高等數(shù)學(xué)課件二重積分概念

高等數(shù)學(xué)課件二重積分概念2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性四、曲頂柱體體積的計算機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分的定義與性質(zhì)第十章第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件4)“取極限”令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束下面繼續(xù)物理的引例第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件2.平面薄片的質(zhì)量

有一個平面薄片,在xoy平面上占有區(qū)域D,計算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件2)“常代變”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第k小塊的質(zhì)量機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))為D的面積,則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為,則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件7.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件例1.

比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件例2.判斷積分的正負(fù)號.解:分積分域為則原式=猜想結(jié)果為負(fù)

但不好估計.舍去此項機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件例3.估計下列積分之值解:

D的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件四、曲頂柱體體積的計算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件例4.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3.曲頂柱體體積的計算二次積分法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關(guān)系:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件2.

設(shè)D

是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:因0<y<1,故故在D上有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件3.計算解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件4.證明:其中D為解:利用題中x,y位置的對稱性,有又D的面積為1,故結(jié)論成立.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2023/6/26高等數(shù)學(xué)課件參考題1.估計的值,其中