湖北省荊門市育才學校2021年高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析

湖北省荊門市育才學校2021年高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知一幾何體的三視圖如圖4，主視圖和左視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上任意選擇4個頂點，以這4個點為頂點的幾何形體可能是①矩形；②有三個面為直角三角形，有一個面為等腰三角形的四面體；③每個面都是直角三角形的四面體．A．①②③

B．②③

C．①③

D．①②參考答案：A以長方體為幾何體的直觀圖.當選擇的四個點為B1、B、C、C1時，可知①正確；當選擇B、A、B1、C時，可知②正確；當選擇A、B、D、D1時，可知③正確.選A.2.雙曲線離心率的范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A3.已知=﹣5，那么tanα的值為(

)A．﹣2 B．2 C． D．﹣參考答案：D【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用．【分析】已知條件給的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，變?yōu)楹械牡仁?，解方程求出正切值．【解答】解：由題意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故選D．【點評】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了同一個角三角函數(shù)間的相互關(guān)系，其主要應用于同角三角函數(shù)的求值和同角三角函數(shù)之間的化簡和證明．在應用這些關(guān)系式子的時候就要注意公式成立的前提是角對應的三角函數(shù)要有意義．4.已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，則a,b的值是（

）A．a(chǎn)=-11

b=4

B.a=-4,b=11

C.a=11,b=-4

D.a=4,b=-11參考答案：D略5.在二面角a-l-b的半平面a內(nèi)，線段AB⊥l，垂足為B；在半平面b內(nèi)，線段CD⊥l，垂足為D；M為l上任一點．若AB=2，CD=3，BD=1，則AM+CM的最小值為

A．

B．

C．

D．參考答案：A設(shè)，則，，建立平面直角坐標系，看作動點到兩定點距離之和，最小值為直線段SQ的長,選A.評：本題也可以將二面角展平成一個平面，這樣，只須求出在“平面”內(nèi)A、C之間的距離即為AM+CM的最小值．6.橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，P是橢圓上的一點，，且,垂足為,若四邊形為平行四邊形，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略7.過拋物線焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，交其準線于點C，且A、C位于軸同側(cè)，若，則等于A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：C8.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A．（0，1）

B．(1，2）

C．（2，3）

D．（3，10）參考答案：C9.若平面滿足，則下列命題中的假命題為（

）A．過點垂直于平面的直線平行于平面B．過點垂直于平面的直線在平面內(nèi)C．在平面內(nèi)過點垂直于的直線垂直于平面

D．過點垂直于的直線在平面內(nèi)參考答案：D略10.已知是橢圓和雙曲線的公共頂點.過坐標原點作一條射線與橢圓、雙曲線分別交于兩點，直線的斜率分別記為,則下列關(guān)系正確的是（）A．

B．C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知（），其中為虛數(shù)單位，則

.參考答案：112.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn=b（﹣2）n﹣1﹣a，則=．參考答案：﹣

【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義與通項公式即可得出．【解答】解：n=1時，a1=b﹣a．n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，上式對于n=1時也成立，可得：b﹣a=b+．則=﹣．故答案為：﹣．13.已知函數(shù).項數(shù)為的等差數(shù)列滿足，且公差.若，則當值為___________有.參考答案：1414.設(shè)是一個平面，是平面上的一個圖形，若在平面上存在一個定點A和一個定角，使得上的任意一點以A為中心順時針（或逆時針）旋轉(zhuǎn)角，所得到的圖形與原圖形重合，則稱定點A為對稱中心，為旋轉(zhuǎn)角，為旋轉(zhuǎn)對稱圖形．若以下4個圖形，從左至右依次是正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形，它們都是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，則它們的最小旋轉(zhuǎn)角依次為

▲

；若是一個正n邊形，則其最小旋轉(zhuǎn)角用n可以表示為

▲

．參考答案：；（說明前一個空2分，后一個空3分）15.已知若f(x)＝2，則x＝________.參考答案：－1或16.已知向量＝（，1），＝（＋3，－2），若∥，則x＝_____參考答案：17.網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時期內(nèi)，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2017年1月起開展網(wǎng)絡銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式．根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量萬件與投入實體店體驗安裝的費用萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式，已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為萬元，產(chǎn)品每萬件進貨價格為萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是

萬元．參考答案：由題得，所以利潤為：，當且僅當時取等號，即月最大利潤為萬元．另解：利潤（利潤=進價-安裝費-開支），也可留作為變量求最值．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線x+y+1=0與以橢圓C的上焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)P為橢圓C上一點，若過點M（0，2）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點S和T，滿足（O為坐標原點），求實數(shù)t的取值范圍．參考答案：【考點】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）圓心到直線x+y+1=0的距離，由橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，知b=c，由此能求出橢圓方程．（2）當直線l的斜率不存在時，可得t=0；當直線l的斜率存在時，t≠0，設(shè)直線l方程為y=kx+2，設(shè)P（x0，y0），將直線方程代入橢圓方程得：（k2+2）x2+4kx+2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量知識，結(jié)合已知條件能求出實數(shù)t的取值范圍．【解答】解：（1）由題意，以橢圓C的上焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為x2+（y﹣c）2=a2，∴圓心到直線x+y+1=0的距離∵橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，∴b=c，，代入得b=c=1，∴，故所求橢圓方程為…（2）當直線l的斜率不存在時，可得t=0，適合題意．…當直線l的斜率存在時，t≠0，設(shè)直線l方程為y=kx+2，設(shè)P（x0，y0），將直線方程代入橢圓方程得：（k2+2）x2+4kx+2=0，…∴△=16k2﹣8（k2+2）=8k2﹣16＞0，∴k2＞2．設(shè)S（x1，y1），T（x2，y2），則，…由，當t≠0，得…整理得：，由k2＞2知，0＜t2＜4，…所以t∈（﹣2，0）∪（0，2），…綜上可得t∈（﹣2，2）．…19.在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為．（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；（2）設(shè)點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求面積的最大值．參考答案：（1）；（2）【詳解】試題分析：（1）設(shè)出P的極坐標，然后由題意得出極坐標方程，最后轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為；（2）利用（1）中的結(jié)論，設(shè)出點的極坐標，然后結(jié)合面積公式得到面積的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值為.試題解析：解：（1）設(shè)P的極坐標為（）（＞0），M的極坐標為（）由題設(shè)知|OP|=，=.由|OP|=16得的極坐標方程因此的直角坐標方程為.（2）設(shè)點B的極坐標為（）.由題設(shè)知|OA|=2，，于是△OAB面積當時，S取得最大值.所以△OAB面積的最大值為.點睛:本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力.在求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程.20.坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，直線l經(jīng)過點，其傾斜角為，以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，與直角坐標系取相同的長度單位，建立極坐標系，設(shè)曲線C的極坐標方程為.(I)

若直線l與曲線C有公共點，求a的取值范圍：(II)

設(shè)為曲線C上任意一點，求的取值范圍.

參考答案：(I)(II)解析：解：(I)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程為直線l的參數(shù)方程為將代入整理得直線l與曲線C有公共點，的取值范圍是(II)曲線C的方程可化為其參數(shù)方程為為曲線上任意一點，的取值范圍是

略21.（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC，且BC1⊥A1C．（Ⅰ）求證：平面ABC1⊥平面A1ACC1；（Ⅱ）若D，E分別為A1C1和BB1的中點，求證：DE∥平面ABC1．參考答案：考點： 平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題： 證明題；空間位置關(guān)系與距離．分析： （Ⅰ）證明平面ABC1⊥平面A1C，只需證明A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）取AA1中點F，連EF，F(xiàn)D，證明平面EFD∥平面ABC1，則有ED∥平面ABC1．解答： 證明：（I）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AA1⊥平面ABC．∴AA1⊥AC，又AA1=AC，∴A1C⊥AC1．

…（2分）又BC1⊥A1C，且AC1∩BC1=C1，∴A1C⊥平面ABC1，而A1C?面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1…（6分）（II）取A1A中點F，連EF，F(xiàn)D，EF∥AB，DF∥AC1…（9分）即平面EFD∥平面ABC1，則有ED∥平面ABC1…（12分）點評： 本小題主要考查利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，考查線面平行的判定定理，并且考查空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．22.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．已知acosAcosB﹣bsin2A﹣ccosA=2bcosB．（1）求B；（2）若b=a，S△ABC=2，求a．參考答案：【考點】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可得2sinBcosB=﹣sinB，結(jié)合sinB≠0，可求cosB=﹣，進而可求B的值．（2）由已知及余弦定理可求c2+ac﹣6a2=0，解得c=