發(fā)展合情推理能力

43.發(fā)展合情推理能力王凱成（陜西省小學教師培訓中心 710600）教育部制訂的《全日制義務教育數(shù)學課程標準》在總體目標中指出“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能夠：……經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力 ”。在學段目標中指出：第一學段（1?3年級）要“在教師的幫助下，初步學會選擇有用信息進行簡單的歸納與類比?！钡诙W段（4?6年級）要“能根據(jù)解決問題的需要，收集有用的信息，進行歸納、類比與猜測，發(fā)展初步的合情推理能力?！笔裁词呛锨橥评?？合乎情理的推理都是合情推理。合情推理往往是憑借以往的知識、經(jīng)驗、事實，在具體的情境中通過觀察、歸納、類比、猜測、估計進行的。歸納推理、類比推理及統(tǒng)計推理都是合情推理。合情推理中的觀察、歸納、類比、猜測、估計是科學發(fā)現(xiàn)的常用方法，是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，在大力提倡培養(yǎng)創(chuàng)新能力的今天，發(fā)展合情推理能力就十分必要。合情推理通常具有下列特征：1、 思維形式的直覺性、猜測性，思維過程的跳躍性和非常規(guī)性。表現(xiàn)為類比和不完全歸納方法的運用，以及對結(jié)果的直感和頓悟；2、 經(jīng)驗性。表現(xiàn)為與個人原有的知識和經(jīng)驗密切相關(guān)；3、 思維方式的自由性。常表現(xiàn)為較少受邏輯規(guī)則的嚴格約束和限制，以及數(shù)學表述的非形式化；4、 結(jié)論的或然性。即合情推理的結(jié)果不能保證絕對正確。合情推理與“情理”有關(guān)，依賴于個人的知識、能力結(jié)構(gòu)和個性品質(zhì)，要冒風險，結(jié)論可能因人而異，而且不一定可靠。所以，教學中既要讓學生大膽猜想，培養(yǎng)合情推理能力，也要注意不讓學生把猜想的結(jié)論當作真理使用，而且猜想之后仍要嚴格證明（現(xiàn)在不能證明的以后證明）。例1 六年級兩班學生共109人，已知甲班男生占§，乙班女生占4，則兩班共有男生多少人？解一般來說同年級甲、乙兩班人數(shù)接近，而109^2=54……1，可見一個班有54人，另一個班有55人。由題意知甲班人數(shù)是11的倍數(shù)，55恰是11的倍數(shù)；乙班人數(shù)是9的倍數(shù)，54恰是9的倍數(shù)。所以甲班有55人，乙班有54人。甲、乙兩班共有男生55X11+54X（1—9）=30+30=60（人）。這里“一般來說同年級甲、乙兩班人數(shù)接近”是經(jīng)驗之談，就是合情推理。例2街心花園中一個正方形的花壇四周有1米寬的水泥路（見圖1）。如果水泥路的總面積是12平方米，中間花壇的面積是多少平方米？安徽省馬鞍山師范附小的李國海老師在《中小學數(shù)學小學版》2001年7、8期59頁給出這道題的7種解法，而有一個學生是這樣解的：解1和12都是整數(shù)，而正方形的面積都是一個平方數(shù)，所以猜測大、小不同的這兩個正方形的面積都是一個完全平方數(shù)，而大于12又最接近12的完全平方數(shù)是16，16-12=4,4也是一個完全平方數(shù)。所以，中間花壇的面積是4平方米。驗證結(jié)果完全符合題設(shè)條件。

IXIX圖1學生由“1和12都是整數(shù)，正方形的面積都是一個平方數(shù)”，猜測“大、小不同的這兩個正方形的面積都是一個完全平方數(shù)”，這就是合情推理。例3找規(guī)律填數(shù)。2，4，8，---，---。解法1 觀察可知，后面的數(shù)是它緊前面數(shù)的2倍，所以第4個數(shù)為8X2=16；第5個數(shù)為16X2=32。解法2觀察可知，從第3個數(shù)開始，后面的數(shù)是它緊前面2個數(shù)的乘積，所以第4個數(shù)為4X8=32；第5個數(shù)為8X32=256。解法3觀察可知，從第3個數(shù)開始，后面的數(shù)是它緊前面2個數(shù)的和再加上2,所以第4個數(shù)為4+8+2=14；第5個數(shù)為8+14+2=24。這里的解法1、解法2、解法3……都是合情推理。如果第四個數(shù)填a，第五個數(shù)填b，由拉格朗日插值公式知第n個數(shù)TOC\o"1-5"\h\z1 ~2 ~"S〃一2）（〃一3）（〃一4）（〃一5）一3（〃T）（〃一3）（〃一4）（〃一5）一2（〃一1）（〃一2）a b(n-4)(n-5)--(n-1)(n-2)(n-3)(n-5)———(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)6 24所以，能講出道理的填數(shù)方法都是合理的，都是正確的。例4小剛和小明有人民幣若干元，已知他倆錢數(shù)之比為3：4，小明的錢數(shù)比小剛多9元。小剛有多少元錢？—43、3一一般學生的解法是：9+（7-7）x-=27（元）。而有一個學生的解法是：3X9=27（元）。這個學生的解法有道理嗎？由小剛和小明的錢數(shù)之比為3：4知，小明的錢的份數(shù)比小剛的錢的份數(shù)多1份。又知“小明的錢數(shù)比小剛多9元”，這說明其中的1份就是9元，小剛有3份，所以小剛的錢數(shù)應為3X9=27（元）?？梢娺@個學生的思維具有跳躍性，他簡略了一些中間過程，列式3X9=27（元）是合乎情理的。例5如圖2,已知正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD的邊長為10厘米，則圖中陰影三角形BDF的面積是多少平方厘米？鄭汝潔老師在《小學數(shù)學教師》2002年第3期55頁給出這類題15種不同的解法。筆者再給出一種合乎情理的解法。解 正方形CEFG的邊長沒有給定，讓邊長CE變化。CE越短，陰影三角形BDF在D C圖2三角形BCD中占的面積就越大；當邊長CE變?yōu)?時，F(xiàn)與C重合，陰影三角形BDF的面積就是三角形BCD的面積，為10X10^2=50(平方厘米)。陰影三角形BDF的面積是50平方厘米。這里用特殊(CE=0)推出一般，這是因為，在一般情況下成立的結(jié)論在特殊情況下當然也成立。例6如圖3，圓的面積與長方形面積相等，已知圓的周長是12.56cm，求長方形的長。一般的解法是：12.56-3.14-2=2(cm) 圓的半徑即長方形的寬3.14X22=12.56(cm2) 圓的面積即長方形的面積12.56-2=6.28(cm) 長方形的長一種合情推理的解法是：12.56-2=6.28(cm)。這是因為回憶圓面積公式的推導過程，頭腦中就會出現(xiàn)把圓剪拼成長方形的情景，長方形的寬是圓的半徑，長方形的長為圓周長的一半。例7 先分別計算111…11x999…99，看它們的積里各有多少個數(shù)字是偶數(shù)。20 20解 11X99=1089111x999=11088v'v'1111x9999=11108889根據(jù)(11X99=)1089有2個數(shù)字是偶數(shù)、(111X999=)110889有3個數(shù)字是偶數(shù)、(1111X9999=)11108889有4個數(shù)字是偶數(shù)歸納猜想：111…11x999…99有20個數(shù)字是偶數(shù)。TOC\o"1-5"\h\z20 20這里“根據(jù)……歸納猜想111…11x999…99有20個