2023新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)6組合的綜合應(yīng)用新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

課時(shí)分層作業(yè)(六)組合的綜合應(yīng)用一、選擇題1．若從1，2，3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A．60種 B．63種C．65種 D．66種D[均為奇數(shù)時(shí)，有Ceq\o\al(4,5)＝5(種)；均為偶數(shù)時(shí)，有Ceq\o\al(4,4)＝1(種)；兩奇兩偶時(shí)，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,5)＝60(種)，共有66種．]2．有4本不同的書(shū)，平均分給甲、乙2人，則不同的分法種數(shù)為()A．3 B．6C．12 D．24B[根據(jù)題意，將4本不同的書(shū)，平均分給甲、乙2人，每人得2本，分2步進(jìn)行分析：①在4本書(shū)中任選2本，分給甲，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)情況，②剩下的2本送給乙，有1種情況，則有6種不同的分法．]3．某地區(qū)高考改革，實(shí)行“3＋2＋1”模式，即“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門必考科目，“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理四門科目中必選兩門，“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，則一名學(xué)生的不同選科組合的種數(shù)為()A．8 B．12C．16 D．20B[根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門必考科目，有1種選法；②在化學(xué)、生物、政治、地理四門科目中必選兩門，有Ceq\o\al(2,4)＝6種選法；③在物理、歷史兩門科目中必選一門，有Ceq\o\al(1,2)＝2種選法．則這名學(xué)生的不同選科組合有1×6×2＝12(種)．]4．十二生肖是中國(guó)特有的文化符號(hào)，有著豐富的內(nèi)涵，它們是成對(duì)出現(xiàn)的，分別為鼠和牛、虎和兔、龍和蛇、馬和羊、猴和雞、狗和豬六對(duì)．每對(duì)生肖相輔相成，構(gòu)成一種完美人格．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，按照上面的配對(duì)分成六份．甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一份作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡，如果甲、乙、丙三位同學(xué)選取的禮物中均包含自己喜歡的生肖，則不同的選法共有()A．12種 B．16種C．20種 D．24種B[由題意可得：①甲選鼠和牛，乙同學(xué)有2種選法，丙同學(xué)有4種選法，共有2×4＝8種，②甲選馬和羊，乙同學(xué)有2種選法，丙同學(xué)有4種選法，共有2×4＝8種，綜上共有8＋8＝16種．]5．將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)小球放入三個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球，則不同的放法總數(shù)為()A．150 B．300C．60 D．90A[根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5個(gè)小球分成3組，若分為1，2，2的三組，有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝15種分組方法，若分為1，1，3的3組，有Ceq\o\al(3,5)＝10種分組方法，則有15＋10＝25種分組方法，②將分好的三組放入三個(gè)不同的盒子中，有Aeq\o\al(3,3)＝6種情況，則有25×6＝150種放法．]二、填空題6．以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有________個(gè)．58[先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)的取法為Ceq\o\al(4,8)種，其中，共面的4點(diǎn)有12個(gè)，則四面體的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(4,8)－12＝58(個(gè))．]7．某科技小組有六名學(xué)生，現(xiàn)從中選出三人去參觀展覽，至少有一名女生入選的不同選法有16種，則該小組中的女生人數(shù)為_(kāi)_______．2[設(shè)男生人數(shù)為x，則女生有(6－x)人．依題意Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,x)＝16，即6×5×4＝x(x－1)(x－2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4，即女生有2人．]8．2020年10月11日，全國(guó)第七次人口普查拉開(kāi)帷幕，某統(tǒng)計(jì)部門安排A，B，C，D，E，F(xiàn)六名工作人員到四個(gè)不同的區(qū)市縣開(kāi)展工作，每個(gè)地方至少需安排一名工作人員，其中A，B安排到同一區(qū)市縣工作，D，E不能安排在同一區(qū)市縣工作，則不同的分配方法總數(shù)為_(kāi)_________種．216[第一步，將6名工作人員分成4組，要求A，B同一組，D，E不在同一組，若分為3，1，1，1的四組，A，B必須在3人組，有Ceq\o\al(1,4)＝4種分組方法，若分為2，2，1，1的四組，A，B必須在兩人組，有Ceq\o\al(2,4)－1＝5(種)分組方法，則一共有5＋4＝9種分組方法；第二步，將分好的四組全排列，分配到四個(gè)區(qū)市縣，有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)．故總的分配方法有9×24＝216(種)．]三、解答題9．已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行一一測(cè)試，直至找出所有4件次品為止．(1)若恰在第5次測(cè)試，才測(cè)試到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？(2)若恰在第5次測(cè)試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？[解](1)先排前4次測(cè)試，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)種不同測(cè)試方法，再?gòu)?件次品中選2件排在第5和第10的位置上測(cè)試，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(2,4)種測(cè)法，再排余下4件的測(cè)試位置，有Aeq\o\al(4,4)種測(cè)法．所以共有不同測(cè)試方法Aeq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＝103680(種)．(2)第5次測(cè)試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，所以共有不同測(cè)試方法Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(3,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576(種)．10．已知平面α∥平面β，在α內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，在β內(nèi)有6個(gè)點(diǎn)．(1)過(guò)這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作一平面，最多可作多少個(gè)不同的平面？(2)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，最多可作多少個(gè)三棱錐？(3)(2)中的三棱錐最多可以有多少個(gè)不同的體積？[解](1)所作出的平面有三類：①α內(nèi)1點(diǎn)，β內(nèi)2點(diǎn)確定的平面，最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)個(gè)．②α內(nèi)2點(diǎn)，β內(nèi)1點(diǎn)確定的平面，最多有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)個(gè)．③α，β本身，有2個(gè)．故所作的平面最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)＋2＝98(個(gè))．(2)所作的三棱錐有三類：①α內(nèi)1點(diǎn)，β內(nèi)3點(diǎn)確定的三棱錐，最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)個(gè)．②α內(nèi)2點(diǎn)，β內(nèi)2點(diǎn)確定的三棱錐，最多有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)個(gè)．③α內(nèi)3點(diǎn)，β內(nèi)1點(diǎn)確定的三棱錐，最多有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)個(gè)．故最多可作出的三棱錐有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)＝194(個(gè))．(3)當(dāng)?shù)鹊酌娣e、等高時(shí)，三棱錐的體積相等．所以體積不相同的三棱錐最多有Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝114(個(gè))．故最多有114個(gè)體積不同的三棱錐．11．(多選題)在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則下列說(shuō)法正確的是()A．恰好取到一件次品有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,47)種不同取法B．至少取到一件次品有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,47)種不同取法C．兩名顧客恰好一人買到一件次品一人買到一件正品有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,47)Aeq\o\al(2,2)種不同取法D．把取出的產(chǎn)品送到檢驗(yàn)機(jī)構(gòu)檢查能檢驗(yàn)出有次品的有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,47)種不同方式AC[根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A：在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，恰好取到1件次品包含的基本事件個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,47)，A正確，對(duì)于B：至少取到1件次品包括兩種情況：只抽到一件次品，抽到兩件次品，所以至少取到一件次品有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,47)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(0,47)種取法，B錯(cuò)誤，對(duì)于C：兩名顧客恰好一人買到一件次品一人買到一件正品有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,47)Aeq\o\al(2,2)種不同取法，C正確，對(duì)于D：有次品即可，所以把取出的產(chǎn)品送到檢驗(yàn)機(jī)構(gòu)檢查能檢驗(yàn)出有次品的有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,47)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(0,47)種方式，D錯(cuò)誤．]12．(多選題)將四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1，2，3號(hào)的盒子中，不允許有空盒子的放法有多少種？下列結(jié)論正確的有()A．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3) B．Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)C．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2) D．18BC[根據(jù)題意，四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1，2，3號(hào)的盒子中，且沒(méi)有空盒，則三個(gè)盒子中有1個(gè)中放2個(gè)球，剩下的2個(gè)盒子中各放1個(gè)，有兩種解法：(1)分2步進(jìn)行分析：①先將四個(gè)不同的小球分成3組，有Ceq\o\al(2,4)種分組方法；②將分好的3組全排列，對(duì)應(yīng)放到3個(gè)盒子中，有Aeq\o\al(3,3)種放法；則沒(méi)有空盒的放法有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種．(2)分2步進(jìn)行分析：①在4個(gè)小球中任選2個(gè)，在3個(gè)盒子中任選1個(gè)，將選出的2個(gè)小球放入選出的小盒中，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)種情況；②將剩下的2個(gè)小球全排列，放入剩下的2個(gè)盒子中，有Aeq\o\al(2,2)種放法；則沒(méi)有空盒的放法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)種．]13．某組委會(huì)要從五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，共有__________種選派方法；若甲不能從事翻譯工作，乙不能從事導(dǎo)游工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案有________種．12078[若沒(méi)有限制條件則共有Aeq\o\al(4,5)＝120(種)，若有限制條件，根據(jù)題意，分3種情況討論：①?gòu)奈迕驹刚咧羞x派的四人中有甲但沒(méi)有乙，甲有3種安排方法，剩下三人全排列即可，此時(shí)有3×Aeq\o\al(3,3)＝18(種)選派方法；②從五名志愿者中選派的四人中有乙但沒(méi)有甲，乙有3種安排方法，剩下三人全排列即可，此時(shí)有3×Aeq\o\al(3,3)＝18(種)選派方法；③從五名志愿者中選派的四人中既有甲又有乙，需要在剩下3人中選出2人，有Ceq\o\al(2,3)種選法，選出4人的安排方法有Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)種，則此時(shí)有Ceq\o\al(2,3)(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2))＝42種選派方法．故一共有18＋18＋42＝78種選派方法．]14．將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有________種．36[分兩步完成：第一步，將4名大學(xué)生按2，1，1分成三組，其分法有eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,2)·C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))種；第二步，將分好的三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有Aeq\o\al(3,3)種．所以滿足條件的分配方案有eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,2)·C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．]15．10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)下列結(jié)果：(1)4只鞋子沒(méi)有成雙的；(2)4只鞋子恰有兩雙；(3)4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙．[解](1