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文檔簡介
第九章立體幾何
9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角在如圖所示的長方體中,直線和直線AD是異面直線,度量和,發(fā)現(xiàn)它們是相等的.
如果在直線AB上任選點P,那么過點P分別作直線與直線AD相等?
的平行線,它們所成的角是否與動腦思考探索新知9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角兩條相交直線的夾角是這兩條直線相交所成的最小的正角.經(jīng)過空間任意一點分別作與兩條異面直線平行的直線,這兩條相交直線的夾角叫做兩條異面直線所成的角.動腦思考探索新知9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角nmnOnmO如圖所示,∥m、∥n,則與的夾角就是異面直線m與n所成的角.為了簡便,經(jīng)常取一條直線與過另一條直線的平面的交點作為點O.如下圖鞏固知識典型例題9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角ABCD例1
如圖所示的長方體中,,求下列異面直線所成的角:
(1)與DC;(2)與解(1)因為DC∥AB,所以為異面直線與DC所成的角.即所求角為(2)因為∥,所以為異面直線與所成的角.
在直角△中,
所以即所求的角為運用知識強(qiáng)化練習(xí)9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角在如圖所示的正方體中,求下列各直線所成的角的度數(shù):創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角正方體中,直線與直線AB、BC、CD、AD、AC所成的角各是多少?
可以發(fā)現(xiàn),這些個角都是直角.動腦思考探索新知9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,那么就稱直線l與的交點叫做垂足.垂直,記作.直線l叫做平面的垂線,垂線l與平面平面畫表示直線l和平面垂直的圖形時,要把直線l畫成與平行四邊形的橫邊垂直(如圖所示),其中點A垂足.
創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角將一根木棍PA直立在地面上,用細(xì)繩依次度量點P與地面上的點A、B、C、D的距離(如圖),發(fā)現(xiàn)PA最短.動腦思考探索新知9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角直線PB與平面相交但不垂直,則稱直線PB與平面斜交,直線PB叫做的斜線,斜線和平面的交點叫做斜足.點P與斜足B之間的線段叫做點P平面到這個平面的斜線段.
過垂足與斜足的直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影.如圖所示,直線AB是斜線PB在平面內(nèi)的射影.
從平面外一點向這個平面引垂線段和斜線段,垂線段最短.因此,將從平面外一點P到平面的的距離.
垂線段的長叫做點P到平面如圖所示,,線段PA叫做垂線段,垂足A叫做點P在平面內(nèi)的射影.
創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角如圖所示,炮兵在發(fā)射炮彈時,為了擊中目標(biāo),需要調(diào)整好炮筒與地面的角度.動腦思考探索新知9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角就是直線PB與平面如圖所示,所成的角.
斜線l與它在平面內(nèi)的射影的夾角,叫做直線l與平面所成的角.規(guī)定:當(dāng)直線與平面垂直時,所成的角是直角;當(dāng)直線與平面平行或直線在平面內(nèi)時,所成的角是零角.顯然,直線與平面所成角的取值范圍是動腦思考探索新知9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角想一想如果兩條直線與一個平面所成的角相等,那么這兩條直線一定平行嗎?鞏固知識典型例題9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角例2
如圖所示,等腰ABC的頂點A在平面外,底邊BC在平面內(nèi),已知底邊長BC=16,腰長AB=17,又知點A到平面的垂線段AD=10.求
(1)等腰ABC的高AE的長;
(2)斜線AE和平面所成的角的大小(精確到1o).
解(1)在等腰ABC中,,故由BC=16可得BE=8.
在AEB中,∠AEB=90°,因此
鞏固知識典型例題9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角例2
如圖所示,等腰ABC的頂點A在平面外,底邊BC在平面內(nèi),已知底邊長BC=16,腰長AB=17,又知點A到平面的垂線段AD=10.求
(1)等腰ABC的高AE的長;
(2)斜線AE和平面所成的角的大?。ň_到1o).
(2)聯(lián)結(jié)DE.因為AD是平面的垂線,AE是的斜線,內(nèi)的射影.所以DE是AE在是AE和平面所成的角.因此ADE中,
在所以即斜線AE和平面所成的角約為運用知識強(qiáng)化練習(xí)9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角長方體ABCD?中,高DD1=4cm,底面是邊長為3cm的正方形,求對角線D1B與底面ABCD所成角的大?。ň_到1′).
創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角在建筑房屋時,有時為了美觀和排除雨水的方便,需要考慮屋頂面與地面形成適當(dāng)?shù)慕嵌龋ㄈ鐖D(1));在修筑河堤時,為使它經(jīng)濟(jì)且堅固耐用,需要考慮河堤的斜坡與地面形成適當(dāng)?shù)慕嵌龋ㄈ鐖D(2)).(2)(1)動腦思考探索新知9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分,每一部分叫做一個半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.以直線l(或CD)為棱,兩個半平面分別為的二面角,記作二面角(或)(如圖).
圖9?40CD圖9?41loNMCD動腦思考探索新知9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角圖9?40CD圖9?41loNMCD過棱上的一點,分別在二面角的兩個面內(nèi)作與棱垂直的射線,以的棱l上任意選取一點O
,以點O為垂足,在面與面內(nèi)分別作,則就是這個二面角的平面角.
這兩條射線為邊的最小正角叫做二面角的平面角.如圖所示,在二面角動腦思考探索新知二面角的平面角的大小由的相對位置所決定,與頂點在棱上的位置無關(guān),當(dāng)二面角給定后,它的平面角的大小也就隨之確定.因此,二面角的大小用它的平面角來度量.
當(dāng)二面角的兩個半平面重合時,規(guī)定二面角為零角;當(dāng)二面角的兩個半平面合成一個平面時,規(guī)定二面角為平角.因此二面角取值范.
圍是9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角平面角是直角的二面角叫做直二面角.例如教室的墻壁與地面就組成直二面角,此時稱兩個平面垂直.平面與平面垂直記作鞏固知識典型例題9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角例3
在正方體中(如圖),求二面角的大小.
解
AD為二面角的棱,與是分別在二面角的兩個面內(nèi)并且與棱AD垂直的射線,為二面角的平面角.
所以因為在正方體中,所以二面角為90°.
是直角.運用知識強(qiáng)化練習(xí)9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角在正方體中,求二面角的大小.
過棱上的一點,分別在二面角的兩個面內(nèi)作與棱垂直的射線,以這兩條射線為邊的最小正角叫做二面角的平面角..二面角的平面角的概念
?理論升華整體建構(gòu)9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角自我反思目標(biāo)檢測9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角在正方體中,求平面與平面所成的二面角的大小.
作業(yè)讀書部分:閱讀教材相關(guān)章節(jié)
實踐調(diào)查:尋找生活中的二書面作業(yè):教材習(xí)題9.2A組(必做)
教材習(xí)題9.2B組(選做)面角的平面角繼續(xù)探索活動探究9.3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角9.3.2直線和平面所成的角回顧知識:
空間中一條直線與平面有哪幾種位置關(guān)系?
(1)直線在平面內(nèi),(2)直線與平面平行,(3)直線與平面相交知識探究(一):直線與平面垂直的概念
(垂直)
大漠孤煙直
ABABABABABABABABCC1B1AB地面內(nèi)任意一條直線AB所在直線⊥CC1B1ABα內(nèi)過點B的直線AB所在直線內(nèi)不過點B的直線ααAB所在直線內(nèi)任意一條直線αAB所在直線⊥⊥⊥直線與平面垂直的定義:圖形表示:αPl文字表示:如果一條直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,則稱這條直線與這個平面垂直.記作
垂足平面α的垂線直線l的垂面畫直線與平面平行時,通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直。深入理解“線面垂直定義”判斷下列語句是否正確:(若不正確請舉反例)1.如果一條直線與一個平面垂直,那么它與平面內(nèi)所有的直線都垂直.()2.如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直,那么它與平面垂直.()bαaPAOl垂足斜足復(fù)習(xí)舊知
過斜線上斜足A以外的一點P向平面α引垂線,垂足為點O,過垂足O和斜足A的直線叫做斜線在這個平面上的射影斜線在平面上的射影射影斜足垂足射影斜線垂線他與地面所成的角是哪個角?
平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條斜線和這個平面所成的角.斜線和平面所成的角概念提出一、斜線和平面所成的角PAOl射影例題講解例1ADCBD1A1B1C1斜足垂足垂線射影分別指出正方體的體對角線A1C與平面A1B1C1D1、
A1ABB1、BCC1B1所成的角.∠CA1C1分別指出正方體的體對角線A1C與平面A1B1C1D1、
A1ABB1、BCC1B1所成的角.例1ABACDCBD例題講解∠CA1B
分別指出正方體的體對角線A1C與平面A1B1C1D1、
A1ABB1、BCC1B1所成的角.例1ABACDCBD例題講解∠B1CA1lααl2、一條直線和平面平行或在平面內(nèi),它們所成的角是0;3、一條直線垂直于平面,它們所成的角是直角90。1、斜線與平面所成的角θ的取值范圍是:直線與平面所成的角θ的取值范圍是:
二、直線和平面所成的角概括歸納αl練習(xí)1.如圖:正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)求出A1C1與面ABCD所成的角的度數(shù);(2)求出A1B1與面BCC1B1所成的角的度數(shù);(3)求出A1C1與面BCC1B1所成的角的度數(shù);(4)求出A1C1與面BB1D1D所成的角的度數(shù);A1D1C1B1ADCB0o小試牛刀練習(xí)1.如圖:正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)求出A1C1與面ABCD所成的角的度數(shù);(2)求出A1B1與面BCC1B1所成的角的度數(shù);(3)求出A1C1與面BCC1B1所成的角的度數(shù);(4)求出A1C1與面BB1D1D所成的角的度數(shù);A1D1C1B1ADCB0o90o小試牛刀練習(xí)1.如圖:正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)求出A1C1與面ABCD所成的角的度數(shù);(2)求出A1B1與面BCC1B1所成的角的度數(shù);(3)求出A1C1與面BCC1B1所成的角的度數(shù);(4)求出A1C1與面BB1D1D所成的角的度數(shù);A1D1C1B1ADCB0o90o45o小試牛刀練習(xí)1.如圖:正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)求出A1C1與面ABCD所成的角的度數(shù);(2)求出A1B1與面BCC1B1所成的角的度數(shù);(3)求出A1C1與面BCC1B1所成的角的度數(shù);(4)求出A1C1與面BB1D1D所成的角的度數(shù);0o90o45oA1D1C1B1ADCB90o小試牛刀例2:正方體ABCD-A1B1C1D1中,求A1B與平面A1B1CD所成的角。求角→找角→找射影ABCDA1B1C1D1M典例精講例2:正方體ABCD-A1B1C1D1中,求A1B與平面A1B1CD所成的角。設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為a.如圖所示,連接BC1交B1C于M點,連接A1M.∵DC⊥平面BCB1C1∴DC⊥
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