醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué) 第八講 二項分布其應(yīng)用

第五章二項分布及其應(yīng)用隨機變量有連續(xù)型和離散型之分，相應(yīng)的其概率分布也有連續(xù)型和離散型。有關(guān)連續(xù)型分布如正態(tài)分布、t分布等在前面的章節(jié)中已作了介紹。本章主要介紹在醫(yī)學(xué)中較為常用的離散型分布，即二項分布分布。二項分布由瑞士數(shù)學(xué)家貝努利在18世紀(jì)提出，故又叫貝努利分布，是常見的離散型分布，在醫(yī)學(xué)上常用于率的抽樣研究，如總體率的估計，兩樣本率的比較。第一節(jié)二項分布及其應(yīng)用貝努利試驗：指只有兩個互斥結(jié)果的試驗。如陽性與陰性，生存與死亡，發(fā)病與未發(fā)病。n次貝努利試驗指重復(fù)進行n次獨立的貝努利試驗。又叫貝努利試驗序列。貝努利試驗序列特點①每次試驗的結(jié)果只能是2個互相對立結(jié)果中的一個。②

n個觀察單位的結(jié)果相互獨立。③在相同條件下，每次試驗結(jié)果的概率不變。二項分布〔binomialdistribution〕是指在n次Bernoulli試驗中，當(dāng)每次試驗的“陽性〞概率保持不變時，出現(xiàn)“陽性〞的次數(shù)X=0，1，2，…，n的概率分布。即：貝努利實驗序列中陽性數(shù)的概率分布。一般用X~B〔n,π〕表示二項分布，n是試驗總次數(shù)，π是試驗結(jié)果為陽性的概率。組合〔Combination〕:從n個元素中抽取x個元素組成一組〔不考慮其順序〕的組合方式個數(shù)記為復(fù)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)概念概率計算的兩個法那么乘法法那么：n個獨立事件同時發(fā)生的概率等于各獨立事件概率的積。P(A1·A2·····An)=P(A1)·P(A2)·····P(An)加法法那么：n個互不相容事件之和的概率等于各事件概率的和。P(A1或A2或···或An)=P(A1)+P(A2)+···+P(An)二項分布的定義二項分布是n次貝努利試驗中發(fā)生某種結(jié)果為x次的概率分布。這種結(jié)果〔事件A)出現(xiàn)的次數(shù)X是一個隨機變量，一般用X~B〔n,π〕表示二項分布，n是試驗總次數(shù)，π是試驗結(jié)果為陽性的概率。例：設(shè)小白鼠接受某種毒物一定劑量時。其死亡率為80%，對于每只小白鼠來說，死亡概率(π)為，生存概率〔1－π〕為。如果以甲乙丙三只小白鼠進行實驗，分析其死亡情況,結(jié)果見下表。〔假設(shè)小白鼠為同種屬、同性別、體重接近、對該藥物的敏感性相同〕由于實驗是逐只進行的，因此實驗結(jié)果是相互獨立的，根據(jù)概率的乘法法那么，可以算出每種排列方式的概率，從而用加法法那么得到每種組合的概率?，F(xiàn)關(guān)心的是n次貝努利試驗中發(fā)生某種結(jié)果(A)為x次的概率,即二項分布的概率函數(shù)：組合系數(shù)3只白鼠各種試驗結(jié)果及其發(fā)生概率生存數(shù)死亡數(shù)排列每種排每種組合的概率方式列概率30√√√(1-)3

21X√

√(1-)2

√X√

(1-)2

√

√X

(1-)212XX√

2(1-)X√X

2(1-)√XX2(1-)03

XXX3

p=1

二項分布下最多發(fā)生k例陽性的概率為發(fā)生0例陽性、1例陽性、...、直至k例陽性的概率之和。即：p(x≤k)=P(X=0)+P(X=1)+……+P(X=k)X=0，1，2，……，k，……，n二項分布的累計概率

二項分布下至少發(fā)生k例陽性的概率為發(fā)生k例陽性、k+1例陽性、...、直至n例陽性的概率之和。即

p(x≥k)=p(x=k)+p(x=k+1)+……+p(x=n)

X=k，k+1，k+2，……

，n

二項分布下發(fā)生k1例及以上到k2例陽性的概率為發(fā)生k1例陽性、k1+1例陽性、...、直至k2例陽性的概率之和。即

p(k1≤x≤k2)=p(x=k1)+x(x=k1+1)+……+x(x=k2)

二項分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差

二項分布的總體均數(shù)μX=nπ

二項分布的總體標(biāo)準(zhǔn)差為nπ(1-π)的算術(shù)平方根：

例中，平均死亡數(shù)為3*0.8=2.4(只)

標(biāo)準(zhǔn)差為：按二項分布的概率函數(shù)可以繪出其分布圖形。圖形特征：取決于n和。

二項分布的圖形

時分布對稱，分布偏態(tài)(2)

π不接近0或1，n較大時，一般地要求nπ>5且n(1-π)>5，二項分布趨近正態(tài)分布。二項分布的特征為：1.時，圖形對稱；，n較小時，圖形偏態(tài)；，n較大時，圖形漸趨對稱；4.n較大(如>50)，且n>5,n(1－)>5時，二項分布呈近似正態(tài)分布。二項分布的應(yīng)用二項分布主要用于符合二項分布的分類資料的率的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗。

醫(yī)學(xué)領(lǐng)域有許多二分類記數(shù)資料符合二項分布(傳染病和遺傳病除外)，但應(yīng)用時仍應(yīng)注意考察是否滿足應(yīng)用條件：(1)每次實驗只有兩類對立的結(jié)果；(2)n次事件相互獨立；(3)每次實驗?zāi)愁惤Y(jié)果的發(fā)生概率是一個常數(shù)。二項分布的應(yīng)用條件進行統(tǒng)計推斷時要知道樣本率的分布：假設(shè)X~B(n，)，那么樣本陽性率p的概率分布為：其中

樣本率p的總體均數(shù)p=x/n=n/n=樣本率p的總體標(biāo)準(zhǔn)差〔即率的標(biāo)準(zhǔn)誤〕

率的標(biāo)準(zhǔn)誤的估計值〔一〕正態(tài)近似法：用于n>50或np>5,且n(1–p)>5，那么的〔1–〕可信區(qū)間：

〔二〕查表法：用于n≤50，p很接近0和1當(dāng)陽性數(shù)X≤n/2時,直接查附表3,見p263；當(dāng)陽性數(shù)X>n/2時,由陰性數(shù)(n–X)查陰性率可信區(qū)間，用(1–陰性率可信區(qū)間)，可得陽性率可信區(qū)間。一、總體率的可信區(qū)間估計二、率的假設(shè)檢驗〔一〕樣本率與總體率比較比較的目的是推斷該樣本所代表的未知總體率π與的總體率π0是否相等?！捕硟蓸颖韭时容^的u檢驗比較的目的是推斷該兩樣本率所代表的總體率π1與總體率π2是否相等。〔一〕樣本率與總體率比較1、直接計算概率法當(dāng)陽性數(shù)x較小時，可直接計算二項分布的累計概率〔單側(cè)〕進行單側(cè)的假設(shè)檢驗。例1據(jù)以往經(jīng)驗，新生兒染色體異常率一般為1%，某醫(yī)院觀察了當(dāng)?shù)?00名新生兒，只有1例異常，問該地新生兒染色體異常率是否低于一般？H0:π=0.01H1:π<0.01α=0.05P=p(x≤1)=p(x=0)+p(x=1)p>0.05不拒絕H0例2據(jù)報道，對輸卵管結(jié)扎了的育齡婦女實施壺腹部-壺腹部吻合術(shù)后，受孕率為。今對10名輸卵管結(jié)扎了的育齡婦女實施峽部-峽部吻合術(shù)，結(jié)果有9人受孕。問實施峽部-峽部吻合術(shù)婦女的受孕率是否高于壺腹部-壺腹部吻合術(shù)？顯然，這是單側(cè)檢驗的問題，檢驗假設(shè)為H0：πH1：π對這10名實施峽部-峽部吻合術(shù)的婦女，按的受孕率，假設(shè)出現(xiàn)至少9人受孕的概率大于，那么不拒絕H0；否那么，接受H1。本例n=10，π，k=9。按公式〔6-12〕有:按水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，即認為實施峽部-峽部吻合術(shù)婦女的受孕率要高于壺腹部-壺腹部吻合術(shù)?！惨弧硺颖韭逝c總體率比較2、正態(tài)近似法〔n較大〕當(dāng)π或n較大，nπ及n(1-π)均大于5時，可用正態(tài)近似法進行樣本率與總體率，兩個樣本率比較的u檢驗。例：根據(jù)以往經(jīng)驗，一般胃潰瘍病患者有20%發(fā)生胃出血病癥，現(xiàn)某醫(yī)院觀察65歲以上潰瘍病人304例，有31.6%發(fā)生胃出血病癥,問老年胃潰瘍病患者是否較容易出血?H0:π=0.2H1

，那么，拒絕H0，認為……要求：ni>50且nipi>5,ni(1–pi)>5〔二〕兩樣本率比較的u檢驗例：某山區(qū)小學(xué)男生80人，其中肺吸蟲感染23人，感染率為28.75%,女生85人感染13人,感染率為15.29%,問男女生的肺吸蟲感染率有無差異?H0：π1=π2H1：π1≠π2pc查u界值表得，拒絕H0，接受H1，而認為……第二節(jié)Poisson分布及其應(yīng)用由法國統(tǒng)計學(xué)家Poisson在1837年提出，也是常見的離散型分布，常用于研究單位時間〔或面積、容積〕內(nèi)某罕見事件的發(fā)生次數(shù)的分布，又稱為稀有事件定律。由泊松定理，n重貝努里試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.Poisson分布〔Poissondistribution〕作為二項分布的一種極限情況，已開展成為描述小概率事件發(fā)生規(guī)律性的一種重要分布。Poisson分布是描述單位面積、體積、時間、人群等內(nèi)稀有事件〔或罕見事件〕發(fā)生數(shù)的分布。稀有事件Xf相對頻數(shù)理論頻數(shù)01090.5450.5441650.3250.3312220.1100.101330.0150.021410.0050.003Bortkiewice在1898年研究了10個騎兵隊中被馬踢死的人的頻數(shù)分布，共觀察了20年，得到200個數(shù)據(jù)。醫(yī)學(xué)研究中，單位容積中大腸桿菌數(shù)粉塵在單位容積的數(shù)目放射性物質(zhì)在單位時間內(nèi)放射質(zhì)點數(shù)一定人群中患病率很低的非傳染性疾病患病數(shù)〔或死亡數(shù)〕的分布。人群中出生缺陷、多胞胎、染色體異常等事件的分布。概率函數(shù)在足夠多的n次貝努利