一元二次方程課件華東師大版九年級數(shù)學上冊

22.1一元二次方程九年級上

1.了解一元二次方程的概念；2.理解一元二次方程解的意義；3.能根據(jù)現(xiàn)實情境理解一元二次方程的意義，能針對具體問題列出方程.學習目標重點難點問題1：綠苑小區(qū)在規(guī)劃設(shè)計時，準備在兩幢樓房之間，設(shè)置一塊面積為900平方米的矩形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？解：設(shè)綠地的寬為x米，根據(jù)題意可列方程x(x+10)

=900，整理得x2

+10x

-900

=0.(1)

得到的方程是一個一元一次方程嗎？新課引入思路點撥：設(shè)這兩年的年平均增長率為x.已知去年年底的圖書數(shù)是5萬冊，則今年年底的圖書數(shù)是5(1

+x)萬冊．同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底圖書數(shù)的(1

+x)倍，即5(1

+x)(1

+x)

=5(1

+x)2(萬冊)．可列得方程5(1

+x)2，整理可得5x2

+10x

=0.(2)得到的方程與一元一次方程有什么不同？一次方程的區(qū)別在哪里？它們又有什么共同特點呢？一、一元二次方程的定義新知學習x2

+10x

-900

=0.(1)5x2

+10x

=0.(2)

思考共同特點：(1)都是整式方程；(2)這里的未知數(shù)x的最高次數(shù)是2.

顯然，這兩個方程都不是一元一次方程．那么它們與一元歸納上述兩個整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是

ax2+bx+c=0(a，b，c是已知數(shù)，a≠0)ax2稱為二次項，

a

稱為二次項系數(shù)，

bx

稱為一次項，

b稱為一次項系數(shù)，

c

稱為常數(shù)項.1.下列方程中，是一元二次方程的有

.(填序號)

①x2＋y－6=0；②x2＋=2；③x2－x－2=0；④x2－2＋5x3－6x=0；⑤2x2－3x=2(x2－2)；

⑥3x(x-1)=5(x+2)

針對訓(xùn)練③⑥③

a=1，b=-1，c=-2；⑥

a=3，b=-8，c=-10；思路點撥：①有2個未知數(shù)；②中有分式；③符合條件；④未知數(shù)的最高次數(shù)為3；⑤化簡后為一元一次方程；⑥化簡后為3x2－8x－10

=0.綜上，符合一元二次方程條件的有③⑥變式

將上述一元二次方程化成一般形式，則

a，b，c的值分別是_________________________________________.歸納

1.一元二次方程的三個條件：注意：二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)及常數(shù)項都要帶自身的符號.(1)是整式方程；(2)只含有一個未知數(shù)；(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.二、一元二次方程的根定義：使一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的根.例1已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個根是3，求a的值.解：由題意得

將x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0解得見根就代，得到關(guān)于未知系數(shù)的方程，是解決類似問題的常用方法.

針對訓(xùn)練1.已知m是方程x2－x－1

=0的一個根，求代數(shù)式5m2－5m+1001的值.解：將x

=m代入方程x2－x－1

=0中，可得m2－m－1

=0

，即m2－m=1

代入5m2－5m+1001中可得5m2－5m+1001=5(m2－m)+1001=1006整體代入法.對條件或所求代數(shù)式進行適當變換，如化簡、合并、拆項、拼湊等，找出條件和所求代數(shù)式間的“倍數(shù)”關(guān)系.三、列出一元二次方程解決實際問題能根據(jù)現(xiàn)實情境理解一元二次方程的意義，能針對具體問題列出方程.例2將進貨單價為40元的商品按50元出售時，能賣500個.已知該商品每漲價1元，其銷售量就要減少10個，為了賺8000元利潤，應(yīng)漲價多少元？解：設(shè)應(yīng)漲價x元，由題可得，(50－40＋x)(500－10x)＝8000，例3某?！把袑W”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干長出相同數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是57，則這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是多少？解：設(shè)這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是x，由題意得1＋x＋x2＝57(1)在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會的人數(shù)為多少人？解：設(shè)有x人參加酒會，根據(jù)題意列方程得：x(x－1)＝55針對訓(xùn)練根據(jù)下列問題，列出關(guān)于未知數(shù)

x的方程.(2)在某次會議期間，為達成友好合作，每兩個人見面都會互送名片，若共送名片380張，則參加這次會議的有多少人？解：設(shè)參加這次會議的有x人，根據(jù)題意，得x(x－1)＝380歸納1.審：審題，認真閱讀題目，弄清未知量和已知量之間的關(guān)系；2.設(shè)：設(shè)出合適的未知數(shù)，一般設(shè)為x；3.找：等量關(guān)系；4.列：根據(jù)等量關(guān)系列出一元二次方程，有時要化為一般形式．列出一元二次方程解決實際問題的一般步驟圖形的面積

增長(下降)率每每問題

比賽、握手類問題互贈禮物類問題傳播、分裂類問題應(yīng)用一元二次方程解決實際問題常見的類型有：1.將下列一元二次方程化成一般形式，并指出方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.隨堂練習(1)7x-3=2x2

(2)2x(x-1)=3(x+1)-4解：(1)原式可化為-2x2+7x-3=0二次項系數(shù)為-2一次項系數(shù)為7常數(shù)項為-3.解：(2)原式可化為

2x2-5x+1=0二次項系數(shù)為2一次項系數(shù)為-5常數(shù)項為1.2.已知關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一個根是0，求m的值.解：將x

=0代入方程(m-2)x2+3x+m2-4=0中，可得m2-4=0解得

m1=2m2=-2∵m-2≠0，

即m≠2∴m=-23.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于未知數(shù)

x的方程.(1)2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？解：設(shè)共有x支隊伍參加比賽，根據(jù)題意，得(2)一商店銷售某款籃球，每個盈利40元，每天可以銷售20個．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，每天可多銷售2個．若該商店想要每天盈利1200元，且最大可能讓利顧客，則每個籃球應(yīng)降價多少元？解：設(shè)每個籃球應(yīng)降價x元，由題意得(40－x)(20＋2x)＝1200(3)一個自然數(shù)的立方，可以分裂為若干個連續(xù)奇數(shù)的和．例如：23、33、43可以分裂成兩個、三個、四個連續(xù)奇數(shù)的和，即23＝3＋5、33＝7＋9＋11、43＝13＋15＋17＋19，若連續(xù)三個非負數(shù)的立方的最小奇數(shù)和為401，則最大的這個自然數(shù)為多少？思路點撥：這屬于傳播、分裂類問題∵23＝3＋5、33＝7＋9＋11、43＝13＋15＋17＋19且3＝2×1＋1，7＝3×2＋1，13＝4×3＋1解：設(shè)最大的這個自然數(shù)為m由題意可得，m3“分裂