高一數(shù)學(xué)人教版兩角和與差正弦余弦正切公式

兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（1）年級：高成套一的課件成套的教案成套學(xué)的試題科成：套的數(shù)微學(xué)專題（盡在人高教中A版）主講人：楊數(shù)學(xué)震同濤步資源大全QQ群55學(xué)251146校8也：可聯(lián)北系微京信市fjm一ath加零入九中學(xué)百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（1）年 級：高

一主講人：楊震濤學(xué) 科：數(shù) 學(xué)（人教A版）學(xué) 校：北京市一零九中學(xué)5.5

三角恒等變換3p

2cos(a

-)

=，cos(a

-2kp)

=.cosa-sin

a2知識回顧：形如誘導(dǎo)公式（一）sin(a

+

2kp)

=

sina

,cos(a

+

2k

p)

=

cosa

.這種利用公式對三角函數(shù)式進行的恒等變形就是三角恒等變換.利用誘導(dǎo)公式化簡(k

?

Z):cos(

p

-

b

)

=

sin

b，cos(p-

b)

=

_-

cos

b

,cos(-b)

=

_cos

b，3p

2cos(a

-)

=，cos(a

-2kp)

=.cosa-sin

a2從化簡的結(jié)果發(fā)現(xiàn)：都與任意角α（β）的正弦或余弦有關(guān).利用誘導(dǎo)公式化簡(k

?

Z):cos(

p

-

b

)

=

sin

b，cos(p-

b)

=

_-

cos

b

,cos(-b)

=cos

b觀察本組練習(xí)的結(jié)構(gòu)特征：兩角差的余弦;2特殊角kp與任意角α（β）的差.cos(p-

b

)

=

-cos

b??

=

π2??

=

π??

=

0cos(0

-

b)

=

cos

b??

=

3π2cos(a

-

3p)

=

-sina2??

=

2??πcos(a

-2kp)

=

cosa2cos(

p

-

b

)

=

sin

b思考：

cos(α－β)的展開公式可能與哪些值有關(guān)?cos(a

-

b

)差角的余弦我們用到哪些知識探究cos(α－β)與sinα、cosα、sinβ、cosβ間的關(guān)系？以往經(jīng)驗：誘導(dǎo)公式（一）sin(a

+

2kp)

=

sina

,cos(a

+

2k

p)

=

cosa

.三角函數(shù)的定義、單位圓、圓的特殊對稱性.公式推導(dǎo)：利用三角函數(shù)定義，動手作圖：以x軸非負半軸為始邊,任取兩角α、β,兩角終邊分別交單位圓于A1，P1.利用三角函數(shù)定義，動手作圖：以x軸非負半軸為始邊,任取兩角α、β,令α?

??

?2??π（??∈

Z），終邊分別交單位圓于A1，P1.如圖任意角a、b,且（0,2p）內(nèi)與a終邊相同的角大于（0,2p）內(nèi)與b終邊相同的角.如圖任意角a、b,且（0,2p）內(nèi)與b終邊相同的角大于（0,2p）內(nèi)與a終邊相同的角.如圖a

,b都在第一象限,且（0,2p）內(nèi)與a終邊相同的角大于（0,2p）內(nèi)與b終邊相同的角.令角α，β為銳角，且α>β.A1

(cos

b,

sin

b

),P1

(cosa

,

sin

a

).思考：如何找到與cos(α－β)相關(guān)的點P？令角α，β為銳角，且α>β.A1

(cos

b,

sin

b

),P1

(cosa

,

sin

a

).思考：如何找到與cos(α－β)相關(guān)的點P？P(cos(a

-

b

),

sin(a

-

b

)).AP

=

A1

P1.1

1,1

1.AOP

@A

OP如何發(fā)現(xiàn)cos(α－β)與sinα、cosα、sinβ、cosβ間存在的等量關(guān)系？在單位圓中找到與α-β相關(guān)的等量關(guān)系.—

AOP

=

—

A1OP1

=

a

-

b，

AP

=

AP證明：線段A1P1=AP.法1扇形AOP繞著點o旋轉(zhuǎn)β角，則點A、P分別與A1、P1重合，則AP

=A1P1.所以AP

=A1P1.證明：線段A1P1=AP.法2—

AOP

=

—

A1OP1

=

a

-

b，在單位圓中AOP

@A1OP1，所以AP

=A1P1.平面上任意兩點

A(x1

,

y1

),

B(x2

,

y2

),AB2

=

BC2

+

AC2=

(x

-

x

)2

+(

y

-

y

)2

,1

2

1

2AB

=

(x

-

x

)2

+(

y

-

y

)21

2

1

2（兩點間距離公式）以AB為斜邊，構(gòu)建直角ACB,利用兩點間距離公式表示線段AP與A1P1，推導(dǎo)cos(α－β)公式.AP2

=[cos(a

-b)-1]2

+sin2

(a

-

b)，A

P2

=

(cosa

-

cos

b

)2

+

(sin

a

-

sin

b

)2，1

1[cos(a-b)-1]2

+sin2(a

-b)

=(cosa

-cosb)2

+(sina

-sinb)2.\

cos2(a-b)-2cos(a

-b)

+1+sin2

(a

-b)=cos2

a

+cos2

b

-2cosa

cos

b

+sin2

a

+sin2

b

-2sina

sin

b，\

-2

cos(a

-

b)

+

2

=

2

-

2

cosa

cos

b

-

2

sin

a

sin

b，\

-2

cos(a

-

b

)

=

-2

cosa

cos

b

-

2

sin

a

sin

b.P(cos(a

-

b

),sin(a

-

b

)),A1(cos

b,sin

b),

P1

(cosa

,sina

),

A(1,

0).cos(a

-

b

)

=

cos

a

cos

b

+

sin

a

sin

b

.當α=??+2??π

??∈??

，左式=cos

2

k

p=1，右式=cos

2

b

+sin

2左式=右式，

上式成立.b

=1，1

11

1AP=A

P

.如圖任意角a、b,且（0,2p）內(nèi)與a終邊相同的角大于（0,2p）內(nèi)與b終邊相同的角.仍有—AOP=—AOP，cos(a

-

b

)

=

cos

acos

b

+

sin

asin

b

.cos(a

-

b

)

=

cos

a

cos

b

+

sin

asin

b

.如圖任意角a、b,且（0,2p）內(nèi)與b終邊相同的角大于（0,2p）內(nèi)與a終邊相同的角.扇形AOP繞著點o旋轉(zhuǎn)β角，由圓的旋轉(zhuǎn)對稱性得，則點A、P分別與A1、P1重合，則AP

=AP

.1

1所以AP

=A1P1.任意角a、b，都有AP=A1P1.cos(a

-

b

)

=

cos

a

cos

b

+

sin

a

sin

b

.公式理解對于任意角α，β有cos(a

-

b

)

=

cos

a

cos

b

+

sin

a稱為差角的余弦公式，簡記作C(α-β).1.式中的α，β為任意角;2.左邊的角是α-β，右邊的角是α，β;3.同名相乘，符號相加.sin

b

.典例剖析例1.利用公式C(α-β)證明:（1）

cos(

p

-a

)

=

sin

a；2（2）

cos(p-a)

=-cosa.2

2

2pp解：（1）cos(

p

-a

)

=

cos cosa

+sin sin

a=

0

+1·sin

a

=

sin

a；（2）cos(p

-a

)

=

cos

pcosa

+sin

psin

a=

-1·cosa

+

0

·sin

a=

-cosa

.發(fā)現(xiàn)上述誘導(dǎo)公式與差角的余弦公式間的聯(lián)系.例2.已知sin

a

=4

,a

?

(p

,p),cos

b

=-5

,b是第三象限角，5

2

13求cos(a

-b).解：由sin

a

=

4

,a

?

(

,5

225p

p),得

cosa

=-

1-

sin2

a

=

-

1-(

4)

=-53，13又由cos

b

=-5

,b是第三象限角，得13

13sin

b

=-

1-

cos2

b