河南省南陽(yáng)市文昌中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

河南省南陽(yáng)市文昌中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合，集合Q={}，則（

）

A．P

B．Q

C．{-1,1}

D．參考答案：A2.已知集合，集合，則

A．(-)

B．(-]

C．[-)

D．[-]參考答案：D略3.設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，命題“中至少有一個(gè)數(shù)大于”成立的充分不必要條件是A．

B． C．

D．參考答案：B4.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A

B

C

D

參考答案：B5.下列函數(shù)中周期為且圖象關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)是

（

）（Ａ）

A． B．

C． D．參考答案：C略6.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.在等比數(shù)列中，若，，則該數(shù)列前5項(xiàng)的積為（

）A．±3

B．3

C．±1

D．1參考答案：D8.已知向量a，b不共線，設(shè)向量，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為（A）10

（B）2（C）－2

（D）－10參考答案：B9.甲、乙、丙三人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（）A．258 B．306 C．336 D．296參考答案：C【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．【分析】由題意知本題需要分類解決，共有兩種情況，對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人，若有一個(gè)臺(tái)階有2人另一個(gè)是1人，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題需要分類解決，∵對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人有A73種；若有一個(gè)臺(tái)階有2人另一個(gè)是1人共有C31A72種，∴根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是A73+C31A72=336種．故選C．10.已知函數(shù)f（n）=n2cos（nπ），且an=f（n）+f（n+1），則a1+a2+a3+…+a100=（）A．0 B．﹣100 C．100 D．10200參考答案：B【考點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】先求出分段函數(shù)f（n）的解析式，進(jìn)一步給出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再使用分組求和法，求解．【解答】解：∵，由an=f（n）+f（n+1）=（﹣1）n?n2+（﹣1）n+1?（n+1）2=（﹣1）n[n2﹣（n+1）2]=（﹣1）n+1?（2n+1），得a1+a2+a3+…+a100=3+（﹣5）+7+（﹣9）+…+199+（﹣201）=50×（﹣2）=﹣100．故選B【點(diǎn)評(píng)】本小題是一道分段數(shù)列的求和問(wèn)題，綜合三角知識(shí)，主要考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是

．參考答案：；12.已知，則的值為 .參考答案：13.數(shù)列滿足，且，則通項(xiàng)公式

．參考答案：14.若集合,,則=________.參考答案：15.設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則的最大值為_(kāi)_________.

參考答案：2略16.數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為_(kāi)_____.參考答案：47017.計(jì)算：=（i是虛數(shù)單位）參考答案：i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】i2017=（i4）504?i=i，可得原式=，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．【解答】解：i2017=（i4）504?i=i，原式====i，故答案為：i．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)＝a(x﹣1)﹣lnx(a∈R)，g(x)＝(1﹣x)ex.（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意給定的x0∈[﹣1，1]，在區(qū)間(0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，求a的取值范圍．參考答案：（1）答案見(jiàn)解析；（2）[，+∞)【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分a≤0和a>0兩種情況討論，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的值域?yàn)閇0，1]，根據(jù)（1）可排除a≤0和0＜a的情況，由函數(shù)f(x)的單調(diào)性和圖象分析可知，a滿足以下條件時(shí)符合題意，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)求解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）f(x)＝a(x﹣1)﹣lnx，x＞0，則f′(x)＝a，①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為減函數(shù)，②當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＞0得x，令f′(x)＜0得0＜x.故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，+∞)，綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為減函數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0，)上為減函數(shù)，在(，+∞)為增函數(shù)；（2）∵g(x)＝(1﹣x)ex，∴g′(x)＝﹣xex，當(dāng)x∈[﹣1，0)時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，g′(x)<0，又g(0)＝1，g(1)＝0，g(﹣1)，∴當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，g(x)的值域?yàn)閇0，1]，由（1）可知，①當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，e]上為減函數(shù)，不滿足題意；②當(dāng)e，即0＜a時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，e]上為減函數(shù)，不滿足題意；③當(dāng)0e時(shí)，即a時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上為減函數(shù)，在(，e]上為增函數(shù)，又x＞0，且x→0時(shí)，f(x)→+∞，函數(shù)f(x)的大概圖像如下圖，故對(duì)任意給定的x0∈[﹣1，1]，在區(qū)間(0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，當(dāng)且僅當(dāng)a滿足以下條件，即（*）令h(a)＝1﹣a+lna，a∈(，+∞)，則h′(a)＝﹣1，當(dāng)a＜1時(shí)，h′(a)＞0，當(dāng)a＞1時(shí)，h′(a)＜0，∴函數(shù)h(a)在(，1)上為增函數(shù)，在(1，+∞)上為減函數(shù)，故h(a)max＝h(1)＝0，從而（*）等價(jià)于，故a，故a的取值范圍為[，+∞)．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想，著重考查學(xué)生對(duì)題意的理解與轉(zhuǎn)化的思想，特別是問(wèn)題（2）的設(shè)置，考查了學(xué)生創(chuàng)造性分析和解決問(wèn)題的能力，屬難題.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，并用鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑。注意所做題目的題號(hào)必須與所涂題目的題號(hào)一致，在答題卡選答區(qū)域指定位置答題。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.19.交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種．若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如表：交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表

浮動(dòng)因素浮動(dòng)比率A1上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮10%A2上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮20%A3上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮30%A4上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故上浮10%A6上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故上浮30%某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數(shù)量105520155以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問(wèn)題：（Ⅰ）按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定a=950．記X為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望值；（數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字）（Ⅱ）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車．假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：①若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；②若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤(rùn)的期望值．參考答案：【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由題意可知X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知其概率及其分布列．（II）①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P=+．②設(shè)Y為該銷售商購(gòu)進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤(rùn)，Y的可能取值為﹣5000，10000．即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．…由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知：P（X=0.9a）=，P（X=0.8a）=，P（X=0.7a）=，P（X=a）=，P（X=1.1a）=，P（X=1.3a）=．所以X的分布列為：X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP…所以EX=0.9a×+0.8a×+0.7a×+a×+1.1a×+1.3a×==≈942．（Ⅱ）①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P=+=．…②設(shè)Y為該銷售商購(gòu)進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤(rùn)，Y的可能取值為﹣5000，10000．所以Y的分布列為：Y﹣500010000P所以EY=﹣5000×+10000×=5000．…所以該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤(rùn)的期望值為100EY=50萬(wàn)元．…20.如圖，四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別為BC，DE中點(diǎn)．（1）證明：CN∥平面AEM；（2）若△ABE是等邊三角形，平面ABE⊥平面BCE，，，求三棱錐的體積．參考答案：解：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)橹?，分別為中點(diǎn)，所以．又因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以．又是中點(diǎn)，所以，所以．所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面．又由?）知平面，所以．又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以．所以三棱錐的體積為．

21.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于n＝1，2，3，…，有（Ⅰ）當(dāng)a1＝19時(shí)，a2014＝

；（Ⅱ）若an是不為1的奇數(shù)，且an為常數(shù)，則an＝

．參考答案：（Ⅰ）98；（Ⅱ）5試題分析：（Ⅰ）,因?yàn)槭鞘篂槠鏀?shù)的正整數(shù)，而為奇數(shù)，則，于是，所以，，同理…于是發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列是周期數(shù)列，且,所以；（Ⅱ）若是奇數(shù)，則為偶數(shù),所以為奇數(shù)，又因?yàn)闉槌?shù)，于是，所以，即，因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)滿足題意.22.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax3＋3x2－x＋1在R上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：解析：f′(x)=3ax2＋6x－1，其判別式△=36＋12a．

(4分)當(dāng)a＜－3時(shí)，有△＜0，∴f′(x)＜0，f(x)在R上是減函數(shù)；

(6分)當(dāng)a=－3時(shí)，有△=0，此時(shí)，由于y=－x3是R上的減函數(shù)，所以f(x)在R上是減函數(shù)；