湖南省婁底市蛇形中學高三數(shù)學理測試題含解析

湖南省婁底市蛇形中學高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合則下列結(jié)論正確的是

(

)

A． B． C． D．參考答案：D略2.條件甲：“”是條件乙：“”的（

）A．既不充分也不必要條件

B．充分必要條件C．充分不必要條件

D．必要不充分條件參考答案：D3.曲線與直線及軸所圍成的封閉圖形的面積為（

）A． B． C． D．參考答案：A由解析式作出如圖所示簡圖：由圖像可知封閉圖形面積為曲線與軸圍成曲邊三角形的面積與的面積之差．聯(lián)立兩函數(shù)解析式，求出交點的坐標為：，則點的坐標為：，求出直線與軸交點坐標為：，則曲邊三角形的面積為：，的面積為：，所以兩線與軸圍成圖形的面積為：．故選A．4.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)則z的共軛復數(shù)是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D【知識點】復數(shù)綜合運算因為

所以，z的共軛復數(shù)是

故答案為：D5.已知向量，若與垂直，則等于（A）

（B）0

（C）1

（D）2參考答案：答案：C6.曲線在處的切線方程為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：略7.函數(shù)在點處的切線方程為，則等于A．

B．

C．2

D．4參考答案：答案:D8.已知的三邊長成公差為的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為，則這個三角形的周長是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.若函數(shù)f（x）=a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），滿足f（1）=，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]參考答案：B【考點】4B：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．【分析】由f（1）=，解出a，求出g（x）=|2x﹣4|的單調(diào)增區(qū)間，利用復合函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．【解答】解：由f（1）=，得a2=，于是a=，因此f（x）=（）|2x﹣4|．因為g（x）=|2x﹣4|在[2，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[2，+∞）．故選B10.若復數(shù)z＝（3﹣6i）（1+9i），則（）A.復數(shù)z的實部為21B.復數(shù)z的虛部為33C.復數(shù)z的共軛復數(shù)為57﹣21iD.在復平面內(nèi)，復數(shù)z所對應的點位于第二象限參考答案：C【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)的基本概念逐一核對四個選項得答案．【詳解】解：∵復數(shù)z＝（3﹣6i）（1+9i）＝57+21i．∴復數(shù)z的實部為57，虛部為21，復數(shù)z的共軛復數(shù)為57-21i，在復平面內(nèi)，復數(shù)z所對應的點的坐標為（57，21），位于第一象限．故選：C．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，是⊙的直徑，切⊙于點，切

⊙于點，交的延長線于點.若，，則的長為_______.參考答案：3略12.已知是定義在R上的奇函數(shù)．當時，，則不等式的解集用區(qū)間表示為________________.參考答案：（-5,0）或（5,+）;13.當實數(shù)滿足約束條參考答案：略14.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程是,則

.參考答案：315.設(shè)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），則=．參考答案：考點： 函數(shù)的周期性；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值．專題： 計算題．分析： 由題意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知條件進行運算．解答： 解：∵f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案為：﹣．點評： 本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性的應用，以及求函數(shù)的值．16.直線的方向向量與x軸的正方向上的單位向量的夾角是_

。參考答案：1200或60017.函數(shù))的單調(diào)減區(qū)間是

▲

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為．（1）求直線的極坐標方程；（2）若直線與曲線相交于、兩點，求．參考答案：（Ⅰ）消去參數(shù)得直線的直角坐標方程：---------2分由代入得．（也可以是：或）---------------------5分（Ⅱ）

得-----------------------------7分設(shè)，，則．---------10分（若學生化成直角坐標方程求解，按步驟對應給分）19.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=2，sinA=，?=﹣3（Ⅰ）求b和c，（Ⅱ）求sin（A﹣B）的值．參考答案：考點：三角形中的幾何計算；兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：解三角形．分析：（Ⅰ）由條件利用余弦定理、兩個向量的數(shù)量積的定義，分別得到一個等式，列方程組求得b、c的值．（Ⅱ）由條件利用正弦定理求得sinB的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosB的值，再利用兩角差的正弦公式求得sin（A﹣B）的值．解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵sinA=，?=﹣3，可得A為鈍角，故cosA=﹣，且bc?（﹣）=﹣3①．再根據(jù)a=2，利用余弦定理可得a2=24=b2+c2+=（b+c）2﹣②．由①②求得b=c=3，（Ⅱ）由b=c=3，a=2，可得B=C，再由正弦定理可得=，即，求得sinB=，∴cosB=，∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=?﹣（﹣）?=．點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦公式，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題．20.（本小題滿分12分）根據(jù)世行2013年新標準，人均GDP低于1035美元為低收入國家；人均GDP為1035-4085美元為中等偏下收入國家；人均GDP為4085-12616美元為中等偏上收入國家；人均GDP不低于12616美元為高收入國家.某城市有5個行政區(qū)，各區(qū)人口占該城市人口比例及人均GDP如下表：（Ⅰ）判斷該城市人均GDP是否達到中等偏上收入國家標準；（Ⅱ）現(xiàn)從該城市5個行政區(qū)中隨機抽取2個，求抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達到中等偏上收入國家標準的概率.參考答案：（1）設(shè)該城市人口總數(shù)為a，則該城市人均GDP為因為，所以該城市人均GDP達到了中等偏上收入國家標準.（2）“從5個行政區(qū)中隨機抽取2個”的所有的基本事件是：共10個，設(shè)事件“抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達到中等偏上收入國家標準”為M，則事件M包含的基本事件是：，共3個，所以所求概率為.21.已知函數(shù)f（x）=ax2+x﹣xlnx（a＞0）．（1）若函數(shù)滿足f（1）=2，且在定義域內(nèi)f（x）≥bx2+2x恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】導數(shù)的綜合應用．【分析】（1）由已知，求得f（x）=x2+x﹣xlnx．將不等式f（x）≥bx2+2x轉(zhuǎn)化為≥b．構(gòu)造函數(shù)g（x）=，只需b≤g（x）min即可．因此又需求g（x）min．（2）函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，需f′（x）在定義域上恒非負或恒非正．考查f′（x）的取值情況，進行解答．【解答】解：（1）∵f（1）=2，∴a=1，f（x）=x2+x﹣xlnx．由f（x）≥bx2+2x?≥b．令g（x）=，可得g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min=g（1）=0，即b≤0．（2）f′（x）=2ax﹣lnx（x＞0）．令f′（x）＞0，得2a≥，

令h（x）=，當x=e時，h（x）max=∴當時，f′（x）＞0（x＞0）恒成立，此時．函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增．若，g（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）=2a﹣由g′（x）=0，得出x=，，g′（x）＜0，，g′（x）＞0，∴x=時，g（x）取得極小值也是最小值．而當時，g（）=1﹣ln＜0，f′（x）=0必有根．f（x）必有極值，在定義域上不單調(diào)．綜上所述，．【點評】此題考查函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系的應用，考查學生會利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握函數(shù)恒成立時所取的條件，是一道綜合題．