電磁場理論第章：矢量與場論

第一章矢量分析1.1場的概念1.1.0對(duì)點(diǎn)、線、面、體積的再認(rèn)識(shí)（補(bǔ)充）1.1.1矢性函數(shù)在二維空間或三維空間內(nèi)的任一點(diǎn)P，它是一個(gè)既存在大小(或稱為模)又有方向特性的量，故稱為實(shí)數(shù)矢量，用黑體A表示，而白體A表示A的大小(即A的模)。若用幾何圖形表示，它是從該點(diǎn)出發(fā)畫一條帶有箭頭的直線段，直線段的長度表示矢量A的模，箭頭的指向表示該矢量A的方向。矢量一旦被賦予物理單位，便成為具有物理意義的矢量，如電場強(qiáng)度E、磁場強(qiáng)度H、速度v等等。若某一矢量的模和方向都保持不變，此矢量稱為常矢量，如某物體所受到的重力。而在實(shí)際問題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會(huì)發(fā)生變化的矢量，這種矢量我們稱為變矢量，如沿著某一曲線物體運(yùn)動(dòng)的速度v等。設(shè)t是一數(shù)性變量，A為變矢量，對(duì)于某一區(qū)間G［a,b］內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值t,A都有一個(gè)確定的矢量A(t)與之對(duì)應(yīng)，則稱A為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)。記為而G為A的定義域。矢性函數(shù)A(t)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量都是變量t的函數(shù)，分別為Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，則矢性函數(shù)A(t)也可用其坐標(biāo)表示為其中ex、ey、ez為x軸、y軸、z軸正向單位矢量。同一矢量在不同坐標(biāo)系下有不同的表達(dá)式！（見后）1.1.2標(biāo)量場和矢量場如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場。換句話說，在某一空間區(qū)域中，物理量的無窮集合表示一種場。如在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場，在空間電位的分布確定了一個(gè)電位場。場的一個(gè)重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)，除有限個(gè)點(diǎn)和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)的。若該物理量與時(shí)間無關(guān)，則該場稱為靜態(tài)場；若該物理量與時(shí)間有關(guān)，則該場稱為動(dòng)態(tài)場或稱為時(shí)變場。在研究物理系統(tǒng)中溫度、壓力、密度等在一定空間的分布狀態(tài)時(shí)，數(shù)學(xué)上只需用一個(gè)代數(shù)變量來描述，這些代數(shù)變量(即標(biāo)量函數(shù))所確定的場稱為標(biāo)量場，如溫度場T(x,y,z)、電位場φ(x,y,z)等。然而在許多物理系統(tǒng)中，其狀態(tài)不僅需要確定其大小，同時(shí)還需確定它們的方向，這就需要用一個(gè)矢量來描述，因此稱為矢量場，例如電場、磁場、流速場等等。

1.1.3矢量的加、減、點(diǎn)乘與叉乘（補(bǔ)充）

在標(biāo)量場φ(M)中的一點(diǎn)M處，其方向?yàn)楹瘮?shù)φ(M)在M點(diǎn)處變化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量G，稱為標(biāo)量場φ(M)在M點(diǎn)處的梯度。在直角坐標(biāo)系中，梯度的表達(dá)式為:1.2標(biāo)量場的梯度

數(shù)學(xué)上從定義可推得在不同坐標(biāo)系下的表達(dá)式設(shè)c為一常數(shù)，u和v為數(shù)量場，很容易證明下面梯度運(yùn)算法則的成立。R為空間兩點(diǎn)(x,y,z)與(x’,y’,z’)的距離

例1矢量r=xex+yey+zez，證明：

證：因?yàn)樗?例2.已知社位于室原點(diǎn)標(biāo)處的特點(diǎn)電招荷q在點(diǎn)M(嶺x,音y新,兼z)處產(chǎn)課生的廢電位伯為，其中粥矢徑r為r=xex+yey+zey，且已爪知電亮場強(qiáng)冬度與囑電位城的關(guān)際系是E=-蓮▽?duì)?，求電猛場?qiáng)斃度E。途解：根據(jù)▽f(u)=f′(u)·▽u的運(yùn)拾算法似則，1.夕3矢量兇場的販通量神和散脊度1.斯3.滴1矢量基場的痕通量將曲合面的解一個(gè)許面元苗用矢初量dS來表歌示，巖其方稀向取顯為面激元的屬法線托方向肆，跟其大小為dS，即n是面掌元法主線方冷向的貍單位趴矢量。n的指鈴向數(shù)止學(xué)約網(wǎng)定有砍兩種旺情況醉：對(duì)顧非閉著合曲科面，通則選駁定封攤閉曲鈴線L繞行搏的方葡向后寺，沿步繞行咬方向仗按右手螺善旋的拇翼指方揉向就洪是n的方圓向；對(duì)閉易合曲高面，面元巷法線移方向套約定蛙向外。如圖1-丑3所示俊；圖1-所3法線騰方向駝的取童法將曲佛面S各面賞元上俗的A·dS相加瓦，它宴表示特矢量蹲場A穿過深整個(gè)莖曲面S的通量，也鮮稱為洽矢量A在曲雙面S上的乞面積臥分：如果菌曲面楚是一朵個(gè)封享閉曲濱面，軋則1.協(xié)3.寸2矢量顫場的諷散度稱此病極限畢為矢些量場A在某青點(diǎn)的散度，即散度信的定義拜式為矢量斗場A的散世度經(jīng)泄推導(dǎo)規(guī)，可拼表示趨為：性質(zhì):數(shù)學(xué)鈔上從伶定義差可推緞得在渣不同船坐標(biāo)閑系下秧的表潤達(dá)式散度團(tuán)定理記為定義閱：1.將4矢量誘場的矛環(huán)量避和旋較度在力洞場中抖，某棉一質(zhì)晨點(diǎn)沿馬著指現(xiàn)定的忙曲線c運(yùn)動(dòng)匆時(shí)，蝴力場湖所做汗的功誓可表草示為麥力場F沿曲倆線c的線咱積分才，即圖1-嗓5矢量文場的農(nóng)環(huán)量1.魂4.殃2矢量儉場的摧旋度將上勻極限款值定垃義為A的旋溫度(旋度墻值是們矢量)在法紛線方催向的哈投影,即:原始宮定義準(zhǔn)：數(shù)學(xué)巴上從州定義其可推驚得在例不同辰坐標(biāo)市系下香的表擾達(dá)式,在直點(diǎn)角坐泄標(biāo)系靈下有:上式可用模下行侵列式幫助藝記憶:可以垃證明捷，有爆下列兇恒等費(fèi)式：1.垂4.屬3斯托支克斯匙定理此式遲稱為羞斯托孫克斯少定理訓(xùn)或斯托伙克斯甜公式。它將語矢量芹旋度攀的面繞積分紙變換神成該為矢量攔的線吹積分，或文將矢砌量A的線煌積分芝轉(zhuǎn)換母為該捉矢量溉旋度牽的面磁積分溉。式花中dS的方息向與dL的方根向成況右手次螺旋五關(guān)系。例1-國12求矢屯量場A=x(z-響y)ex+y(x-遵z)ey+z(y-頌x)ez在點(diǎn)M(1，0，1)處的耀旋度相。解：矢量飛場A的旋擺度例1-土13在坐薪標(biāo)原側(cè)點(diǎn)處疑放置匪一點(diǎn)雖電荷q，在自蓄由空間油產(chǎn)生伙的電炊場強(qiáng)嗽度為求自別由空階間任蘋意點(diǎn)(r≠0回)電場刷強(qiáng)度是的旋層度▽×E。解：1.日5圓柱對(duì)坐標(biāo)速系與汽球坐賤標(biāo)系1.郊5.若1圓柱壤坐標(biāo)哄系圖1-船7圓柱懸坐標(biāo)贏系同一奮矢量珠在不彩同坐槐標(biāo)系碎下有啊各自雷的表告達(dá)式1.俘5.填2球面忠坐標(biāo)件系圖1-露8球面刮坐標(biāo)慚系1.