實驗三：malab求代數(shù)方程的近似根解

實驗三求代數(shù)方程的近似根(解)數(shù)學(xué)實驗

問題背景和實驗?zāi)康膶嶒炄?、近似求解代?shù)方程解方程（代數(shù)方程）是最常見的數(shù)學(xué)問題之一，也是眾多應(yīng)用領(lǐng)域中不可避免的問題之一。目前還沒有一般的解析方法來求解非線性方程，但如果在任意給定的精度下，能夠解出方程的近似解，則可以認(rèn)為求解問題已基本解決，至少可以滿足實際需要。本實驗主要介紹一些有效的求解方程的數(shù)值方法：對分法，迭代法和牛頓法。同時要求大家學(xué)會如何利用Matlab

來求方程的近似解。相關(guān)概念

如果f(x)

是一次多項式，稱上面的方程為線性方程；否則稱之為非線性方程。

線性方程與非線性方程基本思想對分法將有根區(qū)間進(jìn)行對分，判斷出解在某個分段內(nèi)，然后再對該段對分，依次類推，直到滿足給定的精度為止。

適用范圍求有根區(qū)間內(nèi)的單根或奇重實根。

數(shù)學(xué)原理：介值定理設(shè)

f(x)

在[a,b]

上連續(xù)，且f(a)f(b)<0，則由介值定理可得，在

(a,b)

內(nèi)至少存在一點

使得f()=0。具體步驟對分法設(shè)方程在區(qū)間[a,b]

內(nèi)連續(xù)，且f(a)f(b)<0，給定精度要求，若有|f(x)|<，則x就是我們所需要的f(x)

在區(qū)間(a,b)

內(nèi)的近似根。......收斂性分析對分法收斂性設(shè)方程的根為x*(ak,bk

)，又，所以0(k)對分法總是收斂的但對分法的收斂速度較慢通常用來試探實根的分布區(qū)間，

或給出根的一個較為粗糙的近似。根據(jù)上面的算法，我們可以得到一個每次縮小一半的區(qū)間序列

{[ak,bk

]}

，在(ak,bk

)中含有方程的根。迭代法基本思想構(gòu)造

f(x)=0

的一個等價方程：從某個近似根x0

出發(fā)，計算得到一個迭代序列k=0,1,2,......

(x)

的不動點f(x)=0x=(x)等價變換f(x)

的零點若收斂，即，假設(shè)(x)

連續(xù)，則收斂性分析迭代法的收斂性即注：若得到的點列發(fā)散，則迭代法失效！定義：迭代法收斂性判斷定理2：如果定理1的條件成立，則有如下估計如果存在

x*的某個

鄰域

=(x*-,x*+),

使得對

x0

開始的迭代

xk+1

=

(xk)都收斂,則稱該迭代法在

x*

附近局部收斂。定理1：設(shè)

x*=(x*)，的某個鄰域

內(nèi)連續(xù)，且對

x都有|’(x)|q<1,則對

x0，由迭代

xk+1

=

(xk)得到的點列都收斂。迭代延法收良斂性貿(mào)判斷定理3：已知方程

x=(x)，且(1)對

x[a,b]，有(x)[a,b]；對

x[a,b]，有|’(x)|q<1；則對

x0[a,b]

，由迭代

xk+1

=

(xk)得到的點列都收斂，且q越小，迭氏代收六斂越快’(x*)越小，迭合代收敢斂越快迭代吸法收頭斂性懂判斷以上沃所給唉出的昏收斂奔性定滲理中龜?shù)臈l絲式件的吧驗證搖都比好較困拐難，卸在實結(jié)際應(yīng)洽用中述，我變們常幼用下護(hù)面不算嚴(yán)格佛的判鏟別方漿法：當(dāng)有會根區(qū)再間[a,b]較小若，且寄對某旦一x0[a,b]，|’(x0)|明顯階小于姜1攝時塌，則鞏我們嫩就認(rèn)飽為迭罵代收艱斂迭代緩法的帥加速設(shè)迭黑代xk+1=(xk)，第k步和逢第k+1步得件到的聯(lián)近似齡根分食別為xk和(xk)，令其中wk稱為腔加權(quán)罩系數(shù)竭或權(quán)黎重。盤得新標(biāo)迭代xk+1=(xk)加權(quán)系數(shù)wk

的確定：令’(x)=0得松弛波迭代緩法松弛關(guān)法迭疑代公括式：松弛賣法具泥有較垮好的竊加速些效果岸，甚至有些飄不收稈斂的郵迭代階，加徐速后示也能唇收斂。缺點村：每次可迭代譯需計舌算導(dǎo)章數(shù)Al椅tk但en迭代居法Al渣tk苦en迭代刻法用差商近似微商設(shè)x*

是方程的根，則由中值定理可得Al挺tk楊en迭代為法Al鬼tk盟en迭代此公式k=競0,敢1狹,餃2,賺.戲..反.添..Al早tk緩en法同鍛樣具漂有較孕好的踐加速階效果牛頓迭代害法令：

基本思想：用線性方程來近似非線性方程，即采用線性化方法設(shè)非線性方程f(x)=0

,f(x)在x0

處的Taylor展開為牛頓法迭牛代公皮式牛頓諸迭代至公式k=叢0,饅1述,林2,斬.夠..嘆.贏..牛頓法的頑收斂找速度令牛頓嚇法至深少二會階局柜部收榴斂當(dāng)f(x*)0時’(x*)=0(x)即為煌牛頓目法的雞迭代饒函數(shù)牛頓法迭溪代公仿式牛頓的優(yōu)點牛頓法是渣目前核求解砌非線竿性方叮程(組)的主氧要方列法至少蓮二階舒局部猶收斂碎，收紙斂速淘度較撲快，襲特別卻是當(dāng)拳迭代喉點充而分靠罪近精婚確解餃時。

牛頓的缺點

對重根收斂速度較慢（線性收斂）

對初值的選取很敏感，要求初值相當(dāng)接近真解在實降際計股算中己，可肢以先怎用其遼它方申法獲蛾得真汁解的孤一個讀粗糙哲近似貍，然委后再楊用牛改頓法閱求解唉。Ma澤tl運ab解方吃程函授數(shù)ro句ot歇s(厘p)：多項才式的所有達(dá)零點，p是多果項式誦系數(shù)塊向量球。fz啟er飽o(f,普x0)：求f=暫0在x0附近遲的根栗，f可以神使用in速li膠ne、字符賞串、或@，但貪不能咸是方艙程或蘿符號母表達(dá)恐式！so像lv嬸e(景f,找v)：求方怨程關(guān)敲于指們定自界變量井的解跑，f可以攏是用字軋符串?dāng)辣硎径鞯姆窖莩?、符號狗表達(dá)厲式或符號碗方程；so鉆lv茅e也可粱解方載程組蹲(包覺含非獎線性洋)；得不傻到解跟析解愈時，間給出暗數(shù)值遮解。li狗ns灰ol佩ve征(A條,b)：解線礎(chǔ)性方舅程組份。其他Ma賭tl槳ab相關(guān)栗函數(shù)g=di甜ff陡(f晴,v)：求符精號表塘達(dá)式f關(guān)于v的導(dǎo)器數(shù)g=di巴ff捕(f)：求符端號表摟達(dá)式f關(guān)于默認(rèn)蜻變量的導(dǎo)即數(shù)g=di授ff趙(f瞇,v毯,n)：求f關(guān)于v的n階導(dǎo)售數(shù)di殃fff是符坡號表港達(dá)式輕，也猴可以羞是字電符串默認(rèn)首變量盈由fi途nd策sy葬m(