第一周課件1集合含義及其表示

§1.01

集合的含義及其表示一．問題情境問題1

在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常有這樣的說法：操場上的一隊學(xué)生、我的家庭成員、高一3班屬兔的學(xué)生等等．像這樣的語言描述的對象有共同特點嗎？像這樣的語言，都是對一類具有某些共同特征的特定對象的總稱．問題2

下面對群體的描述和上面有什么不同？（1）著名科學(xué)家；（2）小朋友；（3）電腦發(fā)燒友；區(qū)別：前面一些群體的對象是確定的，而后面一些群體的邊界則是模糊的．例如，“所有的三角形”是對一類平面圖形的總稱，說到這類對象，我們就有明確的判斷：對于一個平面圖形，要么它是一個三角形，屬于這一類；要么它不是三角形，不屬于這一類．不存在既是三角形又不是三角形的一個平面圖形．又如，“方程x2－x－2＝0

的所有解”知的就是“1，2”，對于某個對象（一般是實數(shù)），如果用它代入

x2－x－2

中的x，使得x2－x－2＝0

成立，它就屬于這一類；否則，就不屬于這一類．問題3在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，也有類似的對一類具有某些共同特征的特定對象的描述嗎？你能不能舉出幾個具體的例子？二.數(shù)學(xué)概念集合的定義：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的，不同對象的全體構(gòu)成一個集合．集合的表示：集合常用大寫拉丁字母表示，如集合A，集合B，……，練習(xí).觀察下列各組對象，判斷它們是否能夠成集合．①1，2，3，4，5；②到一個角的兩邊距離相等的點；③直角三角形；④2014年9月1日金陵中學(xué)高一年級的學(xué)生；⑤2014年9月1日金陵中學(xué)高一年級的高個子學(xué)生；⑥比較大的實數(shù).答：①②③④中的對象是確定的,能構(gòu)成集合；⑤⑥中的對象是不確定的，不構(gòu)成集合.集合的元素：集合中的每一個對象叫做這個集合的元素．如“英文單詞young中的字母”構(gòu)成一個集合，該集合的元素就是y，o，u，n，g這五個字母．而“英文單詞book中的字母”也構(gòu)成一個集合，該集合的元素就是b，o，k這三個字母．常用小寫的拉丁字母表示集合的元素，如a，b，……．集合的元素和集合之間的關(guān)系如果一個對象a是集合A的元素，那么，用

“a∈A”表示，讀作“a屬于A”；如果一個對象a不是集合A的元素，那么，用“aˇ

A”表示，讀作“a不屬于A”．如a∈A，或aˇA．(5)集合的表示方法①列舉法一般地，將集合中的元素一一列舉出來，置于“｛｝”內(nèi)，元素之間用逗號“，”隔開，這種表示集合的方法稱為列舉法，如{1，2，3，4，5}，{y，o，u，n，g}等．②描述法其一般形式是{x│P（

x

）

}，大括號內(nèi)加豎線法（豎

線左邊的x叫作此集合的代表元素，豎線右邊的P（

x）是指出元素所具有的公共屬性）．③Venn

圖：我們還可以畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部表示集合，這種表示集合的方法稱為Venn

圖．例如，圖

1—1

表示集合｛1，2，3｝，圖1—2

表示集合｛北京，天津，上海，重慶｝，圖1—3

表示任何一個集合．北京，天津，上海，重慶1

2

3A圖

1—1

圖

1—2

圖

1—3用Venn

圖表示集合，形象直觀．(6)一些數(shù)集有特殊規(guī)定的符號：自然數(shù)集N；正整數(shù)集N＊或N＋；整數(shù)集實數(shù)集Z；R.有理數(shù)集Q；三．數(shù)學(xué)應(yīng)用例1

求方程x2－1＝0的解集．解由x2－1＝0，得x＝－1或1．列舉法：方程x2－1＝0的解集為｛－1，1｝；

描述法：方程x2－1＝0的解集為｛x|x2－1＝0｝．說明集合的幾種表示方法各有優(yōu)點，有些集合只能用其中一種方法表示，有些集合能同時用幾種方法表示．例2

求不等式2x－3＞5的解集．解

由2x－3＞5得x＞4，所以不等式2x－3＞5的解集為{x│x＞4，x∈R}．或可簡記為{x│x＞4}．例3

指出下列集合的幾何意義：(1)集合{x│x－3＞2}；1

2xOy圖－5(2)集合{(x，y)│y＝x＋1}．解(1)集合{x│x－3＞2}表示與3的差大于2的實數(shù)的集合，即大于5的實數(shù)的集合，其集合意義是數(shù)軸上以5對應(yīng)的點為端點的一條與數(shù)軸同方向的射線（除去這個端點）如圖－4所示.(2)集合{(x，y)│y＝x＋1}表示直角坐標平面內(nèi)的一條直線，如圖－5所示．Ox5圖－4例3

指出下列集合的幾何意義：集合{x│x－3＞2}；集合{(x，y)│y＝x＋1}．解(1)集合{x│x－3＞2}表示與3的差大于2的實數(shù)的集合，即大于5的實數(shù)的集合，其集合意義是數(shù)軸上以5對應(yīng)的點為端點的一條與數(shù)軸同方向的射線（除去這個端點）如圖－4所示.(2)集合{(x，y)│y＝x＋1}表示直角坐標平面內(nèi)的一條直線，如圖－5所示．說明：認識集合應(yīng)從集合元素是什么開始，要明確該集合的元素是數(shù)、點還是其他對象．一般地，數(shù)集中的元素是數(shù)的表示形式，點集、方程組的解集中，元素的形式是有序?qū)崝?shù)對．例4

求方程x2＋x＋1＝0實數(shù)解的集合．解由于△＝1－4＝－3＜0，所以方程x2＋x＋1＝0無實數(shù)解，即方程x2＋x＋1＝0實數(shù)解的集合中沒有任何元素．說明：像這樣的不含任何元素的集合，稱為空集，記作?

．（7）集合的分類：如果一個集合里的元素是有限的，稱其為有限集，如果一個集合里的元素不是有限的，稱其為無限集．如果一個集合不里含任何元素，稱其為空集，思考：集合｛0｝是空集，有限集，還是無限集?例5

用列舉法表示下列各組對象組成的集合．大于1小于7的奇數(shù)；長江、黃河、海河、珠江；

(3)a＋b，a－b，－a＋b，－a－b；(4)

｛(x，y)|

x＋y＝3，x－2y＝0｝

．解(1){3，5}．(2){長江，黃河，海河，珠江}．(3){a＋b，a－b，－a＋b，－a－b}．(4){(2，1)}．錯誤表示：｛2，1｝，｛x＝2，y＝1｝．例6

用描述法表示下列各組對象組成的集合．(1)0，2，4，6；(2)拋物線y＝x2＋1上所有的點的坐標；

(3)周長小于20cm的三角形；解(1){x|0≤x≤6，x為偶數(shù)}．(2){(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}．(3){x|x是周長小于20cm的三角形}．思考：用描述法表示下列各組對象組成的集合：正奇數(shù)；平面直角坐標系中第三象限的點的.四．課堂小結(jié)集合的特性確定性：根據(jù)某一明確的標準來判斷某個對象是某集合的元素或不是此集合的元素，兩種情況有且僅有一種成立．互異性：對于給定的集合，集合中的元素是互異的，即集合中的任意兩個元素都是不同的對象，相同