高中數(shù)學(xué)-3教學(xué)課件設(shè)計

3.4基本不等式本節(jié)主要學(xué)習(xí)基本不等式，應(yīng)用基本不等式求最值是重點知識。利用數(shù)學(xué)家大會的徽標(biāo)引入新課新穎有吸引力。從代數(shù)、數(shù)列、幾何等方面研究均值不等式，開闊學(xué)生思路。用均值不等式求最值分為兩個方面：一是直接利用基本不等式求最值。二是用配湊法進(jìn)行恒等變形后求最值。巧用1的代換求值或證明使學(xué)生更加靈活的掌握均值不等式。這是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)．會標(biāo)根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長為a

、b，那么正方形的邊長為.這樣，4個直角三角形的面積和小于正方形ABCD的面積,故a2+b2≥2ab.

當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?即a=b時,正方形EFGH縮為一個點,這時有a2+b2=2ab.EHDABCFGabEH證明:

a2+b2–2ab=(a–b)2

當(dāng)

a≠b時,(a–b)2>0;

當(dāng)a=b時,(a–b)2=0

所以(a–b)2≥0,即

a2+b2≥2ab分別用代替引例中的a,b,

即可得

引例：一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立?；静坏仁降拇鷶?shù)解釋如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項，把看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.

基本不等式代數(shù)意義

為a、b的算術(shù)平均數(shù)，為幾何平均數(shù)，那么兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較：注意從不同角度認(rèn)識基本不等式幾個重要的不等式（1）（2）（3）例1、如右圖，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．(1)現(xiàn)有可圍36m長的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為24m2，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最小？分析:設(shè)每間虎籠長xm，寬ym，則問題(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而問題(2)則是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值．因此，使用均值定理解決．已知a>0,b>0,則(1)如果積ab是定值p，由a+b≥

,那么當(dāng)且僅當(dāng)_____時，a+b有最___值是______.

(2)如果和a+b是定值p,由ab≤(,那么當(dāng)且僅當(dāng)____時,ab有最____值是______.

大a=b小a=b

積定和最小,和定積最大。利用不等式求函數(shù)的最值例2、

求函數(shù)的值域.分類討論變式2、求下列各題的最值.（1）x>3,求的最小值；（2）x>1，求的最小值；（1）x>3,求的最小值；解析：當(dāng)且僅當(dāng)

即x=5時“=”成立

改變常數(shù)項，湊成積為定值

湊定值所以函數(shù)的最小值為7.（2）x>1，求的最小值；解析：當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立

分離常數(shù)，拆項湊成積為定值湊定值所以函數(shù)的最小值為變形技巧：用“1”的代換例2、已知正數(shù)x，y滿足x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值．

分析：要求x＋y的最小值，根據(jù)均值定理，應(yīng)構(gòu)建某個積為定值．這需要對條件進(jìn)行必要的變形，考慮條件式可進(jìn)行“1的代換”，也可以“消元”等．變式4、已知x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．

方法總結(jié):本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對式子進(jìn)行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常使用的方法，要學(xué)會觀察學(xué)會變形，另外解法2通過消元，化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對另一個變量范圍給出限制．(消去x后，原來x的限制條件，應(yīng)當(dāng)由代替它的y來“接班”，此限制條件不會因“消元”而憑空消失！)1.已知a>0,b>0，則a+2b的最小值為（）

A.B.C.D.14

A

2.已知x>,則函數(shù)y=的最小值是

.

53.已知t>0,

則的最小值為

.