2023年高考數(shù)學一輪復習(新高考)17：平面向量(含詳解)

專題17：平面向量

精講溫故知新

1.向量的有關概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的長度（或稱

向量平面向量是自由向量

摸）

零向量長度為的向量；其方向是任意的記作0

單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為土商

平行向量方向相同或相反的非零向量

。與任一向量壬丘或共線

共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量

相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小

相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

例1：1.（2021?云南昆明?模擬預測（文））下列有關四邊形ABCD的形狀判斷錯誤的是（）

A.若而=而，則四邊形ABCD為平行四邊形

B.若而前,則四邊形A8CO為梯形

C.若福=反，且|而|=|而則四邊形A8C3為菱形

D.若而=反，且AC，80,則四邊形ABC。為正方形

2.如圖，。是正六邊形ABCDEF的中心，且礪=￡,OB=b,OC=c.在以4民心2旦尸,。這七個點中任意兩點為

起點和終點的向量中，問：

（2通的相反向量有哪些？

（3）與"的模相等的向量有哪些？

舉一反三

1.（2022?湖北?鄂州市鄂城區(qū)教學研究室高一期中）下列關于零向量的說法正確的是（）A.零向

量沒有大小B.零向量沒有方向

C.兩個反方向向量之和為零向量D.零向量與任何向量都共線

2.（2022?吉林吉林?模擬預測（文））已知向量才=（4,3）,則與向量方垂直的單位向量的坐標為

)

C.

2.向量的線性運算

向量運算定義法則（或幾何意義）運算律

(1)交換律：

aa+b=b+a.

加法求兩個向量和的運算三角形法則

(2)結(jié)合律：

a(a+ti)+c—a+(b+c).

平行四邊形法則

求a與6的相反向量一。

減法的和的運算叫做a與6的a-b=a-\-(—6)

a

差三角形法則

（1）14al=I4||a|；

⑵當4>0時，da的方向與a的%(〃a)=(4〃)a：

求實數(shù)4與向量a的積的

數(shù)乘方向相同;當才<0時，4a的方(H+〃)a=Pa；

運算

向與a的方向相反;當兒=0A(a+6)=Aa+Ab

時，/a=0

例2：1.（2022?湖南?寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預測）化簡麗+而+而=（）

A.MPB.MQ

C.NQD.PM

2,如圖，已知向量￡和向量B，用三角形法則作出￡一五+7

舉一反三

1.化簡：AB-CB+CD=

2.（2022?河南?民權縣第一高級中學模擬預測）化簡：扣力）-3出+0+2（￡-29=.

一1—.2—■

3.（2022?貴州?模擬預測（理））在J3C中，BC=ABD，且AO=AB+^AC,貝lJX=（）

A.2B.C.-|I）,y

3.共線向量定理

向量a（aWO）與6共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)兒，使6=4a.

例3：2.（2021?山西臨汾?一模（理））己知通=2+5很，BC=-2a+8b>CD=Xa-b）,貝U（）

A.A,B,C三點共線B.A,B,〃三點共線

C.A,C,。三點共線D.B,C,。三點共線

舉一反三

1.（2022?寧夏?石嘴山市第一中學三模（理））設心B是兩個不共線的非零向量，若向量%+2B與謂+￡的方

向相反，則k=.

2.（2022?江蘇?揚州中學模擬預測）已知向量￡=（2,4）,加=（1,〃），若切區(qū)，則W=（）

A.y/5B.2C.8I）.4百

4.平面向量基本定理

如果a、e是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)九、（，使a=/心

+42%

其中，不共線的向量8、式叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

例4：（2020?新疆?克拉瑪依市教育研究所三模（理））在△/常中，點〃滿足麗=；反，則而=

（）

C.依沙D.依抑

A.—ACH—ABB.—AC—AB

3333

舉一反三（2022?河南?模擬預測（理））如圖，在QABCD中，M為比的中點，AC=mAM+nBD，則/〃+〃=

)

4

B.C.1D.2

3

5.平面向量的坐標運算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模

設a=(xi,弘)，b—(x2,及)，則a+b=(汨+一，”+8),a-b=(小一呢,力一％)，/2=(。汨，2%),a；=7舄+".

(2)向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設力(汨，yi),B(X2,⑸，則葩=(用—小，姓一%),\'AB\—y]_xz~x\~阡~~yi~y\一5.

例5：(2022?四川-模擬預測(文))已知平面直角坐標系內(nèi)AABC三個頂點的坐標分別為A(T,1),B內(nèi)3),C(-6,5),

〃為BC邊的中點，則而=()

A.(—3,2)B.(一1,3)C.(—3,5)D.(—2,4)

舉一反三

(2022江西萍鄉(xiāng)三模(文))已知兩向量a=W，4),5=(1,-2)共線，則實數(shù)“=.

6.平面向量共線的坐標表示

設a=(x”yi),6=(%,㈤，其中Z>W0.a〃g為％—%%=0.

例6：(2021?甘肅?靜寧縣第一中學二模(理))已知向量￡=(-1,2)出=(2,3-%),若1/區(qū)，則欠=

()

A.2B.5C.7D.9

舉一反三

2022?湖北武漢?模擬預測)已知向量￡=(-1,2),%(1,2022),向量而=￡+2^n=2a-kb，若味〃〉則實數(shù)

k=______.

7.平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a與6,它們的夾角為，，則數(shù)量abcos,叫做a與6的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a?6=|a||引cos

0.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為

兩個非零向量a與5垂直的充要條件是a?6=0,兩個非零向量a與6平行的充要條件是a?6=±/a〃6/.

例7：(2022?全國?高考真題(理))已知向量￡石滿足|￡|=1,4|=6,|￡-2治=3,則￡%=()

A.-2B.-1C.1D.2

舉一反三

(2022?全國?高考真題(理))設向量5的夾角的余弦值為：，且|和1,W=3,則(2￡+今很=.

8.平面向量數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積a等于a的長度a|與方在a的方向上的投影|引cos?的乘積.

例8：1.(2022?江蘇淮安?模擬預測)已知|司=2,分在￡上的投影為1,則Z+B在2上的投影為

()

A.-1B.2C.3D.V2

舉一反三

（2022?四川?成都七中模擬預測（理））已知同=3煙=4,￡與另的夾角為60°,則y-3板在B上的投影為

9.平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)

（l）e?a=a?e=|a|cos0-（2）非零向量a,b,aJLtx^a?b=0；

⑶當a與6同向時，a?b=⑸/卜,當a與6反向時，a?b=-I川bI,a?a=\a\\a\=y]a?a；

a?b

（4）cos9=一同向（5）\a?b\<lallb1.

例9：1.（2022?江西?模擬預測（文））已知平面向量癡的夾角為?，且同=1石=卜1,@,則卜-25|的值為

（）

A.>/5B.4C.V13D.2>/3

2.（2021?北京房山?二模）已知單位向量。石的夾角為60。.與6垂直，則々=.

舉一反三

1.（2022?江西師大附中三模（理））已知。,51均為單位向量，且&+必=35,則@9=.

2.（2022?安徽?蚌埠二中模擬預測（理））已知向量￡石滿足：忖=逐,（￡+2?_L晨則￡/=.

3.（2021?重慶一中模擬預測）己知向量Z,B滿足忖用，W=2,|。-2。卜而，則￡與B的夾角為

.10.平面向量數(shù)量積滿足的運算律

（1）a?b=b?a（交換律）；⑵（久a）?b=幾（a?6）=a?（X力）（4為實數(shù)）；（3）（a+b）?c=a?c+b?c.

例10：1.（2022?河南開封?模擬預測（理））已知兩個單位向量不與備的夾角為若&=4+2&,b=e,+me2,

Ralb，則實數(shù)機=（）

4455

A--?B.-C.--D.-

舉一反三

（2022?內(nèi)蒙古?滿洲里市教研培訓中心模擬預測（理））已知向量入I滿足|為=2,aLb,則

a-（a-b）=.

11.平面向量數(shù)量積有關性質(zhì)的坐標表示

設向量3=（X1,71）,6=（如㈤，則a?6=XIX2+M%,由此得到

（1）若a=（x,y）,則a2=產(chǎn)+爐或=^1+月

⑵設力(ayi),4(x2,y-i)，則/、8兩點間的距離I[夕I=I荔I=7~X2—X\~~yi—y\~.

⑶設兩個非零向量a,b,a=(xi,yi),6=(如④，則a_Lk>xiX2+，y2=0.

例11：(2022?全國?高考真題(文))已知向量￡=(2,1)石=(-2,4),則()

A.2B.3C.4D.5

舉一反三

(2022?全國?高考真題)已知向量￡=(3,4),5=(1,0),3=￡+亦，若<￡,">=<坂,3>,貝〃=()

A.-6B.一5C.5D.6

12.向量在平面幾何中的應用

(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧:

問題類型所用知識公式表示

a//4戾=>?。ァ??=0,

線平行、點共線等問題共線向量定理

其中a=(xi,yi),b—(x2,㈤

aLb<^a?A=0=MX2+力%=0,

垂直問題數(shù)量積的運算性質(zhì)

a=(xi,%)，。=(及，於)，其中a,6為非零向量

a?b

夾角問題數(shù)量積的定義e

cos—\a.1引(，為向量a，方的夾角)

長度問題數(shù)量積的定義a1=y[a~=y]x+y,其中a=(x,y)

例12：1.(2022?全國?高考真題)在△MC中，點〃在邊四上，BD=2DA.^CA=m9CD=nf則而二

()

A.3/n-2nB.一2而+3*C.3慶+2”D.2加+3產(chǎn)

2.(2020?全國?高考真題(文))已知單位向量九坂的夾角為60°,則在下列向量中，與B垂直的是

)

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a—b

3.(2021?全國?高考真題(文))已知向量。=(2,5)石=(44),若％ib，則己=

4.(2020?全國?高考真題(理))設編5為單位向量,且|1+刈=1,則伍-B|=

5.(2020?全國?高考真題(理))己知向量a,6滿足1的=5,出|=6,ab=-6>則cos<Z,￡+B>=()

31R1919

A.B-七CD.

35-435

舉一反三

1.（2020?山東?高考真題）已知點A（4,3）,B（Y,2）,點尸在函數(shù)y=V-4x-3圖象的對稱軸上，若麗，麗，則點

P的坐標是（

A.（2,-6）或（2,1）(-2,-6)n!c(-2,1)

C.(2,6)或(2,—1)D.(一2,6)或(-2,-1)

2.（2020?山東?高考真題）已知平行四邊形ABCD,點E,尸分別是AB,3c的中點（如圖所示），設福=4,

AD=b,貝1J喬等于（

FA.加+5)C.-(fe-a

AEB

3.（2021?北京?高考真題）已知向量&,5忑在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則

(a+b)-c=

4.（2022?全國?高考真題（文））已知向量”（九3）,5=（1,加+1）.若打人則加=.

rr

5.（2022?上海?高考真題）在中，NC=5，AC=3C=2,材為然的中點，一在線段47上，則麗.麗的最

小值為_______

精練鞏固提升

一、單選題

（2022?山東臨沂?三模）向量1=（1,1）,石=（-1,0）,則1與各的夾角為（

___o_______o___

2.（2022?安徽?合肥市第八中學模擬預測（文））在平行四邊形屈力中，AE=^AB,CF=^CD,G為功的中

點，貝IJ方存=（）

A.-AD--ABB.-AB--AD

2222

3——1—3—1—.

C.-AD——ABD.-AB——AD

4242

3.（2022?全國?華中師大一附中模擬預測）正六邊形/比儂1的邊長為2,則（）

A.-6B.-2也C.26D.6

4.（2022?湖北?鄂南高中模擬預測）已知力=（，刈石=（2,6+近在5,則同=（）

A.6B.75C.77D.y/10

5.（2022?山東濰坊?模擬預測）定義：辰同=同命皿，其中6為向量1與B的夾角.若同=2,忖=5,

a-b——6則|等于（）A.6B.—6C.—8D.8

而=6,點/是AC的三等分點（EC=；AC）,貝5）尻=

6.（2022?吉林?三模（理））如圖，nA3a）中，AB=a

)

n2r1J'

C.押手D.—a+-b

33

（2022?河南?通許縣第一高級中學模擬預測（文））已知不,

7.6是單位向量，a-ex-2e2,b=3e]+e2,若

a±b,則I，4的夾角的余弦值為（）

A.B._i_c.D.

25

8.（2022?江蘇?南京市江寧高級中學模擬預測）若3=（2,1）,力=（-1,1）,（2￡+B）〃Q+癡），則加的值為

()

A.~B.2C.—2D.-5

9.（2022?江蘇?南京師大附中模擬預測）在邊長為2的等邊中，O為線段3c上的動點，止_1,鉆且交A3于

點、E,。/〃且交AC于點八則23E+OF的值為（）

3

A.1B.C.2D.1

22

7T

10.（2022?全國?模擬預測（理））在AA8C中，ZABC=-,。為AA5C的外心，BABO=2,就.麗=4，則

tillUUU

BABC=（）

A.2B.272C.4D.4V2

二、多選題

11.（2020?山東泰安?三模）已知向量2=（2,—1）石=（—3,2）工=（1,1）,則（）

A.al/bB.（”+B）_LCC.a+b=cD.c=5a+3b

12.（2021?遼寧實驗中學模擬預測）已知平面向量￡=（2,-3）,「㈠㈤，且B的夾角是鈍角，則%可以是

（）

A.-1B.4C.-D.2

22

三填空題

13.（2022?河南安陽?模擬預測（文））已知向量￡=（-264）,B=[1,COS￡）,其中。?（0,嘰若辦.，貝ij

sin8=.

14.（2022?四川省瀘縣第四中學模擬預測（文））已知3石是平面內(nèi)兩個相互垂直的單位向量，若向量"滿足

（a-c）（^-2c）=0,則口的最大值為

15.（2021?全國?高考真題（理））已知向量￡=（3,1）3=（1,0）,"=2+防.^alc，貝必=.

16.（2021?全國?高考真題）已知向量￡+區(qū)+2=6,忖=1W=H=\a-h+hc+ca=.

專題17：平面向量

精講溫故知新

1.向量的有關概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的長度（或稱

向量平面向量是自由向量

摸）

零向量長度為的向量；其方向是任意的記作0

單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為土商

平行向量方向相同或相反的非零向量

。與任一向量壬丘或共線

共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量

相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小

相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

例1：1.（2021?云南昆明?模擬預測（文））下列有關四邊形ABCD的形狀判斷錯誤的是（）

A.若而=而，則四邊形ABCD為平行四邊形

B.若而前,則四邊形A8CO為梯形

C.若福=反，且|而|=|而則四邊形A8C3為菱形

D.若而=反，且AC，80,則四邊形ABC。為正方形

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)向量共線、相等的知識確定正確答案.

【詳解】

A選項，AD=BC，\fy\ADHBC,AD=BC,所以四邊形438為平行四邊形，A正確.

B選項，AD=^BC,貝ljAO〃8C,AO=；BC,所以四邊形"8為梯形，B正確.

C選項，AB=DC，則4B//DC,AB=OC,四邊形MCD是平行四邊形；由于|而|=|而所以四邊形ABCD是菱形,

C正確.D選項，而=覺，則4。〃80。=8。，所以四邊形A8CO為平行四邊形；由于腔，隴，所以四邊形

A3CO為菱形，D選項錯誤.

故選：D

2.如圖，。是正六邊形ABCZ5E尸的中心，且礪=￡,OB=b，OC=c.在以AB,C,RE,尸，。這七個點中任意兩點為

起點和終點的向量中，問：

(2)區(qū)的相反向量有哪些？

(3)與"的模相等的向量有哪些？

【答案】⑴DO,EF,CB

(2)OE,CD,AF,BO

(3)CO,OF,FO,OE,EO,OD,DO,OB,BO,OA,AO,AB,BA,AF,FA,FE,EF,ED,DE,DC,CD,CB,BC

【解析】

【分析】

根據(jù)相等向量、相反向量、向量模長的概念，結(jié)合圖形進行分析求解即可.

(1)由相等向量定義知：與￡相等的向量有麗，麗，麗.

(2)由相反向量定義知：B的相反向量有赤，麗，無及旃.

(3)由向量模氏定義知：與"的模相等的向量有

CO,OF,FO,OE,EO,OD,DO,OB,BO,OA,AO,AB,BA,AF,FA,FE,EF,ED,DE,DC,CD,CB,BC.

舉一反三

1.(2022?湖北?鄂州市鄂城區(qū)教學研究室高一期中)下列關于零向量的說法正確的是()

A.零向量沒有大小B.零向量沒有方向C.兩個反方向向量之和為零向量D.零向量與任何

向量都共線

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)零向量的定義和性質(zhì)即可判斷.

【詳解】

根據(jù)零向量的概念可得零向量的長度為零，方向任意，故A、B錯誤；

兩個反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯誤；

零向量與任意向量共線，D正確.

故選：D.

2.（2022?吉林吉林?模擬預測（文））已知向量1=（4,3）,則與向量〃垂直的單位向量的坐標為

（）

【答案】D

【解析】

【分析】

先寫出與之垂直的一個向量，然后再求得與此垂直向量平行的單位向量即得.

【詳解】

易知B=（3,-4）是與￡垂直的向量，忖=5,

所以與B平行的單位向量為?=（/$或-?=（-襄），

故選：D.

2.向量的線性運算

向量運算定義法則（或幾何意義）運算律

(1)交換律：

aa+b=b+a.

加法求兩個向量和的運算三角形法則

(2)結(jié)合律：

a(a+ti)+c=a+(b+c).

平行四邊形法則

求a與6的相反向量一6

減法的和的運算叫做a與6的a-b—a-V(—6)

差三角形法則

⑴|4al=|I|a|；

(2)當4>0時，4a的方向與a的A(/Ja)=(A〃)a；

求實數(shù)4與向量a的積的

數(shù)乘方向相同;當才〈00寸，4a的方(4+〃)a=X&+

運算

向與a的方向祖叵；當1=0X(a+Z?)=^a+入b

時，4a=0

例2：1.(2022?湖南?寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預測)化簡麗+而+而=()

A.MPB.MQ

C.NQD.PM

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量加法的運算法則化簡即可.

【詳解】

MN+NP+PQ=MN+NQ=MQ.

故選：B

2,如圖，已知向量￡和向量用三角形法則作出￡一加十￡.

【答案】答案見解析.【解析】

【分析】

根據(jù)向量加法和減法法則即可作圖.

【詳解】

作法：作向量厲=2,向量而=人則向量麗=￡—以作向量〃=￡,則配=￡—B+Z.

B

b

Oa-b+a

c舉一反三

1.化簡：AB-CB+CD^____.

【答案】AD

【解析】

【分析】

由向量的加減法法則計算.

【詳解】

lllftlUL*UUUlL1LUULU1UUUllliu

AB-CB+CD=AB+BC+CD=AD?

故答案為：AD.

2.（2022?河南?民權縣第一高級中學模擬預測）化簡：;（2￡-4-3（；￡+@+2（5-2到=

【答案】2-Tisb-【解析】

【分析】

利用平面向量的線性運算求解.

【詳解】

解：g（2a-1）-3（1+q+2（&-2石）,

=a--b-a-3b+2a-4b,

2

-15-

=2a----b,

2

-15-

故答案為：2a---h

__1一?—>

3.(2022?貴州?模擬預測(理))在中，BC=ABD,且AD=]A3+]AC,則;1=()

321

A.2B.—C.-D.—

【答案】B

【解析】

【分析】

由題可得而=3(前一礪)二§元，即得.

【詳解】

__12?

a；AD=AB+Bb=-AB^-AC,

33

__2__?__.2__.

1H)=-(AC-AB)=-BC,

33

2

故選：B.

3.共線向量定理向量a(a40)與6共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)人使

例3：2.(2021?山西臨汾?一模(理))已知福=2+5很，BC=-2a+Sb,CD=3>(a-b),則()

A.A,B,C三點共線B.A,B,〃三點共線

C.A,C,。三點共線D.B,C,。三點共線

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的線性運算得到而=2而，從而可以獲得答案.

【詳解】

BD=BC+CD=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=AB,又：而與而有公共點8,：.A,B,〃三點共線.

故選：B.

舉一反三

1.(2022?寧夏?石嘴山市第一中學三模(理))設2,B是兩個不共線的非零向量，若向量%+2行與譴+占的方

向相反，則k=.

【答案】Y

【解析】

【分析】

根據(jù)共線向量定理可得標+25=+歷)(4<0),解方程即可得到答案；

【詳解】

由題意知，ka+2b=A(8a+kb-)(A<0).

:.(k-SA)a+(2-Alc)-h=6,又癡不共線，

依-82=01

=4=—,k=—4,

[2-Ak=02

故答案為：-4

2.(2022?江蘇?揚州中學模擬預測)已知向量2=(2,4),*=(1,?),若書區(qū)，則欠=()A.6

B.2C.8D.40

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量平行的條件及向量的摸的坐表示即可求解.

【詳解】

由a=(2,4),b=(\,n),a!lb?得2x”-4x1=0,解得〃=2.

所以1=(1,2),所以W=jF+22=#>.

故選：A.

4.平面向量基本定理

如果a、以是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)小、3，使a=30

+42%

其中，不共線的向量8、e,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底一

例4：(2020?新疆?克拉瑪依市教育研究所三模(理))在△力玄中，點〃滿足麗=：反，則而=

()

2—1—4—?1—?1―.2—?]―.1―.

A.-ACH—ABB.—AC—ABC.—ACH—ABD.—AC4—AB

33333322

【答案】C

【解析】

【分析】

作出簡圖，結(jié)合平面向量的線性運算即可得到答案.

【詳解】

T-?T-'I->2T

由題意，A。=AB+BD=AB+-BC=AB+-IAC-ABl=-AC+-<4B.

故選：C.

舉一反三

(2022?河南?模擬預測(理))如圖，在QABCO中，M為優(yōu)■的中點，AC=mAM+nBD,則卬+。=

()

DC

C

MA.1B-?-1D.2

B

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量的線性運算可求“，”的值.

【詳解】

AM=AB+^BC=AB+^Ai5,而麗=亞_麗，

故/=機(而+(而)+〃刖一畫=(〃?_〃)而+(5+〃)而，

,[4

m-n=1m=—

___UlBIUUU135

而而=通+而且A8.AD不共線，故{加，=<；^>m+n=~,故選：C.

一+拉=113

2幾=一

I3

5.平面向量的坐標運算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模

設a=(xi,yi),6=(x2,慳)，則a+Z>=(汨+—，%+8)，a-6=(兇一爪，％一—)，，a=(。汨，)yj,a—y/^+j^.

(2)向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設4(*1,必)，B(xz,㈤，則4g=(生一小，狀一川)，iAB\_x2-X}―M-~~yi—y\~

例5：(2022?四川?模擬預測(文))已知平面直角坐標系內(nèi)AABC三個頂點的坐標分別為4(-l/),8(2,3),C(Y,5),

〃為8c邊的中點，則而=()

A.(-3,2)B.(-1,3)C.(-3,5)D.(-2,4)

【答案】B

【解析】

【分析】

利用中點坐標公式及向量的坐標表示即得.

【詳解】

V〃為BC邊的中點,A(-Ll),B(2,3),C(-6,5),

￡)(-2,4),AD=(-1,3),

故選：B.

舉一反三

1.(2022?江西萍鄉(xiāng)?三模(文))已知兩向量公(，"，4),5=(1,-2)共線，則實數(shù)m=.

【答案】-2

【解析】

【分析】

由共線向量的坐標公式代入即可得出答案.

【詳解】兩向量萬=(九4>5=(-2)共線，所以加—(-2)-4=0,〃=-2.

故答案為：-2.

6.平面向量共線的坐標表示

設a=(xi,弘)，6=(x2,⑸，其中=W0.a〃長>?。ヒ灰玻?0.

例6：(2021?甘肅?靜寧縣第一中學二模(理))已知向量￡=(-1,2)石=(2,3-幻，若加5則尢=

()

A.2B.5C.7D.9

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)向量平行公式求解即可

【詳解】

由題意知一(3—Q-2x2=0,解得4=7,

故選：C.

舉一反三

2022?湖北武漢?模擬預測)已知向量￡=(-1,2),囚=(1,2022),向量正=￡+2以n=2a-kb，若味〃第則實數(shù)

k=______.

【答案】-4

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可知人坂不共線，若片〃"則三/lwR,使得\=公，代入結(jié)合向量相等運算.

【詳解】

根據(jù)題意可知￡，B不共線若>〃；?，則3/leR,使得工=需，即a+2匕二*2"-好）=2&!-以/7

f1=22A=—

則可得.一，解得2

[2=一版,一

故答案為：-4.

7.平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a與6,它們的夾角為。，則數(shù)量abcos〃叫做a與6的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a?6=|a||引cos

0.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為

兩個非零向量a與b垂直的充要條件是a?6=0,兩個非零向量a與6平行的充要條件是a?b=土㈤聞.

例7：（2022?全國?高考真題（理））已知向量湎滿足|￡|=1,|昨"癡-2昨3,則7%（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)給定