高中函數(shù)反函數(shù)題42道

反函數(shù)精選題42道

選擇題(共16小題)

1.設(shè)“ER,若f(x)=log2(x+〃)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3,1),則()

A.7B.3C.1D,-1

2丫3c0

:一的反函數(shù)是()

{-x2,%<0

(X、八

2,X20住北。

A?產(chǎn)jQxVOB.

-V'j-y^X,X<0

2x,x>0

y=-x<o

3.設(shè)函數(shù)(x)與y=2*的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則/(2)=()

_1

A.4B.V2C.1D.-

4.若函數(shù)_y=/(x)與函數(shù)y=log2x互為反函數(shù)，貝廳(1+log或3)=()

A.9B.11C.16D.18

5.定義在R上的函數(shù)/(X)有反函數(shù)(x),若有［Ct)V(7)=2恒成立，則，1(2020x-)+f'x(x-2018)

的值為()

A.0B.2C.-2D.不能確定

6.己知函數(shù)/(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，fl(x)是它的反函數(shù)，點4(-2,3)和點8(2,1)均在函數(shù)/(x)的

圖象上，則不等式，?(3，)|<2的解集為()

A.(0,1)B.(1,3)C.(-1,1)D.(0,3)

7.設(shè)函數(shù)/'(X)與g(x)=b/〃x的圖象關(guān)于直線x-y=0對稱，其中a,56R且a>0,a,b滿足()

b

A.a+b=2B.a=b=1C.ab=\D.-=1

a

8.函數(shù)y=sinx,xW臉，竽]的反函數(shù)為()

A.y=arcsinx,xE[-1,1]B.y--arcsinx,xG[-1,1]

C.^=ii+arcsinx,xE[-1,1]D.y=n-arcsinx,xE[-1,1]

9.函數(shù)y=)9一1(xWO)的反函數(shù)是()

A.y=+1)3-1)B.y=--y/(x+l)3(冗2-1)

C.y=+1)3(x20)D.尸—1(x+1尸(x,0)

10.已知f(x)=-V4-工2的反函數(shù)為/T(%)=V4-N,則/(x)的定義域為()

第1頁(共20頁)

A.(-2,0)B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,2]

11.設(shè)函數(shù)y=/(x)存在反函數(shù)(x),且函數(shù)的圖象過點(1,3),則函數(shù)(x)+3的圖

象一定經(jīng)過定點()

A.(1,1)B.(3,1)C.(-2,4)D.(-2,1)

12.已知函數(shù)人?=盤芻的反函數(shù)圖象的對稱中心是(-1,3),則實數(shù)”的值是()

A.2B.3C.-3D.-4

13.若定義域為R的奇函數(shù)y=/(x)有反函數(shù)夕=/r(x),那么必在函數(shù)y=/7(x+1)圖象上的點是()

A.(-f(Z-1)>-f)B.(-/(f+l),-t)

C.(-f(t)-1,-t)D.(-/(E)+1,-/)

14.如果函數(shù)/(x)=|/g|2x-1||在定義域的某個子區(qū)間(k-1,Z+1)上不存在反函數(shù)，則左的取值范圍是()

A.[-^2)B.(1,引

13

C.[-1,2)D.(-1，-2]U[2，2)

1

15.若函數(shù)y=/(x)是函數(shù)尸3、的反函數(shù)，則/(])的值為()

1L

A.-log23B.-logs2C.-D.v3

9

17.設(shè)常數(shù)a€R,函數(shù)/(x)=log2(x+a).若/(x)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3,1),則a=.

18.已知函數(shù)/(x)—l+logox.y—f1(x)是函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，若y=/"i(x)的圖象過點(2,4),則a

的值為.

19.已知/(x)=/1，其反函數(shù)為廣?(%),若/?(x)-a=f(x+a)有實數(shù)根，則a的取值范圍

為.

第2頁(共20頁)

20.若函數(shù)/(x)=底不可的反函數(shù)為g(x),則函數(shù)g(x)的零點為.

21.函數(shù)/(x)=/,(x<-2)的反函數(shù)是.

(2x(x<O')1

22.已知函數(shù)/(x)=,一八的反函數(shù)是尸(x),則7(-)=______.

[log2x(0<x<1)2

23.函數(shù)/(x)—x1-1(x<0)的反函數(shù)(x)=.

24.函數(shù)/(x)=。「+1的反函數(shù)是.

25.設(shè)尸(x)為/(x)Wcosx+年淚0,E的反函數(shù)，則尸(x)的最大值為?

26.已知函數(shù)/(x)=筌9(“羊/)圖象與它的反函數(shù)圖象重合，則實數(shù)。=.

27.已知函數(shù)/(x)="-1的圖象經(jīng)過(1,1)點，則，1(3)=.

28.函數(shù)y=/+l(xW-1)的反函數(shù)為.

29.已知函數(shù)/(x)=J"°，則廣廣(-9)尸_____.

12r-1,X<0

30.已知函數(shù)/(x)=x2-3tx+\,其定義域為[0,3]U[12,15],若函數(shù)y=f(x)在其定義域內(nèi)有反函數(shù)，則實數(shù)

t的取值范圍是.

31.已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(2,4),則其反函數(shù)為.

32.已知函數(shù)/(x)=2+logaX(a>0且aWl)的反函數(shù)為y=/r(x).若廣(3)=2,貝！Ia=.

33.已知/(x)=/(3x-3r)的反函數(shù)為/I(x),當xe[-3,5]時，函數(shù)產(chǎn)(x)=/小(x-1)+1的最大值為M，

最小值為加，則M+m=.

三.解答題(共9小題)

1

34.設(shè)。>0,函數(shù)/。)=耳西?

(I)若。=1,求/(x)的反函數(shù)/I(x)；

(2)求函數(shù)y=/(x)?/(-x)的最大值(用a表示)；

(3)設(shè)g(x)=f(x)-/(x-1).若對任意xG(-°°,0],g(x)2g(0)恒成立,求a的取值范圍.

35.己知函數(shù)/(x)—2X-1的反函數(shù)是y=/r(x),g(x)—log4(3x+l).

(1)畫出/(x)=2X-1的圖象；

(2)解方程(x)=g(x).

36.已知函數(shù)/(x)為函數(shù)^=疝(。>0,。#1)的反函數(shù)，/(5)>/(6),且/(x)在區(qū)間[a,3“]上的最大值與

最小值之差為1.

(1)求a的值；

第3頁(共20頁)

(2)解關(guān)于x的不等式Zogi(x-1)>log-L(9a-x).

37.已知函數(shù)/(x)=/”(x]+a).

(1)設(shè)/I(%)是的反函數(shù)，當°=1時，解不等式I1(x)>0；

(2)若關(guān)于x的方程/(X)+ln(x2)=0的解集中恰好有一個元素，求實數(shù)。的值；

(3)設(shè)。>0,若對任意正日，1],函數(shù)f(x)在區(qū)間[3f+1]上的最大值與最小值的差不超過加2,求。的取值范

圍.

38.己知函數(shù)y=g(x)與/(x)=3、的圖象關(guān)于y=x對稱.

(1)若函數(shù)g(扇+2*+1)的值域為R,求實數(shù)/的取值范圍；

(2)若0<XI<X2且|g(XI)|=|g(X2)I，求4X1+X2的最小值.

39.設(shè)函數(shù)，。)=空三(。6/?)是R上的奇函數(shù).

(1)求。的值，并求函數(shù)/(x)的反函數(shù)(x)解析式；

(2)若人為正實數(shù)，解關(guān)于x的不等式廣i(x)>)牛.

40.己知函數(shù)f(x)=高，其中常數(shù)入>0.

(1)求人=1時，函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)；

(2)求證：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點P(0,早)成中心對稱.

x-b

41.已知函數(shù)/(x)=log"^q^(a>0,aWl,6W0).

(1)求函數(shù)/(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，并說明理由；

(3)求/(x)的反函數(shù)/I(x)的解析式.

42.已知集合4=32--5X+2W0},函數(shù)y=22-3計3反函數(shù)的定義域為凡

(1)若。=-1,求/A8；

(2)若求實數(shù)a的取值范圍：

(3)若方程log2(ax2-3x+3)=2在/內(nèi)有解，求實數(shù)。的取值范圍.

第4頁(共20頁)

反函數(shù)精選題42道

參考答案與試題解析

一.選擇題(共16小題)

1.設(shè)〃ER,若f(x)=log2(x+a)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3,1),貝！J4=()

D.-1

【解答］解：若>=10g2G+〃)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3,1),

則函數(shù)y=log2(x+a)的圖象經(jīng)過點(1,3),

即k>g2(Q+1)=3,

解得：4=7,

故選：A.

2.函數(shù)尸產(chǎn)'J2°的反函數(shù)是()

(-%2,%<0

2,%0(2，%N0

A?產(chǎn)(cxvob-y=\-^,x<0

'2x,x>0

(2x,x>0

【解答】解：一%2,工20時，由y=2無，解得x=/y,把x與歹互換可得：y=

x<0,由^=-9,解得x=—Q,把x與y互換可得：y—尸.

二函數(shù)夕={_%2,xvo的反函數(shù)是y=12.

一7-x>xVO

故選：B.

3.設(shè)函數(shù)y=/(x)與尸=2、的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則/(2)=()

B.V2

【解答】解：由題意可得y=/(x)與y=2x互為反函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為同底的對數(shù)函數(shù),

2*=2,可得x=l

所以f(2)=1,

故選：C.

4.若函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=log2X互為反函數(shù)，貝葉(1+log或3)=()

A.9B.11C.16D.18

第5頁(共20頁)

【解答】解：因為函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=log”互為反函數(shù),

所以f(x)=2X,

1+loa3l09

所以f(l+Zog夜3)=2^=2x2sg或3=2x2^=2x9=18,

故選：D.

5.定義在R上的函數(shù)/(x)有反函數(shù)/F(x),若有/(x)》(-x)=2恒成立，則，1(2020-x)+f'(x-2018)

的值為()

A.0B.2C.-2D.不能確定

【解答】解：(x)(-x)=2,.?./(/)4/(-/)=2,

令2020-x—m,x-2018=",.'.m+n—2,

可令/'(f)—m,/(-r)—n,由反函數(shù)的定義知，

'(?7),-t=f1(n)

(m)+/1(n)=0,

即：/'(2020-x)+/"1(x-2018)的值是0,

故選：A.

6.已知函數(shù)/(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，/'G)是它的反函數(shù)，點/(-2,3)和點8(2,1)均在函數(shù)/(x)的

圖象上，則不等式『I(3、)|<2的解集為()

A.(0,1)B.(1,3)C.(-1,1)D.(0,3)

【解答】解：依題意，點/(-2,3)和點8(2,1)均在函數(shù)/(x)的圖象上，

：.f(x)為其定義域內(nèi)的減函數(shù)，

.V1(x)為其定義域內(nèi)的減函數(shù)，

(3D|<2Q-2</i(3D<2,

又點4(-2,3)和點8(2,1)關(guān)于y=x的對稱點H(3,-2),(1,2)在/i(x)圖象上，

所以/(3)=-2,/(I)=2,

：.-2<f](3X)V2Q1V3Y3,解得0<x<l,

故選：A.

7.設(shè)函數(shù)/(x)=/￡與g(x)=b/〃x的圖象關(guān)于直線x-y=0對稱，其中a,b€R且。>0,則a,6滿足()

b

A.a+b=2B.a=b=\C.ab=lD.-=1

a

【解答】解：設(shè)Z(x,是函數(shù)/(x)=e"圖象上任意一點，

則它關(guān)于直線x-y=0對稱的點4i(e。"》)在函數(shù)g(x)=6加x的圖象上，

ax

所以x=blne=abx9

第6頁(共20頁)

即ab=l,

故選：C.

8.函數(shù)尸sinx,x€或，堂的反函數(shù)為()

A.y=arcsinx,xE[-1,1]B.y=-arcsinx,xE[-1,1]

C.y=n+arcsiiir,xE[-1,1]D.y=n-arcsinx,xG[-1,1]

【解答】解：由于xC吟，為時，-WsiarWl,而arcsitw,xe[-1,1],表示在區(qū)間[―￡,堂上，正弦值等于x

的一個角，

故函數(shù)y=sinx,xC怎，手]的反函數(shù)為y=n-arcsinx,x€[-1,1],

故選：D.

9.函數(shù)》=)乒一1(x<0)的反函數(shù)是()

A.y=J(x+(xN-1)B.y=—^/(x4-1)3-1)

C.y=^/(x4-1)3(x20)D.y=—y/(x+l)3(x，0)

【解答】解：由—1GWO)得

所以尸-120,且(y+1)3=~

因為所以工=-J(y+1)3且42-1,

所以反函數(shù)為y=-J(x+1)3G2-1)

故選:B.

10.已知/(%)=-，4一%2的反函數(shù)為fT(%)=。4一X2,則/(X)的定義域為()

A.(-2,0)B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,2]

【解答】解：由于/(X)=-反，的反函數(shù)為廣1。)=74^2,

??,原函數(shù)的定義域就是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的定義域；

???泣冷??廨唯/J

???0WxW2；

故/G)的定義域為[0,2].

故選：D.

11.設(shè)函數(shù)歹=/(x)存在反函數(shù)y=/r(x),且函數(shù)y=x-/(x)的圖象過點(1,3),則函數(shù)y=7.i(x)+3的圖

象一定經(jīng)過定點()

A.(1,1)B.(3,1)C.(-2,4)D.(-2,1)

第7頁(共20頁)

【解答】解：?.7=x-/(x)的圖象過點(1,3),

；.3=1-/⑴，

即/⑴=-2,

即函數(shù)y=/(x)的圖象過點(1,-2),

則函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)(x)過(-2,1)點，

函數(shù)(x)+3的圖象一定過點(-2,4),

故選：C.

12.己知函數(shù)/(%)=(言的反函數(shù)圖象的對稱中心是(-1,3),則實數(shù)。的值是()

A.2B.3C.-3D.-4

【解答】解：函數(shù)f(x)=占芻:的反函數(shù)圖象的對稱中心是(-I,3),所以原函數(shù)的對稱中心為(3,-1),

函數(shù)化為/(乃=$、=-1+二~7,所以。+1=3,所以a=2.

X-u—1X—CL—1

故選：A.

13.若定義域為R的奇函數(shù)夕=/(x)有反函數(shù)夕=/r(x),那么必在函數(shù)y=/7(x+1)圖象上的點是()

A.(-f(/-1),-Z)B.(-f(f+1),-t)

C.(~f(/)-1,-t)-t)

【解答】解；?.丁(x)定義在R上的奇函數(shù)，.??/?(-/)=-/(/),V(-/(/))=-t,即(-/(力，-t)在y

?(x)的圖象上，

?.>=/'(x+1)圖象是由y=/r(x)的圖象向左平移1個單位得到的，

A(-f(f)-1,-力在y=/r(x+1)圖象上.

故選：C.

14.如果函數(shù)[(x)=|/g|2x-1||在定義域的某個子區(qū)間(k-I,RD上不存在反函數(shù)，則上的取值范圍是()

A.2)B.(1,

13

C.[-1,2)D.(-1,—2〕U[2，2)

【解答】解：只要找到在某一個區(qū)間長度為2,且滿足不單調(diào)的區(qū)間，那么在這個區(qū)間上就不存在反函數(shù)：定義域

為x€R且也就是說這個子區(qū)間的右端點在0至咕或者左右端點在弋到1,都滿足，

.,.001+1<舞口;<k-1<1即-1-/或者|<k<2

故選：D.

15.若函數(shù)y=/(x)是函數(shù)了=3工的反函數(shù)，則/(手的值為()

第8頁(共20頁)

1L

A.-log23B.-logs2C.-D.y/3

9

【解答】解：???函數(shù)y=/(x)是函數(shù)y=3》的反函數(shù)，

'?y—f(x)=logs，r,

11

?V=bg3]=-log32

故選：B.

16.己知函數(shù)/(x)—10g2X的反函數(shù)為g(x),則g(1-x)的圖象為()

【解答】解：函數(shù)/(x)=10g2X的反函數(shù)為g(X)=23

貝Ijg(1-x)=21X=2-(i)x,當x=0時，g(1)=1,

再利用單調(diào)性可知圖象為C.

故選：C.

二.填空題(共17小題)

17.設(shè)常數(shù)〃€R,函數(shù)/(x)=log2(x+a).若/(x)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3,1),則“=7.

【解答】解：常數(shù)a€R,函數(shù)/(x)=log2(x+a).

/(x)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3,1),

，函數(shù)/(%)=log2(x+a)的圖象經(jīng)過點(1,3),

/.Iog2(1+。)=3,

解得。=7.

故答案為：7.

18.已知函數(shù)/(x)=l+logar,y=f1(x)是函數(shù)y=/G)的反函數(shù)，若歹=廣(x)的圖象過點(2,4),則a

的值為4.

【解答】解：??，=/[(x)的圖象過點(2,4),

第9頁(共20頁)

，函數(shù)y=/(x)的圖象過點(4,2),

又f(x)=1+logaX,

工2=1+log〃4,即。=4.

故答案為：4.

,3

19.已知/(、)=/4=1,其反函數(shù)為/i(x),若/i(x)-a=/G+a)有實數(shù)根，則a的取值范圍為廣，+8).

【解答】解：因為(X)-47與y=/(x+a)互為反函數(shù)，

若y=/r(x)-a與y=f(x+a)有實數(shù)根，

貝i」y=/(x+a)與^=》有交點，

所以，尤+a-1=x,

即a=x^-x+1(x—2+

20.若函數(shù)/'(X)=V2x+3的反函數(shù)為g(x),則函數(shù)g(x)的零點為_V3_.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=727+3,則/(0)=V3,

若函數(shù)/(x)=后不可的反函數(shù)為g(x),則g(V3)=0,

則函數(shù)g(x)的零點為百；

故答案為：V3.

21.函數(shù)/(x)=/,(x<-2)的反函數(shù)是_y=-V%,(x>4)—.

【解答】解：函數(shù)/(x)=f,(x<-2),則戶4.

可得x=-7j7,

所以函數(shù)的反函數(shù)為：y=-\[x,(x>4).

故答案為：y=—?，(x>4).

f2x(x<0),,1

22.已知函數(shù)/(x)=,,八的反函數(shù)是(x),則/I%)=-1

{log2x(0<x<1)2

【解答】解：由題意，xWO,2*=4，.，.x=-1,

第10頁(共20頁)

故答案為-1.

23.函數(shù)/(x)=x2-1(x<0)的反函數(shù)/i(x)=_一V，+1(x>-1)

【解答】解：,??函數(shù)/(x)=x2-1(x<0),

?、值域為(-1，+8),

???反函數(shù)/1(x)=—Vx+1(x>-1),

故答案為：一正不I(x>-1)

24.函數(shù)/(x)的反函數(shù)是/一1(x)=/-1G20).

【解答】解：由可得：x=y2-1,y^O,

/./(x)=/%+1的反函數(shù)是:/1(x)=f-1(x20),

故答案為：fx(x)=，-1G20).

5/r

25.設(shè)/i(x)為fQx)=*-1cosx+*,xW［0,冗］的反函數(shù)，則y=/(x)4/一1(x)的最大值為一彳一

【解答】解：(x)=.-1cos%+*是［0,IT］上的單調(diào)增函數(shù)，且尸(%)為/(x)=R*cos%+皋xe［0,TT］

的反函數(shù)，

：.f(X)和/I(X)的單調(diào)性相同，

71

，當工=n時，f(X)的瑯大值為5,

且當x=￡時/e=r?-S，cos(?)+S=?'

.?.y=/(x)4/1(x)的定義域為［0,今，

且當X=*時/-1(.)=n,

；??=/(X)+f'(X)的最大值為/(*)+/T(方)=*+兀=苧?

故答案為：

4

26.已知函數(shù)/(x)=得(。羊/)圖象與它的反函數(shù)圖象重合，則實數(shù)。=7.

【解答】解：由；；=超(.4勤，解得x=《=SW3),把x與y互換可得：>-竽==萼拈

?.?函數(shù)/(x)=需(?*1)圖象與它的反函數(shù)圖象重合，

/.-4=3,解得a--3.

第11頁(共20頁)

故答案為：-3.

27.已知函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過(1,1)點，則/F(3)=2.

【解答】解：函數(shù)/G)=/-1的圖象經(jīng)過(1,1)點，

可得：1=a-1,

解得：a=2.

：.f(x)=2X-1

那么：/F(3)的值即為2、-1=3時，x的值.

由2,-1=3,解得：x=2.

：.f1(3)=2.

故答案為2.

28.函數(shù)y=/+i(xW-1)的反函數(shù)為y=一《=1(x22).

【解答】解：由歹=F+1-1),^x2=y-1,-x=_Jy-1(y22),

x,y互換得：y=—y/x-1(x22),

，函數(shù)y=/+i(x<-1)的反函數(shù)為y=--1G22),

故答案為：y=-V%—1(x22).

29.己知函數(shù)/(x)={；：'：20-o'則/「(-9)1=-2.

—比2,Y>0

一,

{2-x-l,x<0

2

.??x20時，y=-xtx=V~y?x，y互換，得/T(x)=xWO,

xVO時，y=2x-1,x=-log2(尹1)，x,y互換得/i(x)=-log2(x+1),x>0,

???尸(乃=尸*。，

(一，。。2(%+1)，X>0

"1(-9)=3,f'[f[(-9)]=/'(3)=-2.

故答案為：-2.

30.已知函數(shù)/(x)=x2-3tx+l,其定義域為[0,3]U[12,15],若函數(shù)y=/(x)在其定義域內(nèi)有反函數(shù)，則實數(shù)

t的取值范圍是(-8,0]u「2,4)U(6,81U「10,+8).

【解答】解：函數(shù)f(x)=f-3tx+l的對稱軸為工=等

3t

若萬W0,即/W0,則y=/(x)在定義域上單調(diào)遞增，所以具有反函數(shù)；

第12頁(共20頁)

若y>15,即f》10,則y=fCx)在定義域上單調(diào)遞減，所以具有反函數(shù)；

當3W當<12,即2&W8時，由于區(qū)間[0,3]關(guān)于對稱軸號的對稱區(qū)間是卬-3,3小

42

3t<12(3t-3>15

于是當3t或3t，即向2,4)或怎(6,8]時，

T-3(2<12

函數(shù)在定義域上滿足17對應(yīng)關(guān)系，具有反函數(shù).

綜上，色(-8,0]U[2,4)U(6,8]U[10,+8).

31.己知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(2,4),則其反函數(shù)為y=103,(0,+8).

【解答】解：設(shè)指數(shù)函數(shù)了=/，a>0且21；

其圖象過點(2,4),所以次=4,解得。=2；

所以函數(shù)y=2x,xGR；

所以它的反函數(shù)是y=log2x,xe(0,+8).

故答案為：y=log2x,xG(0,+8).

32.已知函數(shù)/(x)=2+log?x(。>0且)的反函數(shù)為(x).若廣(3)=2,則。=2

【解答】解：(3)=2,.\/(2)=3,代入可得3=2+loga2,化為log,,2=l,解得a=2.

故答案為：2.

33.已知f(x)=/(3*-3-)的反函數(shù)為71(x),當x€[-3,5]時，函數(shù)F(x)=廣(x-1)+1的最大值為例,

最小值為加，則A/+w=2.

【解答】解：由題意可得/(-x)=4(3一，-3")=-/(x),即函數(shù)/(x)在R上為奇函數(shù)，

當xC[-3,5],令t=x-l€[-4,4],則/(x-1)=/(/)=*(3-3")為奇函數(shù)且單調(diào)遞增

所以反函數(shù)/I(/)也是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，

所以尸(x)=/1(/)是(t)向上平行移動1個單位也為單調(diào)遞增，對稱中心(0,1),

由互為反函數(shù)的性質(zhì)可得〃+加=-3+5=2,

故答案為：2

三.解答題(共9小題)

1

34.設(shè)a>0,函數(shù)/(%)=]+.2>.

(1)若〃=1,求/(x)的反函數(shù)(x)；

(2)求函數(shù)y=/(x)?/'(-x)的最大值(用〃表示)；

(3)設(shè)g(x)=f(x)-f(x-1).若對任意xE(-8,o],g(x)2g(0)恒成立，求a的取值范圍.

第13頁(共20頁)

【解答】解：(1)當。=1時，/(X)=占，

J1+ZZ

???1+2,=*

即發(fā)="一1=字，則0<y<l,

1_y

.?.x=log2(------)；

y

1-x

故/(x)的反函數(shù)/I(x)=log2(^―),XE(0,I)

、111

(2)u：y=f(x)?/(-x)=IJ-------=——————,

>JJ1+Q,2%1+82一*1+砂+磯2%+2一%)

設(shè)歹=2"+2",易知，函數(shù)y=2"+2F在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+°°)上單調(diào)遞增，

則當x=0時，^=2'+2一、有最小值，最小值為2,

???當x=0時，y=f(x)?/(-%)有最大值，

?_1_1

?Wl+a2+2a=^F；

11

(3)g(x)=f(x)-/(x-1)=7-7-y?——~~-1，令￡=〃,2",VxG(-8,0],。>0,「.OV/Wa.

oJJ]+Q?，4l+a-2x—1

:'h⑺

當QW魚時〃(/)在(0,旬上單調(diào)遞減，所以=九⑷=。2工：+2

二?對任意xE(-8,0],g(x)2g(0)恒成立，且g(0)=LQ-[J]，

―Q]]—d4/—

；?2c-->----成山0<a<V2

CL+3Q+21+a1+/Q

當Q>\歷時，^(x)>—7=—>2V2-3,令-3.1；------1廠=-不恒成立，舍去

2展+31+01+扣M+3a+2

綜上，。的取值范圍是(0,V2].

35.已知函數(shù)/(x)=2X-1的反函數(shù)是y=/i(x),g(x)=log4(3x+l).

(1)畫出/(x)=2X-1的圖象；

(2)解方程/i(x)=g(x).

【解答】解：(1)如圖所示，

(2)由y=2“-1,解得：x=log2(y+1),

把x與y互換可得：歹=log2(x+1),

:.f(x)的反函數(shù)是歹=/i(x)=log2(x+1)(x>-1).

方程/i(x)=g(x)即k)g2(x+l)=log4(3x+l).

，(x+1)2=3X+1>0,

第14頁（共20頁）

解得：x=0或1.

36.已知函數(shù)/(x)為函數(shù)y=/(a>0,a#l)的反函數(shù)，/(5)>/(6),且/(x)在區(qū)間口，3旬上的最大值與

最小值之差為1.

(1)求。的值；

(2)解關(guān)于x的不等式，。gi(x-1)>Zogi(9a—x).

33

【解答】解：(1)V/(X)為函數(shù)y="的反函數(shù)，

(X)=10gaX,

又?.?k)ga5>loga6得:0<a<l,

由/(x)在區(qū)間［a,3a］上的最大值與最小值之差為1,

得：log"。-log"3a=1,解得：q=w；

(2)V0<a<l,

ex—1<3—x

AU-i>o'

37.已知函數(shù)f(x)=ln(”+a).

(1)設(shè)/I(x)是f(x)的反函數(shù)，當。=1時，解不等式I［(x)>0；

(2)若關(guān)于x的方程/(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一個元素，求實數(shù)a的值：

(3)設(shè)。>0,若對任意/eg,1］,函數(shù)/(x)在區(qū)間［3f+1］上的最大值與最小值的差不超過/〃2,求。的取值范

圍.

【解答】解：(1)函數(shù)y=/(x)—In(”+a),

???”+a=縝，Ax=/1(x)

當Q=1時、/1(x)=J1>0,解得X>0,

,6—1

，不等式/I(x)>0的解集為(0,+8)：

第15頁(共20頁)

(2)依題意有/G)+加(x2)=0,即歷(^+x)=0,即o?+x=l的解集中恰好有一個元素,

當4=0時，X=l,符合題意；

當QWO時，△=1+4Q=0,解得〃=一9，

綜上所述：Q=0或〃=一］

11

(3)a>0時，假設(shè)0Vxi〈X2時，一+a>x---Fa,

%i2

?'?In(—+a)>ln(一+。)，

X1%2

：.f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

???函數(shù)/(x)在區(qū)間口什1］上的最大值與最小值的分別為/(，)，/(什1),

、、11

.,*/(/)-/(Z+1)=ln(一+〃)-In(—7+。)02,

設(shè)g（力=7-tTT,%1],

WflVE2W1,

1]_(￡2-力1)(口+以+1)

則g（力）-g（￡2）=-r-

rl《1+1《2+1￡122（￡1+1）（￡2+1）

v-<Zl</2^1，

.??工2-力>0，。+，2+1>0，力/2>0，力+1>0,亥+1〉0，

.*.g(/1)-g(亥)>0,

即g(/1)>g(亥)，

ill

??g(/)=當―計］在［5,1］上為減函數(shù)，

124

?'?g(，)max=g(5)=2—=y

?,a-3

38.已知函數(shù)y=g(x)與/(x)=3、的圖象關(guān)于>=%對稱.

(1)若函數(shù)g(扇+2%+1)的值域為R,求實數(shù)〃的取值范圍;

(2)若OVxiV、且|g(X!)|=|g(X2)I，求4制+工2的最小值.

【解答】答案：(1)由題意得g(x)=log3X.

2

因為g(k/+2%+1)=log3(kx+2%+1)的定義域為R,

所以^+2x4-1>0有實數(shù)解.

第16頁(共20頁)

當％=0時滿足條件------------------------------------(2分)

當左W0時，欲函數(shù)g(依2+2X+1)的值域為R,

則代>°,即，所以04W1,即實數(shù)上的取值范圍為［0,1］.---------(6分)

(2)由|g(xi)|=|g(X2)I，W|logUl|=|log3X2|.

因為0VX1VX2，所以0VX1V1VX2，

且一log3Xl=k)g3X2，所以log3X|+log3X2=10g3X1X2=0,

1

所以x\X2=1,所以4%i+%?=4%i+—，0V%iVI.

X1

因為函數(shù)y=4x+］在(0,辦上單調(diào)遞減，在8，1)上單調(diào)遞增，

所以當/時，4XI+X2取得最小值為4.------------------------------------(12分)

39.設(shè)函數(shù)f(x)=^J(aeR)是火上的奇函數(shù).

(1)求。的值，并求函數(shù)/(x)的反函數(shù)/I(x)解析式；

(2)若《為正實數(shù)，解關(guān)于x的不等式廣10)>)空.

【解答】解：(1)因為函數(shù)/(乃=耳舒(。€/?)是/?上的奇函數(shù).

所以/(0)=m=0,解得。=1，

設(shè)y=/'(x)=窘W，則e'=據(jù)，所以x=，n(轡)，

所以函數(shù)/(x)的反函數(shù)/T(x)="若，x6(-1,1)；

(2)由f—i(xK)可得213X-1+X：>KE(-111),

1+x1+x11

則:;>一;一，所以:;且a>0,所以1-l〈左，所以x>l-匕

1—xk1—xk

①若-1<1-左<1,即0V4V2,則原不等式的解集為(1-匕1),

②若即A22,則原不等式的解集為(-1,1).

40.己知函數(shù)f(x)=高，其中常數(shù)人>0.

(1)求人=1時，函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)；

(2)求證：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點P(0,早)成中心對稱.

【解答】(1)解：當入=1時，/(%)=先品=蘭市-1，

因為1+3X>1=>0<7^<21V/Xx)VI，

第17頁(共20頁)

又丁=篇-1=3乂=需,

所以/(X)的反函數(shù)為廣1(工)=/。93品，xe(-1,1),

(2)證明：顯然，/(x)的定義域為R,

于是/(%)+八_乃=搖=品=鬻+第3=4—1，

所以，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點P(0,與1)成中心對稱.

x