廣西壯族自治區(qū)南寧市第十七中學(xué)高一數(shù)學(xué)文月考試題含解析

廣西壯族自治區(qū)南寧市第十七中學(xué)高一數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，，，則AB1與平面ABC1D1所成角的正弦值為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】做出線面角，在直角三角形中解角的正弦值.【詳解】做于H點(diǎn)，連接AH，因?yàn)?，，又因?yàn)椋?，根?jù)線面角的定義得到為所求角，在中，由等面積法得到，線面角的正弦值為：故答案：B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系，線面角的求法。求線面角，一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離，除以線段長(zhǎng)度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可。2.設(shè)函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上有意義，對(duì)于對(duì)定的正數(shù)k，定義函數(shù)fk（x）=取k=，f（x）=（）|x|，則fk（x）=的零點(diǎn)有（）A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．不確定，隨k的變化而變化參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】先根據(jù)題中所給函數(shù)定義求出函數(shù)函數(shù)fK（x）的解析式，從而得到一個(gè)分段函數(shù)，然后再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出圖象即可．【解答】解：取k=，f（x）=（）|x|，則fk（x）=的圖象如圖所示：則fk（x）=的零點(diǎn)就是fk（x）與y==的交點(diǎn)，故交點(diǎn)有兩個(gè)，即零點(diǎn)兩個(gè)．故選：C3.函數(shù)的圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

參考答案：D略4.從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則點(diǎn)(a，b)落在平行直線與內(nèi)（不包括兩條平行直線）的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】首先確定基本事件總數(shù)為；首先求得兩平行線間的距離，根據(jù)題意可知點(diǎn)到兩條直線的距離均小于，從而得到不等關(guān)系，在基本事件中找到滿足不等關(guān)系的事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知：構(gòu)成點(diǎn)的基本事件總共有個(gè)兩平行直線的距離為：落在平行直線與內(nèi)（不包括兩條平行直線）的點(diǎn)必須滿足條件：滿足條件的事件有：，，，，，共個(gè)所求概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查符合古典概型的概率問(wèn)題的求解，涉及到點(diǎn)與直線位置關(guān)系的應(yīng)用.5.在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面積S=，則三角形外接圓的半徑為（）A． B．2 C．2 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】由條件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圓的半徑R的值．【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面積S==bc?sinA=c?，∴c=2=b，故B==30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圓的半徑R=2，故選：B．6.已知函數(shù)f（x）=x2+1，那么f（a+1）的值為（）A．a(chǎn)2+a+2 B．a(chǎn)2+1 C．a(chǎn)2+2a+2 D．a(chǎn)2+2a+1參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由已知得f（a+1）=（a+1）2+1，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x2+1，∴f（a+1）=（a+1）2+1=a2+2a+2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．7.在△ABC中，角A，B均為銳角，且cosA＞sinB，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形參考答案：C考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式的作用．分析：利用cos（﹣α）=sinα及正弦函數(shù)的單調(diào)性解之．解答：解：因?yàn)閏osA＞sinB，所以sin（﹣A）＞sinB，又角A，B均為銳角，則0＜B＜﹣A＜，所以0＜A+B＜，且△ABC中，A+B+C=π，所以＜C＜π．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性．8.在集合﹛1，2，3，4…，10﹜中任取一個(gè)元素，所取元素恰好滿足方程 cos（30°·x）=的概率為（

） A．

B．

C．

D．參考答案：C略9.函數(shù)的圖象是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先利用函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），排除選項(xiàng)CD，再利用當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值小于1的特點(diǎn)，排除A，從而選B【解答】解：令x=0，則=1，即圖象過(guò)（0，1）點(diǎn)，排除C、D；令x=1，則=＜1，故排除A故選B10.若集合（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】利用集合交集運(yùn)算性質(zhì)即可解得.【詳解】所以故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查集合運(yùn)算性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知：在三棱錐P﹣ABQ中，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH，則多面體ADGE﹣BCHF的體積與三棱錐P﹣ABQ體積之比是．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】由題意可得GH∥EF，且GH：EF=2：3，設(shè)出三棱錐P﹣ABQ體積為V，可得VP﹣DCQ=，，=，作差求出多面體ADGE﹣BCHF的體積，則答案可求．【解答】解：∵D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，∴EF∥AB，DC∥AB，則EF∥DC，又EF?平面PCD，DC?平面PCD，∴EF∥平面PCD，又EF?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，∴EF∥GH，設(shè)三棱錐P﹣ABQ體積為V，則VP﹣DCQ=，，=．∴=．∴多面體ADGE﹣BCHF的體積與三棱錐P﹣ABQ體積之比是．故答案為：．12.某校高中部有三個(gè)年級(jí)，其中高三有學(xué)生1000人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個(gè)容量為185的樣本，已知抽取高一年級(jí)學(xué)生75人，抽取高二年級(jí)學(xué)生60人，則高中部共有學(xué)生的人數(shù)為

.參考答案：略13.已知，且是方程的兩根，則_____參考答案：略14.已知函數(shù)f（x）=﹣x2+ax+b的值域?yàn)椋ī仭蓿?]，若關(guān)x的不等式的解集為（m﹣4，m+1），則實(shí)數(shù)c的值為

．參考答案：21【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，△=a2+4b=0；m﹣4與m+1為方程x2﹣ax﹣b﹣﹣1=0的兩根；函數(shù)y=x2﹣ax﹣b﹣﹣1的對(duì)稱軸為x===；可求出a，m的值，再求c．【解答】解：由題意，函數(shù)f（x）=﹣x2+ax+b的值域?yàn)椋ī仭蓿?]，∴△=a2+4b=0

①；由不等式化簡(jiǎn)：x2﹣ax﹣b﹣﹣1＜0m﹣4與m+1為方程x2﹣ax﹣b﹣﹣1=0的兩根；m﹣4+m+1=a

②；（m﹣4）（m+1）=﹣b﹣﹣1

③；函數(shù)y=x2﹣ax﹣b﹣﹣1的對(duì)稱軸為x===；所以a=5；由①②知：m=4，b=﹣；由③知：c=21故答案為：2115.已知事件在矩ABCD的邊CD上隨意取一點(diǎn)P，使得△APB的最大邊是AB發(fā)生的概率為，則=．參考答案：【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】先明確是一個(gè)幾何概型中的長(zhǎng)度類(lèi)型，然后求得事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的線段長(zhǎng)度，再利用兩者的比值即為發(fā)生的概率，從而求出．【解答】解：記“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”為事件M，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的長(zhǎng)度即為線段CD，構(gòu)成事件M的長(zhǎng)度為線段CD其一半，根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)PD=CD時(shí)，AB=PB，如圖．設(shè)CD=4x，則AF=DP=x，BF=3x，再設(shè)AD=y，則PB==，于是=4x，解得=，從而=．故答案為：．16.在空間中，可以確定一個(gè)平面的條件是________(填寫(xiě)相應(yīng)的序號(hào))．①一條直線；②不共線的三個(gè)點(diǎn)；③一條直線和一個(gè)點(diǎn)；④兩條直線．參考答案：②17.對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間，使得，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”．現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)：

①

②

③

④．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有

▲

參考答案：②④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知點(diǎn)P（﹣1，2）．圓C：（x﹣1）2+（y+2）2=4．（1）求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程；（用直線方程的一般式作答）（2）設(shè)圓C上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱且點(diǎn)P到直線l的距離最長(zhǎng)，求直線l的方程（用直線方程的一般式作答）參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；圓的切線方程．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】（1）設(shè)過(guò)P（﹣1，2）的切線為y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程，并求此切線的長(zhǎng)度；（2）確定l經(jīng)過(guò)圓C的圓心C（1，﹣2），使P到l的距離最長(zhǎng)，則l⊥PC，直線PC的斜率kPC=﹣2，可得l斜率，即可得出直線l的方程．【解答】解：（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，x=1，滿足題意；…當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)P（﹣1，2）是切線為y﹣2=k（x+1）?kx﹣y+k+2=0?=2?k2+4k+4=k2+1?k=﹣兩條切線l1：x=﹣1；l2：3x+4y﹣5=0…（2）圓C上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱?l經(jīng)過(guò)圓C的圓心C（1，﹣2）…使P到l的距離最長(zhǎng)，則l⊥PC，直線PC的斜率kPC=﹣2?l斜率為…..?直線l：y+2=（x+1）?l方程：x﹣2y﹣3=0…．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．19.已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．參考答案：【考點(diǎn)】GI：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】（1）由，＜θ＜π結(jié)合同角平方關(guān)系可求cosθ，利用同角基本關(guān)系可求（2）結(jié)合（1）可知tanθ的值，故考慮把所求的式子化為含“切”的形式，從而在所求的式子的分子、分母同時(shí)除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．【點(diǎn)評(píng)】（1）考查了同角平方關(guān)系，利用同角平方關(guān)系解題時(shí)一定要注意角度的取值范圍，以確定所求值的符號(hào)．（2）考查了同角基本關(guān)系在三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值中的應(yīng)用．20.(本小題10分)如右圖，三棱錐中，,.（1）求證：；（2）求二面角的度數(shù)．

參考答案：（1）證明：取AB中點(diǎn)E,連接VE,CE，因?yàn)閂A=VB,所以VE⊥AB,同理，因?yàn)镃A=CB,所以CE⊥AB,又因?yàn)閂E∩CE=E,所以AB⊥平面VEC,又因?yàn)閂C平面VEC，所以AB⊥VC.(2)由（1）可知VEC為所求二面角V-AB-C的平面角，設(shè)VC=a，因?yàn)镋為中點(diǎn)，AB=AC=2VC=2a，又因?yàn)锳CB=120°，所以AE=EB=a，CE=a，VE=a，有因?yàn)樵赩EC中，VC=a，所以VEC為等邊三角形，所以VEC=60°，所以二面角V-AB-C的度數(shù)為60°。21.（本大題滿分12分）若函數(shù)，如果存在給定的實(shí)數(shù)對(duì)，使得恒成立，則稱為“函數(shù)”．（1）判斷下列函數(shù)是否為“函數(shù)”，并說(shuō)明理由；①，

②（2）已知函數(shù)是一個(gè)“函數(shù)”，求出所有的有序?qū)崝?shù)對(duì)．參考答案：即時(shí)，對(duì)恒成立，而最多有兩個(gè)解，矛盾，因此不是“函數(shù)”

……2分②答案不唯一：如取，恒有對(duì)一切都成立，即存在實(shí)數(shù)對(duì)，使之成立，所以，是“函數(shù)”．（2）函數(shù)是一個(gè)“函數(shù)”設(shè)有序?qū)崝?shù)對(duì)滿足，則恒成立當(dāng)時(shí)，，不是常數(shù)；

……6分因此，當(dāng)時(shí)，則有，