河北省張家口市后城中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

河北省張家口市后城中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，滿足，求得的取值范圍是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C2.雙曲線與拋物線相交于兩點(diǎn),公共弦恰好過它們的公共焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為 A． B． C． D．參考答案：B3.歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.特別是當(dāng)時(shí)，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)上最優(yōu)美的公式，數(shù)學(xué)家們評價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B由題意，對應(yīng)點(diǎn)為，在第二象限．

4.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為(

)

參考答案：D5.已知，現(xiàn)有下列不等式：①；②；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)是 （

） A．1

B．2

C．3 D．4參考答案：A略6.已知非零常數(shù)α是函數(shù)y=x+tanx的一個(gè)零點(diǎn)，則（α2+1）（1+cos2α）的值為（）A．2 B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；二倍角的余弦．【分析】由題意可得，tanα=﹣α，利用二倍角公式可得（α2+1）?（cos2α+1）=（1+tan2α）（2cos2α），化簡可求．【解答】解：由題意非零常數(shù)α是函數(shù)y=x+tanx的一個(gè)零點(diǎn)，可得，tanα=﹣α，可得（α2+1）?（1+cos2α）=（1+tan2α）（2cos2α）=2（cos2α）×（+1）=2．故選：A．7.若，則的值為（

）A．3

B．5

C．

D．參考答案：D由，可得..故選D.

8.sin300°的值（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值．【專題】計(jì)算題．【分析】把所求式子中的角300°變形為360°﹣60°，然后利用誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)為奇函數(shù)進(jìn)行化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到所求式子的值．【解答】解：sin300°=sin（360°﹣60°）=sin（﹣60°）=﹣sin60°=﹣．故選D【點(diǎn)評】此題考查了誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的奇偶性，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．9.已知，，則A∩B=（

）（A）(－3,－2]∪(1,+∞) （B）(－3,－2]∪[1,2)（C）[－3,－2)∪(1,2] （D）(－∞,－3]∪(1,2]參考答案：C10.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于

（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________________________．參考答案：(2，＋∞)略12.如圖，是直線上的兩點(diǎn)，且．兩個(gè)半徑相等的動圓分別與相切于點(diǎn)，是這兩個(gè)圓的公共點(diǎn)，則圓弧，與線段圍成圖形面積的取值范圍是

．參考答案：答案：解析：如圖，當(dāng)外切于點(diǎn)C時(shí)，最大，此時(shí)，兩圓半徑為1，等于矩形ABO2O1的面積減去兩扇形面積，，隨著圓半徑的變化，C可以向直線靠近，當(dāng)C到直線的距離。13.已知，且，則的最大值為

.參考答案：14.設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是．參考答案：（，6）【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義進(jìn)行求解即可．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)D（﹣1，﹣2）的斜率，由圖象得AD的斜率最大，BD的斜率最小，其中A（0，4），B（4，0），則AD的斜率k==6，BD的斜率k==，則的取值范圍是（，6），故答案為：（，6）．15.設(shè)＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

若A、B、C三點(diǎn)共線，則的最小值是________．參考答案：8據(jù)已知∥，又∵＝(a－1,1)，＝(－b－1,2)，∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，a＝，b＝時(shí)取等號，∴＋的最小值是8.16.已知點(diǎn)是△的外心，是三個(gè)單位向量，且2，，如圖所示，△的頂點(diǎn)分別在軸和軸的非負(fù)半軸上移動，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為

。參考答案：2略17.在行列式中，元素a的代數(shù)余子式值為

．參考答案：-1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合．曲線C的極坐標(biāo)方程為7ρ2﹣ρ2cos2θ﹣24=0．（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）點(diǎn)（x，y）在曲線C上，試求x﹣2y的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程為7ρ2﹣ρ2cos2θ﹣24=0．由倍角公式cos2θ=1﹣2sin2θ，方程變形為3ρ2+ρ2sin2θ﹣12=0，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式即可得出．（Ⅱ）由曲線C的直角坐標(biāo)方程，可設(shè)x=2cosθ，y=sinθ．利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程為7ρ2﹣ρ2cos2θ﹣24=0．由倍角公式cos2θ=1﹣2sin2θ，方程變形為3ρ2+ρ2sin2θ﹣12=0，再由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y得曲線C的直角坐標(biāo)方程是．（Ⅱ）由曲線C的直角坐標(biāo)方程，可設(shè)x=2cosθ，y=sinθ．則z=x﹣2y==，則﹣4≤z≤4，故x﹣2y的取值范圍是[﹣4，4]．【點(diǎn)評】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化、三角函數(shù)和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19.如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若,求二面角的余弦

值．參考答案：（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又，因此．因?yàn)槠矫?，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面，所以?/p>

（7分）（Ⅱ）解法一：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面．過作于，則平面，過作于，連接，則為二面角的平面角，

在中，，，又是的中點(diǎn)，在中，，又，

在中，，即所求二面角的余弦值為．

（14分）解法二：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以，，所以．設(shè)平面的一法向量為，則因此取，則，因?yàn)?，，，所以平面，故為平面的一法向量．又，所以．因?yàn)槎娼菫殇J角，所以所求二面角的余弦值為．

20.如圖所示，正三角形ABC的邊長為2，D、E、F分別在三邊AB、BC和CA上，D為AB的中點(diǎn)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的大??；（2）求的面積S的最小值及使得S取最小值時(shí)的值．參考答案：（1）（2）當(dāng)時(shí)，S取最小值試題分析：本題主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定義、兩角和的正弦公式、倍角公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示，在中，利用正弦定理，用表示，代入到①式中，再利用兩角和的正弦公式展開，解出，利用特殊角的三角函數(shù)值求角；第二問，將第一問得到的和代入到三角形面積公式中，利用兩角和的正弦公式和倍角公式化簡表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的有界性確定的最小值．試題解析：（1）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得．由，得，整理得，所以．（2）＝．當(dāng)時(shí)，取最小值．考點(diǎn)：1．正弦定理；2．兩角和的正弦公式；3．倍角公式．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查的是正弦定理、兩角和的正弦公式、同角的基本關(guān)系、二倍角的正弦、余弦公式和三角形的面積公式，解題時(shí)一定要注意對公式的正確使用，否則很容易失分．高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，期中關(guān)鍵是三角變換，而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式．21.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（Ⅰ）若a，b都是從集合{1，2，3，4}中任取的數(shù)字，求方程有實(shí)根的概率；（Ⅱ）若a是從區(qū)間中任取的數(shù)字，b是從區(qū)間中任取的數(shù)字，求方程有實(shí)根的概率．參考答案：考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式；幾何概型．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（Ⅰ）列舉所有的情況，找出方程有實(shí)根的事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型概率公式計(jì)算即可；（Ⅱ）畫出a是從區(qū)間中任取的數(shù)字，b是從區(qū)間中任取的數(shù)字的可行域，找出方程有實(shí)根的事件所代表的平面區(qū)域，利用幾何概型概率公式計(jì)算即可．解答： 解：（I）設(shè)事件A為“方程有實(shí)根”，記（a，b）為取到的一種組合，則所有的情況有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．一共16種且每種情況被取到的可能性相同．∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根，∴△=4a2﹣4b2≥0，∴a≥b．∴事件A包含的基本事件有：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共10種．∴P（A）=．∴方程有實(shí)根的概率是．（Ⅱ）設(shè)事件B=“方程有實(shí)根”，記（a，b）為取到的一種組合．∵a是從區(qū)間中任取的數(shù)字，b是從區(qū)間中任取的數(shù)字，∴點(diǎn)（a，b）所在區(qū)域是長為4，寬為3的矩形區(qū)域．又∵滿足a≥b的點(diǎn)的區(qū)域是如圖所示的陰影部分．∴P（B）==．∴方程有實(shí)根的概率是．點(diǎn)評：本題考查古典概型和幾何概型的概率計(jì)算，以及一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，屬于中檔題．22.如圖，已知拋物線：和⊙：，過拋物線上一點(diǎn)作兩條直線與⊙相切于、兩點(diǎn)，分別交拋物線為E、F兩點(diǎn)，圓心點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當(dāng)?shù)慕瞧椒志€垂直軸時(shí)，求直線的斜率；（Ⅲ）若直線在軸上的截距為，求的最小值．

參考答案：解（1）∵點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，∴，即拋物線的方程為．----------------------------------------------2分（2）法一：∵當(dāng)?shù)慕瞧椒志€垂直軸時(shí)，點(diǎn)，∴，設(shè)，，∴，

∴，∴．

．---------------------------6分法二：∵當(dāng)?shù)慕瞧椒志€垂直軸時(shí)，點(diǎn)，∴，可得，，∴直線的方程為，聯(lián)立方程組