2021-2022學年浙江省湖州市泗安中學高三數(shù)學理期末試卷含解析

2021-2022學年浙江省湖州市泗安中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖是一臺微波爐的操作界面.若一個兩歲小孩觸碰五個按鈕是等可能的，則他不超過兩次按鈕啟動微波爐的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.已知函數(shù)f（x）=sin（2x+）（x∈R），下面結論錯誤的是（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期為πB．函數(shù)f（x）是偶函數(shù)C．函數(shù)f（x）的圖象關于直線對稱D．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上是增函數(shù)參考答案：C【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的對稱性．【分析】函數(shù)=﹣cos2x分別求出的周期、奇偶性、單調(diào)區(qū)間、對稱中心，可得A、B、D都正確，C錯誤．【解答】解：對于函數(shù)=﹣cos2x，它的周期等于，故A正確．由于f（﹣x）=﹣cos（﹣2x）=﹣cos2x=f（x），故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故B正確．令，則=0，故f（x）的一個對稱中心，故C錯誤．由于0≤x≤，則0≤2x≤π，由于函數(shù)y=cost在[0，π]上單調(diào)遞減故y=﹣cost在[0，π]上單調(diào)遞增，故D正確．故選C．3.已知，為虛數(shù)單位，且，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：C4.（2015?上海模擬）某流程圖如圖所示，現(xiàn)輸入如下四個函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)是（）A．f（x）=x2B．C．D．參考答案：C【考點】：選擇結構．【專題】：壓軸題；圖表型．【分析】：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是輸出滿足條件①f（x）+f（﹣x）=0，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)②f（x）存在零點，即函數(shù)圖象與x軸有交點．逐一分析四個答案中給出的函數(shù)的性質(zhì)，不難得到正確答案．解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=x2，D：f（x）=不是奇函數(shù)，故不滿足條件①又∵B：的函數(shù)圖象與x軸沒有交點，故不滿足條件②而C：既是奇函數(shù)，而且函數(shù)圖象與x也有交點，故C：f（x）=sinx符合輸出的條件故答案為C．【點評】：根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)（如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理）?②建立數(shù)學模型，根據(jù)第一步分析的結果，選擇恰當?shù)臄?shù)學模型③解模．5.已知向量、不共線，,如果，那么

A．且與同向

B．且與反向

C．且與同向

D．且與反向參考答案：D6.已知全集，集合，，則?U（A∪B）＝ （） A．（－∞，1）

B．（1，＋∞）

C．（－∞，1]

D．[1，＋∞）參考答案：B略7.設，是兩個非零向量，則“?＜0”是“，夾角為鈍角”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：B考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．

專題：簡易邏輯．分析：根據(jù)向量數(shù)量積的意義以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．解答：解：若，夾角為鈍角，則，則cosθ＜0，則?＜0成立，當θ=π時，?=﹣||?||＜0成立，但“，夾角為鈍角”不成立，故“?＜0”是“，夾角為鈍角”的必要不充分條件，故選：B點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)向量數(shù)量積與向量夾角之間的關系是解決本題的關鍵．8.如果以原點為圓心的圓必經(jīng)過雙曲線的焦點，而且被該雙曲線的右準線分成弧長為2:1的兩段圓弧，那么該雙曲線的離心率為A．

B．

C．

D．參考答案：C9.復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部是（）A． B． C．﹣1 D．1參考答案：C【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出原復數(shù)的共軛復數(shù)得答案．【解答】解：∵=，∴復數(shù)的共軛復數(shù)為﹣i，虛部為﹣1．故選：C．10.與雙曲線有共同的漸近線,且經(jīng)過點A(﹣3,2)的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是()A.1 B.2 C.4 D.8參考答案：B【分析】由題意首先求得雙曲線方程，據(jù)此可確定焦點坐標，然后利用點到直線距離公式可得雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離.【詳解】設雙曲線方程為，將點代入雙曲線方程，解得.從而所求雙曲線方程的焦點坐標為,一條漸近線方程為，即4x-3y=0，所以焦點到一條漸近線的距離是，故選B.【點睛】本題主要考查共焦點雙曲線方程的求解，雙曲線的焦點坐標、漸近線方程的求解，點到直線距離公式等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知單位向量，的夾角為60°，則__________參考答案：12.已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°，若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為__________．參考答案：8π如下圖所示，又，解得，所以，所以該圓錐的體積為.

13.書眉如圖，正四面體ABCD的棱長為1，平面過棱AB，且CD∥α，則正四面體上的所有點在平面α內(nèi)的射影構成的圖形面積是.參考答案：答案：解析：此時正四面體上的所有點在平面α內(nèi)的射影構成的圖形是一個邊長為的正方形，故面積為。14.若函數(shù)稱為“準奇函數(shù)”，則必存在常數(shù)a，b，使得對定義域的任意x值，均有，已知為準奇函數(shù)”，則a＋b＝_________。參考答案：2.【分析】根據(jù)函數(shù)關于點對稱的關系式，找到函數(shù)f（x）的對稱點，即可得到結論．【詳解】由知“準奇函數(shù)”關于點對稱；因為=關于對稱，所以，，.故答案為：2.【點睛】本題考查新定義的理解和應用，考查了函數(shù)圖象的對稱性的表示方式，屬于基礎題．

15.已知函數(shù)，給出如命題：①是偶函數(shù)；②在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③函數(shù)在上有3個零點；④當時，恒成立；其中正確的命題序號是__________.參考答案：①④略16.正三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則當該棱柱體積最大時，高

。參考答案：根據(jù)對稱性可知，球心位于正三棱柱上下底面中心連線的中點上。設正三棱柱的底面邊長為，則，所以,所以高，由得，即正三棱柱底面邊長的取值范圍是。三棱柱的體積為,,即體積,當且僅當，即時取等號，此時高。17.已知點，拋物線的焦點為，線段與拋物線的交點為，過作拋物線準線的垂線，垂足為．若，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知且.設函數(shù)（1）求函數(shù)的解析式；（2）若在銳角中，，邊，求周長的最大值.參考答案：（1）因為，所以，所以.

……4分（2）因為，所以，因為，所以.

………6分又，由正弦定理知，，得，所以，，所以得周長為=.

………………10分因為，所以，則，所以，所以周長的最大值為

…………………12分19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，點E在棱PA上，且PE=2EA．

（Ⅰ）證明PC∥平面EBD；

（Ⅱ）求二面角A—BE—D的正切值．

參考答案：（Ⅰ）證明：連接AC交BD于G，連接EG，

∵，又，

∴，∴PC∥EG，

又EG平面EBD，PC平面EBD，∴PC∥平面EBD.……………

6分

（Ⅱ）∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB.又∵

AD⊥AB，∴AD⊥平面EAB.作AH⊥BE于H，連接DH，則DH⊥BE，∴∠AHD是二面角A—BE—D的平面角.在△ABE中，AE=，由余弦定理可得BE=，由△ABE的面積得：AH=，∴

tan∠AHD==，故二面角A—BE—D的正切值為.

………………

12分20.已知函數(shù)，(Ⅰ)求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；(Ⅱ)求證：對于任意正整數(shù)n，均有；

(Ⅲ)當a=1時，過點(1，是否存在函數(shù)y=f(x)的圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說明理由參考答案：解析：(Ⅰ)∵f(x)=lnax－=lnax－1+，∴f′(x)=

－=

(1)當a＞0時，定義域={x|x＞0}，當x∈(0，1)時，f′(x)＜0，當x∈(1，+∞)時，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，1)上是單調(diào)減函數(shù)，在(1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，進而[f(x)]min=f(1)=lna(2)當a＜0時，定義域{x|x＜0}，∴在定義域內(nèi)恒有f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是單調(diào)減函數(shù)，無最值.

(Ⅱ)取a=1，由(Ⅰ)知f(x)=lnx－的最小值為0，∴l(xiāng)nx－≥0，∴≥1－lnx，∴1+++…+≥n－(ln1+ln2+…+lnn)=n－lnn!=ln

(3)設切線存在，且切點為T(x0，lnx0－)，∴切線方程為y+1=(－)(x－1)∵切點為T(x0，lnx0－)，∴l(xiāng)nx0－+1=(－)(x0－1)∴l(xiāng)nx0+－－1=0

①設h(x)=lnx+－－1，∴h′(x)=－+=，∵x＞0，∴h(x)在(0，1)，(2，+∞)內(nèi)遞增，在(1，2)內(nèi)遞減.∴[h(x)]極大值=h(1)=1＞0，[h(x)]極小值=h(2)=ln2+＞0又h(x)=－∞，h(x)=+∞∴方程①有且只有一個解，故有且只有一條21.（本小題滿分12分）已知某中學高三文科班學生共有800人參加了數(shù)學與地理的水平測試，現(xiàn)學校決定利用隨機數(shù)表法從中抽取100人進行成績拉樣統(tǒng)計，先將800人按001,002，…,800進行編號。（1）如果從第8行第7列的數(shù)開始向右讀，請你依次寫出最先檢測的3個人的編號；（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽取取100人的數(shù)學與地理的水平測試成績?nèi)缦卤恚撼煽兎譃閮?yōu)秀、良好、及格三個等級，橫向、縱向分別表示地理成績與數(shù)學成績，例如：表中數(shù)學成績?yōu)榱己玫墓灿?0＋18＋4＝42人，若在該樣本中，數(shù)學成績優(yōu)秀率為30%，求a，b的值。（3）在地理成績?yōu)榧案竦膶W生中，已知，求數(shù)學成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率。參考答案：（1）785,667,199,（2）,（3）試題分析：（1）因為從第8行第7列的數(shù)開始向右讀，每三個數(shù)依次為785,916,955,667,199,,其中編號在001,002，…,800中依次為785,667,199.（2）因為數(shù)學成績優(yōu)秀率為30%，所以數(shù)學成績優(yōu)秀人數(shù)為30，因此又總人數(shù)為100，因此，即.（3）因為總人數(shù)為100，因此.又，所以滿足條件的有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14組，在地理成績?yōu)榧案竦膶W生中數(shù)學成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少滿足有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6組.所求概率為.試題解析：解：（1）依題意，最先檢測的3個人的編號依次為785,667,199；

…………3分22.設遞增的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知，且．（1）求數(shù)列{an}通項公式及前n項和為Sn；（2）設，求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn