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文檔簡介

2024屆江門市重點中學數學高三上期末質量檢測試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數,若有2個零點,則實數的取值范圍為()A. B. C. D.2.函數的圖象如圖所示,為了得到的圖象,可將的圖象()A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位3.已知角的頂點與坐標原點重合,始邊與軸的非負半軸重合,若點在角的終邊上,則()A. B. C. D.4.根據黨中央關于“精準”脫貧的要求,我市某農業(yè)經濟部門派四位專家對三個縣區(qū)進行調研,每個縣區(qū)至少派一位專家,則甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為()A. B. C. D.5.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數”,數學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“樂”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門課程不相鄰,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()種.A.408 B.120 C.156 D.2406.下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)7.記的最大值和最小值分別為和.若平面向量、、,滿足,則()A. B.C. D.8.已知集合,則等于()A. B. C. D.9.已知l,m是兩條不同的直線,m⊥平面α,則“”是“l(fā)⊥m”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知點為雙曲線的右焦點,直線與雙曲線交于A,B兩點,若,則的面積為()A. B. C. D.11.某市政府決定派遣名干部(男女)分成兩個小組,到該市甲、乙兩個縣去檢查扶貧工作,若要求每組至少人,且女干部不能單獨成組,則不同的派遣方案共有()種A. B. C. D.12.為比較甲、乙兩名高中學生的數學素養(yǎng),對課程標準中規(guī)定的數學六大素養(yǎng)進行指標測驗(指標值滿分為100分,分值高者為優(yōu)),根據測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數據分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B.乙的數據分析素養(yǎng)優(yōu)于數學建模素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D.甲的六大素養(yǎng)中數學運算最強二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數的定義域是___________.14.《九章算術》是中國古代的數學名著,其中《方田》一章給出了弧田面積的計算公式.如圖所示,弧田是由圓弧AB和其所對弦AB圍成的圖形,若弧田的弧AB長為4π,弧所在的圓的半徑為6,則弧田的弦AB長是__________,弧田的面積是__________.15.執(zhí)行以下語句后,打印紙上打印出的結果應是:_____.16.已知函數()在區(qū)間上的值小于0恒成立,則的取值范圍是________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)證明:();(Ⅲ)證明:.18.(12分)已知函數.(1)討論函數f(x)的極值點的個數;(2)若f(x)有兩個極值點證明.19.(12分)某景點上山共有級臺階,寓意長長久久.甲上臺階時,可以一步走一個臺階,也可以一步走兩個臺階,若甲每步上一個臺階的概率為,每步上兩個臺階的概率為.為了簡便描述問題,我們約定,甲從級臺階開始向上走,一步走一個臺階記分,一步走兩個臺階記分,記甲登上第個臺階的概率為,其中,且.(1)若甲走步時所得分數為,求的分布列和數學期望;(2)證明:數列是等比數列;(3)求甲在登山過程中,恰好登上第級臺階的概率.20.(12分)如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M為PC的中點.(1)求異面直線AP,BM所成角的余弦值;(2)點N在線段AD上,且AN=λ,若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,求λ的值.21.(12分)已知函數,函數().(1)討論的單調性;(2)證明:當時,.(3)證明:當時,.22.(10分)已知集合,集合,.(1)求集合B;(2)記,且集合M中有且僅有一個整數,求實數k的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

令,可得,要使得有兩個實數解,即和有兩個交點,結合已知,即可求得答案.【題目詳解】令,可得,要使得有兩個實數解,即和有兩個交點,,令,可得,當時,,函數在上單調遞增;當時,,函數在上單調遞減.當時,,若直線和有兩個交點,則.實數的取值范圍是.故選:C.【題目點撥】本題主要考查了根據零點求參數范圍,解題關鍵是掌握根據零點個數求參數的解法和根據導數求單調性的步驟,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.2、C【解題分析】

根據正弦型函數的圖象得到,結合圖像變換知識得到答案.【題目詳解】由圖象知:,∴.又時函數值最大,所以.又,∴,從而,,只需將的圖象向左平移個單位即可得到的圖象,故選C.【題目點撥】已知函數的圖象求解析式(1).(2)由函數的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求,一般用最高點或最低點求.3、D【解題分析】

由題知,又,代入計算可得.【題目詳解】由題知,又.故選:D【題目點撥】本題主要考查了三角函數的定義,誘導公式,二倍角公式的應用求值.4、A【解題分析】

每個縣區(qū)至少派一位專家,基本事件總數,甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數,由此能求出甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【題目詳解】派四位專家對三個縣區(qū)進行調研,每個縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數:甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數:甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為:本題正確選項:【題目點撥】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.5、A【解題分析】

利用間接法求解,首先對6門課程全排列,減去“樂”排在第一節(jié)的情況,再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況,最后還需加上“樂”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況;【題目詳解】解:根據題意,首先不做任何考慮直接全排列則有(種),當“樂”排在第一節(jié)有(種),當“射”和“御”兩門課程相鄰時有(種),當“樂”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰時有(種),則滿足“樂”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有(種),故選:.【題目點撥】本題考查排列、組合的應用,注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響,屬于中檔題.6、C【解題分析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【題目詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有答案C正確.故答案為C【題目點撥】(1)本題主要考查終邊相同的角的公式,意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.7、A【解題分析】

設為、的夾角,根據題意求得,然后建立平面直角坐標系,設,,,根據平面向量數量積的坐標運算得出點的軌跡方程,將和轉化為圓上的點到定點距離,利用數形結合思想可得出結果.【題目詳解】由已知可得,則,,,建立平面直角坐標系,設,,,由,可得,即,化簡得點的軌跡方程為,則,則轉化為圓上的點與點的距離,,,,轉化為圓上的點與點的距離,,.故選:A.【題目點撥】本題考查和向量與差向量模最值的求解,將向量坐標化,將問題轉化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關鍵,考查化歸與轉化思想與數形結合思想的應用,屬于中等題.8、C【解題分析】

先化簡集合A,再與集合B求交集.【題目詳解】因為,,所以.故選:C【題目點撥】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法,屬于基礎題.9、A【解題分析】

根據充分條件和必要條件的定義,結合線面垂直的性質進行判斷即可.【題目詳解】當m⊥平面α時,若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立,即充分性成立,若l⊥m,則l∥α或l?α,即必要性不成立,則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件,故選:A.【題目點撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結合線面垂直的性質和定義是解決本題的關鍵.難度不大,屬于基礎題10、D【解題分析】

設雙曲線C的左焦點為,連接,由對稱性可知四邊形是平行四邊形,設,得,求出的值,即得解.【題目詳解】設雙曲線C的左焦點為,連接,由對稱性可知四邊形是平行四邊形,所以,.設,則,又.故,所以.故選:D【題目點撥】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質,考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.11、C【解題分析】

在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨成一組的情況,再將這兩組分配,利用分步乘法計數原理可得出結果.【題目詳解】兩組至少都是人,則分組中兩組的人數分別為、或、,

又因為名女干部不能單獨成一組,則不同的派遣方案種數為.故選:C.【題目點撥】本題考查排列組合的綜合問題,涉及分組分配問題,考查計算能力,屬于中等題.12、D【解題分析】

根據所給的雷達圖逐個選項分析即可.【題目詳解】對于A,甲的數據分析素養(yǎng)為100分,乙的數據分析素養(yǎng)為80分,故甲的數據分析素養(yǎng)優(yōu)于乙,故A正確;對于B,乙的數據分析素養(yǎng)為80分,數學建模素養(yǎng)為60分,故乙的數據分析素養(yǎng)優(yōu)于數學建模素養(yǎng),故B正確;對于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為,乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為,故C正確;對于D,甲的六大素養(yǎng)中數學運算為80分,不是最強的,故D錯誤;故選:D【題目點撥】本題考查了樣本數據的特征、平均數的計算,考查了學生的數據處理能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】

由于偶次根式中被開方數非負,對數的真數要大于零,然后解不等式組可得答案.【題目詳解】解:由題意得,,解得,所以,故答案為:【題目點撥】此題考查函數定義域的求法,屬于基礎題.14、612π﹣9【解題分析】

過作,交于,先求得圓心角的弧度數,然后解解三角形求得的長.利用扇形面積減去三角形的面積,求得弧田的面積.【題目詳解】∵如圖,弧田的弧AB長為4π,弧所在的圓的半徑為6,過作,交于,根據圓的幾何性質可知,垂直平分.∴α=∠AOB==,可得∠AOD=,OA=6,∴AB=2AD=2OAsin=2×=6,∴弧田的面積S=S扇形OAB﹣S△OAB=4π×6﹣=12π﹣9.故答案為:6,12π﹣9.【題目點撥】本小題主要考查弓形弦長和弓形面積的計算,考查中國古代數學文化,屬于中檔題.15、1【解題分析】

根據程序框圖直接計算得到答案.【題目詳解】程序在運行過程中各變量的取值如下所示:是否繼續(xù)循環(huán)ix循環(huán)前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循環(huán),所以打印紙上打印出的結果應是:1故答案為:1.【題目點撥】本題考查了程序框圖,意在考查學生的計算能力和理解能力.16、【解題分析】

首先根據的取值范圍,求得的取值范圍,由此求得函數的值域,結合區(qū)間上的值小于0恒成立列不等式組,解不等式組求得的取值范圍.【題目詳解】由于,所以,由于區(qū)間上的值小于0恒成立,所以().所以,由于,所以,由于,所以令得.所以的取值范圍是.故答案為:【題目點撥】本小題主要考查三角函數值域的求法,考查三角函數值恒小于零的問題的求解,考查化歸與轉化的數學思想方法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析【解題分析】

運用數學歸納法證明即可得到結果化簡,運用累加法得出結果運用放縮法和累加法進行求證【題目詳解】(Ⅰ)數學歸納法證明時,①當時,成立;②當時,假設成立,則時所以時,成立綜上①②可知,時,(Ⅱ)由得所以;;故,又所以(Ⅲ)由累加法得:所以故【題目點撥】本題考查了數列的綜合,運用數學歸納法證明不等式的成立,結合已知條件進行化簡求出化簡后的結果,利用放縮法求出不等式,然后兩邊同時取對數再進行證明,本題較為困難。18、(1)見解析(2)見解析【解題分析】

(1)求得函數的定義域和導函數,對分成三種情況進行分類討論,判斷出的極值點個數.(2)由(1)知,結合韋達定理求得的關系式,由此化簡的表達式為,通過構造函數法,結合導數證得,由此證得成立.【題目詳解】(1)函數的定義域為得,(i)當時;,因為時,時,,所以是函數的一個極小值點;(ii)若時,若,即時,,在是減函數,無極值點.若,即時,有兩根,不妨設當和時,,當時,,是函數的兩個極值點,綜上所述時,僅有一個極值點;時,無極值點;時,有兩個極值點.(2)由(1)知,當且僅當時,有極小值點和極大值點,且是方程的兩根,,則所以設,則,又,即,所以所以是上的單調減函數,有兩個極值點,則【題目點撥】本小題主要考查利用導數研究函數的極值點,考查利用導數證明不等式,考查分類討論的數學思想方法,考查化歸與轉化的數學思想方法,屬于中檔題.19、見解析【解題分析】

(1)由題可得的所有可能取值為,,,,且,,,,所以的分布列為所以的數學期望.(2)由題可得,所以,又,,所以,所以是以為首項,為公比的等比數列.(3)由(2)可得.20、(1).(2)1【解題分析】

(1)先根據題意建立空間直角坐標系,求得向量和向量的坐標,再利用線線角的向量方法求解.(2,由AN=λ,設N(0,λ,0)(0≤λ≤4),則=(-1,λ-1,-2),再求得平面PBC的一個法向量,利用直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,由|cos〈,〉|===求解.【題目詳解】(1)因為PA⊥平面ABCD,且AB,AD?平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又因為∠BAD=90°,所以PA,AB,AD兩兩互相垂直.分別以AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則由AD=2AB=2BC=4,PA=4可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).又因為M為PC的中點,所以M(1,1,2).所以=(-1,1,2),=(0,0,4),所以cos〈,〉===,所以異面直線AP,BM所成角的余弦值為.(2)因為AN=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),則=(-1,λ-1,-2),=(0,2,0),=(2,0,-4).設平面PBC的法向量為=(x,y,z),則即令x=2,解得y=0,z=1,所以=(2,0,1

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