廣東省潮州市登塘中學2021-2022學年高三數(shù)學理測試題含解析

廣東省潮州市登塘中學2021-2022學年高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)則A．沒有零點

B．有唯一零點C．有兩個零點并且D．有兩個零點并且參考答案：D略2.已知集合表示的平面區(qū)域為Ω，若在區(qū)域Ω內(nèi)任取一點P（x，y），則點P的坐標滿足不等式x2+y2≤2的概率為（）A．B．C．D．參考答案：D考點：幾何概型；簡單線性規(guī)劃．專題：概率與統(tǒng)計．分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，求出對應(yīng)的面積，結(jié)合幾何概型的概率公式進行求解即可．解答：解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，則對應(yīng)的區(qū)域為△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直線2x+y﹣4=0與x軸的交點坐標為（2，0），則△OAB的面積S==，點P的坐標滿足不等式x2+y2≤2區(qū)域面積S=，則由幾何概型的概率公式得點P的坐標滿足不等式x2+y2≤2的概率為=，故選：D點評：本題考查的知識點是幾何概型，二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，求出滿足條件A的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)幾何概型的概率公式進行求解．3.已知曲線C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在點M（，2）處的切線與曲線C2：y=ex+l﹣1也相切，則t的值為（）A．4e2 B．4e C． D．參考答案：A【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求出y=的導數(shù)，求出斜率，由點斜式方程可得切線的方程，設(shè)切點為（m，n），求出y=ex+1﹣1的導數(shù)，可得切線的斜率，得到t的方程，解方程可得．【解答】解：曲線C1：y2=tx（y＞0，t＞0），即有y=，y′=?，在點M（，2）處的切線斜率為?=，可得切線方程為y﹣2=（x﹣），即y=x+1，設(shè)切點為（m，n），則曲線C2：y=ex+1﹣1，y′=ex+1，em+1=，∴m=ln﹣1，n=m?﹣1，n=em+1﹣1，可得（ln﹣1）?﹣1=e﹣1，即有（ln﹣1）?=，可得=e2，即有t=4e2．故選：A．4.（文）已知向量和滿足條件：且.若對于任意實數(shù)，恒有，則在、、、這四個向量中，一定具有垂直關(guān)系的兩個向量是（

）(A)與

(B)與

(C)與

(D)與參考答案：BTTT，此式對任意實數(shù)恒成立，則△

=TTTT，故選(B).5.已知實數(shù)a>0，且a≠1，函數(shù)f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上是減函數(shù)，又g(x)＝ax＋，則下列選項正確的是()A．g(－3)<g(2)<g(4)

B．g(2)<g(－3)<g(4)C．g(4)<g(－3)<g(2)

D．g(－3)<g(4)<g(2)參考答案：B6.已知實數(shù)x∈，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出x的值不小于55的概率為(

) A． B． C． D．參考答案：C考點：程序框圖．專題：概率與統(tǒng)計；算法和程序框圖．分析：由程序框圖的流程，寫出前三項循環(huán)得到的結(jié)果，得到輸出的值與輸入的值的關(guān)系，令輸出值大于等于54得到輸入值的范圍，利用幾何概型的概率公式求出輸出的x不小于55的概率．解答： 解：設(shè)實數(shù)x∈，經(jīng)過第一次循環(huán)得到x=2x+1，n=2經(jīng)過第二循環(huán)得到x=2（2x+1）+1，n=3經(jīng)過第三次循環(huán)得到x=2+1，n=4此時輸出x輸出的值為8x+7令8x+7≥55，得x≥6由幾何概型得到輸出的x不小于55的概率為==．故選：C點評：根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中既要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)（如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理）?②建立數(shù)學模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當?shù)臄?shù)學模型?③解模．7.不等式成立的一個充分不必要條件是…………（）A．或 B．或C． D．參考答案：D略8.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為 （

） A． B． C． D．或參考答案：C9.下列4個命題：P1：

P2：

P3：

P4：

其中的真命題是（

）A．P1、P3

B．P1、P4

C．P2、P3

D．P2、P4參考答案：D10.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算得到結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)的點坐標為在第四象限.故答案為：D.【點睛】在復(fù)平面上，點和復(fù)數(shù)一一對應(yīng)，所以復(fù)數(shù)可以用復(fù)平面上的點來表示，這就是復(fù)數(shù)的幾何意義．復(fù)數(shù)幾何化后就可以進一步把復(fù)數(shù)與向量溝通起來，從而使復(fù)數(shù)問題可通過畫圖來解決，即實現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化．由此將抽象問題變成了直觀的幾何圖形，更直接明了．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)數(shù)列的前n項和，則的值為

參考答案：略12.設(shè)函數(shù)，若，則_________.參考答案：-3或-2因為，所以或或，所以或.13.設(shè)變量x，y滿足約束條件目標函數(shù)的最大值為

。參考答案：14.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦(含乾、坤、異、震、坎、離、良、兌八卦)，每一卦由三根線組成(“”表示一根陽線，“”表示一根陰線)，從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根陰線的概率為

．參考答案：觀察八卦圖可知，含3根陰線的共有1卦，含有3根陽線的共有1卦，含有2根陰線1根陽線的共有3卦，含有1根陰線2根陽線的共有3卦，故從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線恰有兩根陽線，四根陰線的概率為．15.若變量、滿足約束條件則的最大值為

參考答案：

16.關(guān)于函數(shù)，下列命題：①存在，，當時，成立；②在區(qū)間上是單調(diào)遞增；③函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱圖像；④將函數(shù)的圖像向左平移個單位后將與的圖像重合．其中正確的命題序號

（注：把你認為正確的序號都填上）參考答案：①③17.圓的半徑為，為圓周上一點，現(xiàn)將如圖放置的邊長為的正方形（實線所示，正方形的頂點和點重合）沿著圓周順時針滾動，經(jīng)過若干次滾動，點第一次回到點的位置，則點走過的路徑的長度為

▲

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在長方體中，，且．（I）求證：對任意，總有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在,求出的值,若不存在，說明理由．參考答案：解：（I）以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，

，從而，

，即．

┄┄┄┄┄

（4分）（II）由（Ｉ）及得，，設(shè)平面的法向量為，則，從而可取平面的法向量為，又取平面的法向量為，且設(shè)二面角為，所以

┄┄┄┄┄

（8分）（III）假設(shè)存在實數(shù)滿足條件，由題結(jié)合圖形，只需滿足分別與所成的角相等，即，即，解得．所以存在滿足題意得實數(shù)，使得在平面上的射影平分

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（12分）略19.（14分）已知將一枚質(zhì)地不均勻的硬幣拋擲三次，三次正面均朝上的概率為

（1）求拋擲這樣的硬幣三次，恰有兩次正面朝上的概率；

（2）拋擲這樣的硬幣三次后，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，記四次拋擲后正面朝上的總次數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列及期望Eξ.參考答案：解析：設(shè)拋擲一次這樣的硬幣，正面朝上的概率為P，依題意有：

3分

所以，拋擲這樣的硬幣三次，恰有兩次正面朝上的概率為

………………6分

（2）解：隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4.

所以ξ的分布列為

ξ01234P

12分Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=…………13分20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，E為PC的中點，且PD=AD=AB=4．（1）過點A作一條射線AG，使得AG∥BD，求證：平面PAG∥平面BDE；（2）若點F為線段PC上一點，且DF⊥平面PBC，求四棱錐F﹣ABCD的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面平行的判定．【分析】（1）在矩形ABCD中，連結(jié)AC和BD交于點O，連接OE，則O是AC的中點，從而OE∥PA，進而PA∥平面BDE，由AG∥BD，得AG∥平面BDE，由此能證明平面PAG∥平面BDE．（2）由DF⊥PC，過F作FK∥PD，交CD于K，則FK⊥底面ABCD，由此能求出四棱錐F﹣ABCD的體積．【解答】證明：（1）在矩形ABCD中，連結(jié)AC和BD交于點O，連接OE，則O是AC的中點，∵E是PC的中點，∴OE是△PAC的中位線，∴OE∥PA，又OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE，又AG∥BD，同理得AG∥平面BDE，∵PA∩AG=A，∴平面PAG∥平面BDE．解：（2）∵DF⊥平面PBC，∴DF⊥PC．在Rt△PDC中，∵PD=4，CD=8，∴，∴DF==，∴FC==，∴=，過F作FK∥PD，交CD于K，則FK=，∵PD⊥底面ABCD，∴FK⊥底面ABCD，∴．21.（13分）已知數(shù)列滿足，.（Ⅰ）若，求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若，設(shè)，求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使數(shù)列滿足不等式恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由.參考答案：解析：（Ⅰ）

…………4分（Ⅱ）

,

……8分

（Ⅲ）假設(shè)記，可求故存在，使恒成立.……13分22.(本小題滿分12分）2015年10月4日，強臺風“彩虹”登陸廣東省湛江市，“彩虹”是1949年以來登陸中國陸地的最強臺風?！安屎纭苯o湛江市人民帶來了巨大的財產(chǎn)損失，湛江市教育局調(diào)査了湛江市50戶居民由于臺風造成的經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成[0,2000]，（2000,4000]，(4000,6000],(6000,8000]，（8000,10000]五組,作出頻率分布直方圖（圖1)，并向全市發(fā)出倡議，為受災(zāi)的湛江市居民捐款.(視頻率為概率）(I)在湛江市受災(zāi)居民中隨機抽取3戶，設(shè)損失超過8000元的居民為X戶，