函數(shù)模型及其應(yīng)用課件-數(shù)學(xué)高一上必修1第三

第三章函數(shù)的應(yīng)用

3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用3.2.1-3.2.2幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型和函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例1.利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異.2.結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升，指數(shù)爆炸，對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型的意義.3.了解一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)的廣泛應(yīng)用并求解實(shí)際問題.4.能夠利用指數(shù)(或?qū)?shù))函數(shù)模型解決實(shí)際問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)實(shí)例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？幾種不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型方案三可以用函數(shù)進(jìn)行描述.設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)進(jìn)行描述；思路分析：2.如何建立日回報(bào)效益與天數(shù)的函數(shù)模型？1.依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來選取投資方案？日回報(bào)效益，還是累計(jì)回報(bào)效益？方案二可以用函數(shù)進(jìn)行描述；注意x與y的意義3.三個(gè)函數(shù)模型的增減性如何？4.要對(duì)三個(gè)方案作出選擇，就要對(duì)它們的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析，如何分析？根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.4三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況2y＝4020406080100120O4681012yxy＝10xy＝0.4×2x－1函數(shù)圖象是分析問題的好幫手讀圖和用圖

可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長(zhǎng)量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長(zhǎng)”，其“增長(zhǎng)量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多.這種增長(zhǎng)速度是方案一、方案二所無法企及的，由表和圖可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但二者增長(zhǎng)情況很不相同.從每天所得回報(bào)看，在第1～3天，方案一最多，在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少，在第5～8天，方案二最多，第9天開始，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得

多；到第30天，所得回報(bào)已超過2億元.下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù)：結(jié)論：投資1～6天,應(yīng)選擇方案一;投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8～10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天(含11天)以上，應(yīng)選擇方案三.天數(shù)回報(bào)/元方案一二三40123456789101180120160200240280320360400440103060100150210280

3604505506600.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8例2：某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨銷售利潤(rùn)x(單位：萬元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%，現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求，就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%，由于公司總的利潤(rùn)目標(biāo)為1000萬元，所以人員銷售利潤(rùn)一般不會(huì)超過公司總的利潤(rùn).于是，只需在區(qū)間[10,1000]上，檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司要求即可.思路分析：兩個(gè)要求1．x的取值范圍，即函數(shù)的定義域．2．通過圖象說明選用哪個(gè)函數(shù)模型？為什么？的圖象.解:借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)思考：812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOy＝5yx觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10,1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的圖象都有一部分在直線y=5的上方，只有模型y=log7x+1的圖象始終在y=5的下方，這說明只有按模型y=log7x+1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求，下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷.

首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元.

對(duì)于模型y=0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x=20時(shí)，y=5,因此，當(dāng)x>20時(shí)，y>5,所以該模型不符合要求；對(duì)于模型y=1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計(jì)算器，可知在區(qū)間（805，806）內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿足由于它在區(qū)間[10,1000]上遞增，因此當(dāng)x>x0時(shí)，y>5,所以該模型也不符合要求；對(duì)于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x=1000時(shí)，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元的要求.

計(jì)算按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過利潤(rùn)的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，是否有成立如何判斷該式是否成立令

綜上所述，模型確實(shí)能符合公司要求.時(shí)，所以,當(dāng)說明按模型獎(jiǎng)勵(lì),獎(jiǎng)金不會(huì)超過利潤(rùn)的25%

利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象由圖象可知它是遞減的，因此即構(gòu)造函數(shù)探究：指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的差異比較1.列表并在同一坐標(biāo)系中畫出下面這三個(gè)函數(shù)的圖象（a=2).x0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2

x-2.322-0.73700.485x1.82.22.63.03.4…y=2x3.4824.5956.063810.556…y=x23.244.846.76911.56…y=log2

x0.8481.1381.3791.5851.766…xyo1122345y=2xy=x2y=log2xx0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2

x-2.322-0.73700.485x1.82.22.63.03.4…y=2x3.4824.5956.063810.556…y=x23.244.846.76911.56…y=log2

x0.8481.1381.3791.5851.766…x0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2

x-2.322-0.73700.485x1.82.22.63.03.4…y=2x3.4824.5956.063810.556…y=x23.244.846.76911.56…y=log2

x0.8481.1381.3791.5851.766…2.結(jié)合函數(shù)的圖象找出其交點(diǎn)坐標(biāo).

從圖象看出y=log2x的圖象與另外兩函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，且總在另外兩函數(shù)圖象的下方，y=x2的圖象與y=2x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)(2，4)和（4，16）.x012345678…y=2x1248163264128256…y=x201491625364964…ABy=2xxyo1121623434y=x2y=log2x差異明顯3.根據(jù)圖象,分別寫出使不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自變量x的取值范圍.使不等式log2x<2x<x2的x的取值范圍是(2，4);使不等式log2x<x2<

2x的x取值范圍是(0，2)∪(4,+∞).…640049003600…1.21×10241.18×10211.15×1018…807060250016009004001000y=x21.13×10151.10×10121.07×1091.05×10610241y=2x50403020100x結(jié)合上述探究，你有什么收獲？分別就指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)作出比較.指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)舉例：y=x2y=2xxxo50100y1.10×10121.13×1015y=2xy=x2圖象為上升快慢明顯不同1）在區(qū)間(0,+∞)上，y=ax（a>1)，y=logax(a>1)和y=xn（n>0）都是增函數(shù).總結(jié)提高因此總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有l(wèi)ogax<xn<ax.2）隨著x的增大，y=ax（a>1)的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)

遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn（n>0）的增長(zhǎng)速度.3）隨著x的增大，y=logax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來越慢，

會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于y=xn（n>0）的增長(zhǎng)速度.到目前為止，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些常用函數(shù)？一次函數(shù)二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)（a≠0）現(xiàn)實(shí)中經(jīng)常遇到一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)型的應(yīng)用問題，如何利用我們所學(xué)的知識(shí)來解決呢？模型的應(yīng)用實(shí)例t/h13452102030407060508090例1.一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時(shí)間的關(guān)系如圖所示v/(km·h-1)O(1)求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實(shí)際含義.(2)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)skm與時(shí)間th的函數(shù)解析式,并作出相應(yīng)的圖象.解：（1）陰影部分的面積為陰影部分的面積表示汽車在這5小時(shí)內(nèi)行駛的路程為360km.五個(gè)矩形的面積和(2)根據(jù)圖示,可以得到如下函數(shù)解析式

分段函數(shù)這個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示.t13452s20002100220023002400O實(shí)

際

問

題

數(shù)

學(xué)

模

型

實(shí)際問題的解

數(shù)學(xué)模型的解

抽象概括

推理演算

還原說明

使用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本步驟如下：

【總結(jié)提升】例2.某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元.銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如下表所示：請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)？銷售單價(jià)（元）6789101112日均銷售量（桶）480440400360320280240能看出數(shù)據(jù)變化的規(guī)律嗎？解：根據(jù)表可知，銷售單價(jià)每增加1元，日均銷售量就減少40桶.設(shè)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上增加x元后，日均銷售利潤(rùn)為y元，而在此情況下的日均銷售量就為480-40（x-1)=520-40x（桶）由于x>0,且520-40x>0,即0<x<13,于是可得

y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200,0<x<13.易知，當(dāng)x=6.5時(shí)，y有最大值.所以，只需將銷售單價(jià)定為11.5元，就可獲得最大的利潤(rùn).分析表格，找出規(guī)律，設(shè)出變量，建立關(guān)系式二次函數(shù)求最值二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)(2)頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)(3)兩點(diǎn)式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)具體用哪種形式可根據(jù)具體情況而定.【總結(jié)提升】例3某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表身高(cm)體重(kg)607080901001101201301401501601706.137.909.9912.1515.0217.5026.8620.9231.1138.8547.2555.05⑴根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式．⑵若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這一地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？分析：(1)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)描點(diǎn)畫出圖象（如下）根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)模型(2)觀察這個(gè)圖象，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)的連線是一條向上彎曲的曲線，根據(jù)這些點(diǎn)的分布情況，我們可以考慮用函數(shù)y=a?bx來近似反映.解：⑴將已知數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī)，畫出圖象；如果取其中的兩組數(shù)據(jù)（70，7.90）,（160，47.25）根據(jù)圖象，選擇函數(shù)進(jìn)行擬合．代入函數(shù)由計(jì)算器得從而函數(shù)模型為將已知數(shù)據(jù)代入所得函數(shù)關(guān)系式，或作出所得函數(shù)的圖象，可知此函數(shù)能較好地反映該地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系．所以，該地區(qū)未成年男性體重關(guān)于身高的函數(shù)關(guān)系式可以選為⑵將x=175代入得由計(jì)算器計(jì)算得y≈63.98，所以，這個(gè)男生偏胖．由于1.一輛汽車的行駛路程s關(guān)于時(shí)間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是()A.一次函數(shù)模型B.二次函數(shù)模型C.冪函數(shù)模型D.對(duì)數(shù)函數(shù)模型【解析】觀察得圖象是一條直線，所以是一次函數(shù)模型.OxyA動(dòng)筆練一練2.某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入客運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y萬元與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N)的關(guān)系為y=-x2+12x-25，則每輛客車營(yíng)運(yùn)多少年可使其營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)最大()A.2B.4C.5D.6【解析】y=-x2+12x-25=-(x-6)2+11,所以x=6時(shí)，可使其營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)最大.D3.一民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè)，其產(chǎn)品的利潤(rùn)(y)和投資(x)的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖所示，則該產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)解析式f(x)=_____________.3.759xyo【解析】由題設(shè)可知根據(jù)圖象知f(9)=3.75,所以得所以4.郵局規(guī)定，郵寄包裹，在5千克內(nèi)每千克5元，超過5千克的超出部分按每千克3元收費(fèi)，郵費(fèi)與郵寄包裹重量的函數(shù)關(guān)系式為____．f（x