)、采用預(yù)失真補(bǔ)償?shù)墓β史糯笃鬏敵鲂盘?hào)），最后用ACPR對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析評(píng)價(jià)。

：功放非線性模型的各次冪系數(shù)組成的矩陣；：功率放大器的理想“幅度放大系數(shù)”，g1；?：預(yù)失真器的特性；

二：功放非線性模型的各次冪系數(shù)組成的矩陣；：功率放大器的理想“幅度放大系數(shù)”，g1；?：預(yù)失真器的特性；

1.假設(shè)題目所給的數(shù)據(jù)真實(shí)可靠；2.假設(shè)功放在無輸入時(shí)仍有很小的輸出值；3.假設(shè)功放的輸入數(shù)據(jù)不會(huì)導(dǎo)致飽和溢出；

三符號(hào)說明

x(t)：輸入信號(hào)；

x(n)：離散采樣后輸入信號(hào)；

z(t)：功率放大器的輸出信號(hào)；

z(n)：離散采樣后功率放大器的輸出信號(hào)；

f(t)：預(yù)失真器的輸出信號(hào)；

f(n)：離散采樣后預(yù)失真器的輸出信號(hào)；

HA：預(yù)失真器非線性模型的各次冪系數(shù)組成的矩陣；g

G?：功放的輸入-輸出傳輸特性；

F

M：有記憶功放的記憶深度；N：離散采樣值的個(gè)數(shù)；NMSE：歸一化均方誤差值；

四模型的建立和求解

4.1無記憶功放模型的建立和求解

4.1.1問題分析該問題是建立無記憶功放的非線性數(shù)學(xué)模型，從而根據(jù)該模型來建立預(yù)失

NMSEKKK（4-3）Tt[0,T]hxK(n)（4-1）n0,1,2,,NNMSEKKK（4-3）Tt[0,T]hxK(n)（4-1）n0,1,2,,N（4-2）該問題的某一時(shí)刻的輸出僅與此時(shí)刻的輸入有關(guān)，因此無延遲項(xiàng)，根據(jù)題中的背景介紹，可以根據(jù)函數(shù)逼近的Weierstrass定理，建立簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式來表示非線性函數(shù)模型，最終應(yīng)用matlab的數(shù)據(jù)擬合即可得出無記憶功放的非線性特性的數(shù)學(xué)模型非線性失真主要有幅度失真和相位失真，但是根據(jù)問題一所給的數(shù)據(jù)分析得到輸入與輸出不存在相位上的失真，每組數(shù)據(jù)只是幅度放大的倍數(shù)是不一致的。因此在該問題中數(shù)據(jù)擬合時(shí)無需針對(duì)相位信息進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，只需要針對(duì)幅度來擬合出適合的非線性模型，即多項(xiàng)式模型。最后通過值的優(yōu)劣來選擇適合的非線性的階數(shù)。

4.1.2模型建立根據(jù)題目所給的背景資料，無記憶功放的非線性模型可以采用簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式來表示。在該題中，無記憶功放在某一時(shí)刻的輸出僅與此時(shí)刻的輸入有關(guān)，因此，可以將此功放的非線性特性模型表示為

z(t)hxk(t)kk0

其中：z(t)為功放的輸出值；

x(t)為功放的輸入值；K為非線性的階數(shù)（即多項(xiàng)式的次數(shù)）；h為第k階的系數(shù)。k在所給的題目中，所給的數(shù)據(jù)都是經(jīng)過離散采樣后的值，因此，對(duì)于式（4-1）可用離散多項(xiàng)式來建立非線性數(shù)學(xué)模型：

z(n)hxk(n)hx(n)hx2(n)k12k0

其中：z(n)為離散采樣后功率放大器的輸出信號(hào)；

x(n)為離散采樣后功率放大器的輸入信號(hào)；K為非線性的階數(shù)（即多項(xiàng)式的次數(shù)）；h為第k階的系數(shù)；kN為離散采樣值的個(gè)數(shù)。為了計(jì)算各次冪系數(shù)h，對(duì)于共有N個(gè)時(shí)刻的輸入輸出關(guān)系，也可以將式k（4-2）改寫成矩陣的形式ZXHX(XXX12N

xih)T；kNHHH是矩陣的共軛轉(zhuǎn)置；Y:-210.75NMSE的關(guān)系圖x2iz(N))T（4-4）1015202530xKi35xih)T；kNHHH是矩陣的共軛轉(zhuǎn)置；Y:-210.75NMSE的關(guān)系圖x2iz(N))T（4-4）1015202530xKi35)；i40iiH是（K1）個(gè)系數(shù)構(gòu)成的縱向量，H(hh01Z共有個(gè)時(shí)刻的輸出，即Z(z(1)z(2)

這時(shí)，通過NMSE評(píng)價(jià)，得到系數(shù)矩陣H的最優(yōu)值H(XX)1XZ

其中，X

(?)1是矩陣的逆。

4.1.3模型求解非線性失真主要分為幅度失真和相位失真，在該題中所給出的數(shù)據(jù)經(jīng)過分析后得出不存在相位上失真，每組輸入輸出數(shù)據(jù)的角度都是不變的，因此在求解該非線性模型時(shí)，無需對(duì)相位再進(jìn)行分析，只需要針對(duì)幅度來求解各次冪的階數(shù)以及非線性的階數(shù)。對(duì)于求解該非線性模型，其實(shí)就是數(shù)據(jù)擬合的過程。這里可以直接用matlab中的ployfit函數(shù)或者用式（4-4）的方法，即可得到各次冪的系數(shù)。對(duì)于模型的階數(shù)，可以用NMSE的值來評(píng)判，即不同階數(shù)K的模型的NMSE值越小，該階數(shù)就是越優(yōu)的。具體求解步驟：Step1：設(shè)定不同的階數(shù)，用polyfit函數(shù)或式（4-4）求解出各次冪的系數(shù)；Step2：求出不同階數(shù)時(shí)的NMSE值；Step3：比較NMSE值，得出最優(yōu)的階數(shù)。根據(jù)以上的算法思路，可以得到不同階數(shù)K的NMSE值，如圖4-1。

0

-50

-100

SENN-150

X:36-200

-2500

k圖4-1階數(shù)K與

,N所示，包含所得的z(n)與原數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)10.20.40.60.811.,N所示，包含所得的z(n)與原數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)10.20.40.60.811.21.4（4-5）36。但是考慮到在K=4時(shí)，NMSE=-47.13dB，擬合程度已經(jīng)相當(dāng)好，再增加階數(shù)，只會(huì)增加計(jì)算的復(fù)雜度，但效果不能再得到很明顯的改善。因此將階數(shù)K定為4，此時(shí)系數(shù)矩陣H[1.7595,4.2755,1.5757,2.8476,0.0011]。

此時(shí)，所得到的此功放的數(shù)學(xué)模型為：z(n)1.7595x4(n)4.2755x3(n)1.5757x2(n)2.8476x(n)0.0011

n0,1,2,

在此模型下，功放的輸入—輸出的幅度圖如4-2

原數(shù)據(jù)z(n)。

2

1.8

1.6

1.4

1.2

n)||(z0.8

0.6

0.4

0.2

00

|x(n)|

圖4-2功放的輸入—輸出幅度圖

由圖4-2可以看出，擬合的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的吻合程度很好，NMSE表示歸一化均方誤差，表征所計(jì)算的精度。NMSE越小，吻合程度越好，即計(jì)算精度越高。在NMSE30dB時(shí)，即可表明此時(shí)的計(jì)算精度已經(jīng)相當(dāng)高。當(dāng)階數(shù)K4時(shí)，NMSE值為-47.13dB（30dB），符合要求，因此所得到的非線性模型準(zhǔn)確度很高。

4.2無記憶功放預(yù)失真模型的建立和求解

4.2.1問題分析

G(F(x(t)))gx(t))是預(yù)失真器的特性，g是整個(gè)系統(tǒng)最后理想的放大倍數(shù)）。然后通過估計(jì)z(?t)|2。（4-6）是預(yù)失真器的特性；G(F(x(t)))gx(t))是預(yù)失真器的特性，g是整個(gè)系統(tǒng)最后理想的放大倍數(shù)）。然后通過估計(jì)z(?t)|2。（4-6）是預(yù)失真器的特性；KK（4-7）KaxK(n)n0,1,2,,N（4-8）制”和“功率最大化”為約束條件，建立預(yù)失真模型，并構(gòu)造出評(píng)價(jià)預(yù)失真模型的目標(biāo)誤差函數(shù)。對(duì)于“輸出幅度限制”就是限定預(yù)失真處理的輸出幅度不大于所給出的功放輸入的幅度最大值1.0553。對(duì)于“功率最大化”，需要滿足預(yù)失真處理后的輸出幅度盡可能的高。在該問題中，首先根據(jù)已建立好的無記憶功放模型，以及需要滿足的線性

化原則，得到（G(是功放的輸入-輸出傳輸特性，

F()

出F(x(t))的值（查表法），最后再通過數(shù)據(jù)擬合的方法得到預(yù)失真的模型。

對(duì)于目標(biāo)誤差函數(shù)，因?yàn)轭}目中沒有給出無失真的數(shù)據(jù)，因此在本文中，可以通過比較z(?t)G(F(x(t)))和z(t)gx(t)，從而得到最優(yōu)的預(yù)失真模型。即

設(shè)定目標(biāo)誤差函數(shù)GEminN|z(t)

n1最后將得到的預(yù)失真和功放的聯(lián)合模型用NMSE評(píng)價(jià)預(yù)失真補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)果。

4.2.2模型建立在該問題中，最重要的就是要使得整個(gè)系統(tǒng)呈線性，保證輸入與輸出數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，也就是要保證G(F(x(t)))gx(t)

其中：G(?)是功放的輸入-輸出傳輸特性；

F(?)

g是整個(gè)系統(tǒng)理想的放大倍數(shù)；

x(t)為功放的輸入值。

由式（4-6），可以看出預(yù)失真器也是非線性的，因此同樣可以將預(yù)失真器的線性模型設(shè)為

f(t)axk(t)t[0,T]kk0根據(jù)（4-7），預(yù)失真器模型的離散多項(xiàng)式為

f(n)axk(n)ax(n)ax2(n)k12k0

為第k階的系數(shù)；

為離散采樣值的個(gè)數(shù)。

TX

ia)T；kNz(?n)|2（xiz(N))T（4-10）4-9）x2ixK為第k階的系數(shù)；

為離散采樣值的個(gè)數(shù)。

TX

ia)T；kNz(?n)|2（xiz(N))T（4-10）4-9）x2ixKi)；

x(n)為預(yù)失真器的輸入；

akK為非線性的階數(shù)（即多項(xiàng)式的次數(shù)）；N式（4-8）寫成矩陣的形式為FXAX(XXX)12N其中：表示用于第i個(gè)時(shí)刻的建模輸入向量，X(x0iiA是（K1）個(gè)系數(shù)構(gòu)成的縱向量，A(aa01Z共有個(gè)時(shí)刻的輸出，即Z(z(1)z(2)

除此之外，要有“輸出幅度限制”，即f(n)1.0553?！肮β首畲蠡奔s束

就是要使得預(yù)失真之后的輸出要盡可能的大，即f(n)盡可能大。

由上述兩個(gè)約束條件，可以知道在預(yù)失真最大輸入為1.0553情況下，此時(shí)為了保證預(yù)失真輸出盡可能大，此刻的輸出為1.0553，經(jīng)過PA放大最多為1.9275，此時(shí)的放大倍數(shù)g1.8265，因此，在保證線性化原則以及兩個(gè)約束條

件的前提下，最大可能的放大倍數(shù)g1.8265。

對(duì)于目標(biāo)誤差函數(shù)的選擇可以采用最小差平方來評(píng)判，即

GEminN|z(n)

n1

其中，z(n)為整個(gè)系統(tǒng)的理想輸出，z(n)gx(n)；

z?(n)為所建模型的輸出，即z?(n)G(F(x(n)))。目標(biāo)誤差函數(shù)GE值越小，吻合程度越好。

4.2.3模型求解在該題中，題目沒有直接給出預(yù)失真器的輸出值，首先需要計(jì)算出對(duì)應(yīng)于輸入x(n)的預(yù)失真輸出值f(n)，然后再通過數(shù)據(jù)擬合的方法計(jì)算出預(yù)失真器的

系數(shù)矩陣A。

對(duì)于f(n)值的計(jì)算，主要采用查表的方法。首先將PA的輸入—輸出特性

關(guān)系用確切的數(shù)值表示出，按順序?qū)⑵浯嫒?mat文件中，因此輸入的精度應(yīng)盡可能高。然后根據(jù)線性原則G(F(n))gx(n)得到每個(gè)輸入x(n)得到整個(gè)系統(tǒng)后

的輸出值gx(n)，通過查表找出與gx(n)最為接近的值，通過此時(shí)存儲(chǔ)值的位

置來確定F(n)值。

具體的求解步驟如下：Step1：將輸入x(n)在[0,1.0553]范圍內(nèi)每隔0.0001取值，用無記憶功放的

非線性特性的模型計(jì)算出相對(duì)應(yīng)的輸出，按順序存放于.mat文件中（比如輸入為0.0001，則結(jié)果存儲(chǔ)在第1格中）；Step2：通過線性準(zhǔn)則得出當(dāng)輸入為x(n)時(shí)，輸出為gx(n)（g1.8265），

在.mat文件中找出與gx(n)最接近的值，然后根據(jù)具體位置除以10000即可，

當(dāng)輸入為0時(shí)，輸出也為0；Step3：找出與輸入x(n)相對(duì)應(yīng)的預(yù)失真輸出F(n)后，用polyfit函數(shù)即可

擬合出預(yù)失真器的非線性模型。Step4：通過目標(biāo)誤差函數(shù)GE可以得出最優(yōu)的非線性階數(shù)，目標(biāo)誤差函數(shù)越小，階數(shù)為最優(yōu)。根據(jù)上述的算法思路，可以得到當(dāng)g1.8265時(shí)，得到的目標(biāo)誤差函數(shù)與

階數(shù)K的關(guān)系圖，如4-3所示。

數(shù)

0.3212時(shí)，GE最小，值為0.0011。此時(shí)的系數(shù)矩陣0.4468101214數(shù)

0.3212時(shí)，GE最小，值為0.0011。此時(shí)的系數(shù)矩陣0.4468101214161820

0.6

0.5

GE

函差誤標(biāo)目0.2

0.1

00階數(shù)k

圖4-3階數(shù)K與GE的關(guān)系圖

如圖4-3所示，當(dāng)KA=[918.8,-4644,9910.2,-11509,7747.8,-2883,413.87,79.46,-37.44,4.05,-0.016,0.6,0]

在此模型下，預(yù)失真器輸入—輸出的幅度圖如5-4包含擬合的數(shù)據(jù)f(n)與

原數(shù)據(jù)gx(n)。

擬合數(shù)據(jù)n0.2可以看出擬合的數(shù)據(jù)f(n)與原數(shù)據(jù)gx(n)兩者擬合的程度很好。z(n)10.2z|(0.40.40.60.60.60.8擬合數(shù)據(jù)n0.2可以看出擬合的數(shù)據(jù)f(n)與原數(shù)據(jù)gx(n)兩者擬合的程度很好。z(n)10.2z|(0.40.40.60.60.60.80.8111.21.21.41.4原數(shù)據(jù)

1.2

1

0.8)|

0.4

0.2

00

|x(n)|圖4-4預(yù)失真器的輸入—輸出幅度圖由圖4-4

2g*x(n)1.8

1.6

1.4

1.2

|(n)|z

0.8

0.6

0.4

0.2

00

|x(n)|圖4-5整個(gè)系統(tǒng)的輸入—輸出的幅度如圖4-5，可以看出整個(gè)系統(tǒng)的理想輸出gx(n)和實(shí)際輸出值兩者有很好

的重合效果，因此預(yù)失真器和功放組成的聯(lián)合模型仍能保持線性，說明加入預(yù)失真器，可以保證整個(gè)系統(tǒng)無失真。因?yàn)楫?dāng)NMSE30dB時(shí)，就可判定精度

NMSEK20212M（階、延遲m的系數(shù)；

為離散采樣值的個(gè)數(shù)。KM4-11）Mhxk(nm)hx(n)hNMSEK20212M（階、延遲m的系數(shù)；

為離散采樣值的個(gè)數(shù)。KM4-11）Mhxk(nm)hx(n)hx(n1)...hx(nM)hx(nm)|x(nm)|k1n0,1,2,,N（4-12）型的線性效果很好，因此預(yù)失真的補(bǔ)償效果比較可靠。

4.3有記憶功放模型的建立和求解

4.3.1問題分析該問題是建立有記憶功放的非線性數(shù)學(xué)模型，從而根據(jù)該模型來建立預(yù)失真模型，使輸出與輸入呈線性。該問題的某一時(shí)刻的輸出不僅與此時(shí)刻的輸入有關(guān)，而且與此前某一時(shí)間段的輸入有關(guān)，因此此時(shí)所建立的非線性模型必須含有延遲項(xiàng)，可以在問題一中A題的基礎(chǔ)上來建立模型，只需要增加記憶效應(yīng)。因此在該題中，有非線性的階數(shù)和記憶深度這兩個(gè)參數(shù)需要確定，用的值來決定所采用的階數(shù)和記憶深度。在該題中，輸出數(shù)據(jù)與輸入數(shù)據(jù)不僅在幅度上失真，在相位上也同樣失真，此時(shí)，不能像問題一中的A題一樣只考慮幅度值，因此在該題中，直接對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行處理。因?yàn)樵搯栴}中還要考慮記憶深度的問題，所以用矩陣來表示有記憶功放的非線性模型，這樣就可以直接對(duì)矩陣進(jìn)行運(yùn)算即可。

4.3.2模型建立該問題針對(duì)的是有記憶功放的非線性模型，因此在某一時(shí)刻的輸出不僅與此時(shí)刻的輸入有關(guān)，而且與此前某一時(shí)間段的輸入有關(guān)，因此此時(shí)所建立的非線性模型必須含有延遲項(xiàng)，可以在問題一中A題的基礎(chǔ)上來建立模型，只需要增加記憶效應(yīng)。這時(shí)對(duì)式（4-2）增加記憶效應(yīng)，可以寫成

z(n)km10111Mk1m0hx2(n)hx2(n1)...hx2(nM).........hxK(n)hxK(n1)...hxK(nM)K0K1KMn0,1,2,,N

其中：z(n)為離散采樣后功率放大器的輸出信號(hào)；

x(n)為離散采樣后功率放大器的輸入信號(hào)；K為非線性的階數(shù)（即多項(xiàng)式的次數(shù)）；

hkm為第k

M為記憶深度；N為了便于計(jì)算，可以將式（4-11）改寫成“和記憶多項(xiàng)式”模型

z(n)kmk1m0

X2xii1|xi1h11z(N))THHH是矩陣的共軛轉(zhuǎn)置；1-24.4634-29.1881-32.7038-33.1570-33.1998XNxim|k1imh1M（4-14）2-24.5509-29.5384-33.5457-34.1741-34.2293)ximhK03-24.9816-31.0481-39.7042-42.6899-43.1104T|xhK14-24.9981-31.1318-40.4419-44.3839-45.0080（|K1)X2xii1|xi1h11z(N))THHH是矩陣的共軛轉(zhuǎn)置；1-24.4634-29.1881-32.7038-33.1570-33.1998XNxim|k1imh1M（4-14）2-24.5509-29.5384-33.5457-34.1741-34.2293)ximhK03-24.9816-31.0481-39.7042-42.6899-43.1104T|xhK14-24.9981-31.1318-40.4419-44.3839-45.0080（|K1)hKM5-24.9994-31.1372-40.4848-44.5408-45.23304-13）；)T；6-24.9998-31.1387-40.4998-44.5879-45.2842km式（5-12）改寫成矩陣的形式ZXHX(X1其中：X表示用于第i個(gè)時(shí)刻的建模輸入向量，且iX(xix|x|k1xiii1H是(M1)K個(gè)系數(shù)構(gòu)成的縱向量，

H(h10Z共有N個(gè)時(shí)刻的輸出，即Z(z(1)z(2)

這時(shí)，通過NMSE評(píng)價(jià)，得到系數(shù)矩陣H的最優(yōu)值H(XX)1XZ

其中，X

(?)1是矩陣的逆。

4.3.3模型求解在該問題中，由于數(shù)據(jù)量較大，因此在計(jì)算系數(shù)時(shí)，采用的是式（4-14）來計(jì)算，直接通過矩陣的逆和共軛轉(zhuǎn)置來求得系數(shù)矩陣H。在求解的過程中通過取不同的階數(shù)K和記憶深度M來找出相應(yīng)的NMSE值，從而相比較得出較優(yōu)的系數(shù)矩陣H、階數(shù)K和記憶深度M。具體求解步驟如下：Step1：構(gòu)造如式（4-14）的矩陣X以及系數(shù)矩陣H；Step2：取不同的階數(shù)K和記憶深度M，根據(jù)式（4-14）來計(jì)算系數(shù)矩陣H；Step3：求出Step2中相對(duì)應(yīng)的NMSE值；Step4：比較NMSE值，從而選取較優(yōu)的階數(shù)K和記憶深度M。根據(jù)上述的算法思路，可以得到不同的NMSE（dB）值，具體如表4-1所示。KM01234表4-1不同階數(shù)和記憶深度時(shí)NMSE值

NMSEx(n)PAz(n)

如表4-1所示，縱向觀察，當(dāng)K5時(shí)，NMSE不再有顯著改變；橫向觀察，NMSEx(n)PAz(n)當(dāng)M4時(shí)，NMSE也不再有顯著改變，因此可以取非線性的階數(shù)K5，記憶深度M4，此時(shí)的系數(shù)矩陣為H[14.3-3.2i,-22.7+6.25i,28.29-8.2i,-12+4.23i,9.77+5.3i,-1.57-0.5i,4.99+1.68i,-2.68-0.3i,-17.33-12.39i,4.65+3.36i,-9.97-6.05i,5.61+2.14i,7.67+8.2i,-2.59-3.58i,6.29+5.54i,-3.7-2.31i]在此情況下，NMSE44.3839dB30dB，可以看出此時(shí)的吻合程度很好，因此在階數(shù)K5，記憶深度M4，系數(shù)矩陣為上述H時(shí)，所建有記憶功放的非線性模型準(zhǔn)確度較好。

4.4有記憶功放的預(yù)失真模型的建立和求解

4.4.1問題分析對(duì)于預(yù)失真器模型的建立問題，最主要的是要保證預(yù)失真器和PA功放的聯(lián)合模型最后的輸出與輸入保持線性關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，還要有“輸出幅度限制”和“功率最大化”的約束條件，這時(shí)再求解預(yù)失真器的非線性模型。要保證信號(hào)的無失真，即信號(hào)的線性放大，預(yù)失真器的特性應(yīng)與PA功放的特性相反，即假設(shè)功放的輸入為X，輸出為Z，那么預(yù)失真器應(yīng)當(dāng)滿足輸入為Z，而此時(shí)輸出應(yīng)為X，但是因?yàn)檎麄€(gè)系統(tǒng)是需要有一定放大系數(shù)g，因此

可以將預(yù)失真器的輸入修改為Z/g，輸出為X。再用有記憶功放中矩陣求解的

方法來求解預(yù)失真器的系數(shù)矩陣A。預(yù)失真模型的實(shí)現(xiàn)示意圖就是將上述的假設(shè)用框圖更為形象地說明。最后再用來評(píng)價(jià)所得到的預(yù)失真器的模型即可。

4.4.2模型建立要使得預(yù)失真器和功放的聯(lián)合模型是線性模型，預(yù)失真器的特性應(yīng)與PA功放的特性相反，即若輸入為X，輸出為Z，那么預(yù)失真器應(yīng)當(dāng)滿足輸入為Z，而此時(shí)輸出應(yīng)為X，但是因?yàn)檎麄€(gè)系統(tǒng)是需要有一定放大系數(shù)g，因此可以將

預(yù)失真器的輸入修改為Z/g，輸出為X。如圖4-6所示，

z(n)/g預(yù)失真處理

圖4-6系統(tǒng)的等效模型圖

預(yù)失真器B預(yù)失真器A和z(?n)，然后通過求z(n)和X2xi3|xi1a11NNMSEHHYy(n)PAu(n)XN|3ima13y(N))T（4-16）z(n))xima40T|xa41（|3)a)T；434-15）預(yù)失真器B預(yù)失真器A和z(?n)，然后通過求z(n)和X2xi3|xi1a11NNMSEHHYy(n)PAu(n)XN|3ima13y(N))T（4-16）z(n))xima40T|xa41（|3)a)T；434-15）；

x(n)（copyofA）

1/g

v(n)

圖4-7預(yù)失真器的預(yù)失真器模型實(shí)現(xiàn)的示意圖

在圖4-7中，z(n)表示無預(yù)失真功放輸出，除以g值之后作為預(yù)失真器A的輸入u(n)，無預(yù)失真功放輸入作為預(yù)失真器A的輸出v(n)，這樣可以估算出

預(yù)失真器模型參數(shù)，然后將這些參數(shù)送給預(yù)失真器B。將無預(yù)失真功放輸入作為預(yù)失真器B的輸入x(n),然后分別可以求出y(n)

z?(n)的NMSE來評(píng)價(jià)結(jié)果吻合度，和預(yù)失真器A系數(shù)計(jì)算精度。這里假設(shè)預(yù)失真的階數(shù)以及記憶深度均與功放的相同，即階數(shù)K4，記憶深度M3，則預(yù)失真器的非線性模型可以表示為YXAX(X1其中：X表示用于第i個(gè)時(shí)刻的建模輸入向量，且iX(xxiii1x|x|3xiii1H是(M1)K個(gè)系數(shù)構(gòu)成的縱向量，

A(a10Y共有個(gè)時(shí)刻的輸出，即Y(y(1)y(2)

這時(shí)，通過評(píng)價(jià)，得到系數(shù)矩陣H的最優(yōu)值A(chǔ)(XX)1X

H是矩陣的共軛轉(zhuǎn)置；1g6-18.6876NMSE值7-18.90368-19.0058910-18.972H是矩陣的共軛轉(zhuǎn)置；1g6-18.6876NMSE值7-18.90368-19.0058910-18.9723--18.8443

(?)1是矩陣的逆。

對(duì)于預(yù)失真器的輸入值根據(jù)圖4-6，即是原來功放輸出的，而輸出即是

原功放的輸入值。此時(shí)根據(jù)式（4-16）可求出系數(shù)矩陣A。對(duì)于g的估計(jì)，在滿足“輸出幅度限制”條件下，為了保證功放輸出“功

率最大化”，預(yù)失真處理后的輸出幅度需盡可能高，這樣預(yù)失真器輸入值也需盡可能高，這樣輸出值才會(huì)大，所以這里我們?cè)谠u(píng)估最大功放倍數(shù)的時(shí)候，選取的輸入點(diǎn)模值大于0.6。一般情況下，g值的計(jì)算是通過功放輸出的最大值與輸入信號(hào)的最大值比

值來完成的，所以這里我們就用篩選出來的值來評(píng)估g值。通過matlab仿真，

得出g9左右。

4.4.3模型求解

在該問題中，用z(n)/g來表示預(yù)失真器的輸入，將原功放的輸入值作為預(yù)

失真器的輸出，這時(shí)就已知預(yù)失真器的輸入和輸出，就可以通過式4-，求解出系數(shù)矩陣A。具體的求解步驟如下：Step1：根據(jù)題目所給的功放的輸出值計(jì)算出z(n)/g；

Step2：用式（4-）計(jì)算出系數(shù)矩陣A；Step3：通過所得的預(yù)失真模型和功放模型所組成的聯(lián)合模型，求得輸入信號(hào)x(n)經(jīng)過整個(gè)系統(tǒng)的真實(shí)輸出值；

Step4：將真實(shí)輸出值和理想輸出值gx(n)相比較得出NMSE值。

根據(jù)上述的算法思路，得到不同放大倍數(shù)g時(shí)的NMSE值，見表4-。gNMSE/dB

表4-2不同放大倍數(shù)g時(shí)的

由表4-2可知，在g8時(shí)，所得到的NMSE值最小，因此在該題中取g8，

此時(shí)的NMSE19.0058dB，與上文中的NMSE有一定的差距，可以通過改變階數(shù)K和記憶深度M來使得NMSE的值降低即可。系數(shù)矩陣

y|(-0.60-0.4-0.200.20.40.60.8

A[0.63+0.44i,1.27-0.98i,-1.7+1.13i,0.77-0.5i,-0.59-0.43i,y|(-0.60-0.4-0.200.20.40.60.8-0.077+0.06i,-0.058-0.1i,0.13+0.02i,0.99+0.6i,-0.56+0.16i,0.87-0.08i,-0.59+0.044i,-0.42-0.22i,0.53-0.23i,-0.8+0.16i,0.5-0.05]此時(shí)，整個(gè)聯(lián)合模型的輸入—輸出的關(guān)系如圖4-8所示。

6

4

2

n)|

-2

-4

-6-0.8

|x(n)|

圖4-8整個(gè)聯(lián)合模型的輸入-輸出的關(guān)系圖如圖4-8，因?yàn)閿?shù)據(jù)過多的緣故，整個(gè)圖形比較粗，但是仍能看出輸入—輸出的關(guān)系呈現(xiàn)線性。

4.5拓展研究

4.5.1問題分析該問題是要用圖形的方式表示出輸入信號(hào)、有無預(yù)失真補(bǔ)償三類信號(hào)的功率譜密度，然后用ACPR對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，分析預(yù)失真對(duì)由于非線性效應(yīng)產(chǎn)生的帶外失真的影響。由于自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換對(duì)，所以該題首先計(jì)算信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，然后通過傅里葉變換從而得到功率譜密度。之后再通過觀察所作出的頻譜圖可以得出傳輸信道帶寬范圍，即[f,f]和[f,f]，這樣再對(duì)功1223率譜密度積分求得功率，從而計(jì)算出ACPR。而ACPR是衡量非線性效應(yīng)對(duì)林信道信號(hào)的影響程度，因此可以預(yù)失真器的效果進(jìn)行分析評(píng)價(jià)。

4.5.2問題求解在該題中，需要求解

f31

Ns(f)dff2s(f)df2N（4-17）1nN（4-19）f31

Ns(f)dff2s(f)df2N（4-17）1nN（4-19）Nx(n)x(nm)（4-18）ACPR10log10f2

f1其中：s(f)為信號(hào)的功率譜密度函數(shù)；

[f,f]為傳輸信道，[f,f]為相鄰信道。1223由于自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換對(duì)，因此求信號(hào)的功率譜密度，可以先求信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，然后再通過自相關(guān)函數(shù)求解功率譜密度。本文的數(shù)據(jù)都是離散采樣的，因此自相關(guān)函數(shù)同樣為離散的，自相關(guān)函數(shù)為

R(m)E[x(n)x(nm)]limx

其中：R(m)為x(n)的自相關(guān)函數(shù)；x

E[]為求均值；因此，所得的功率譜密度為

s